3. 如图,已知抛物线$y = a(x - 2)^2 - 4$($a \neq 0$)与$x轴交于原点O与点A$,顶点为点$B$。
(1) 求该抛物线以及点$A$的坐标。
(2) 已知点$P(2, m)$($m ＞ 0$),若$\triangle PAB$的面积为6,求点$P$的坐标。

【解析】：
(1)本题主要考查待定系数法求二次函数解析式以及抛物线与$x$轴交点坐标的求解。
已知抛物线$y = a(x - 2)^2 - 4$过原点$O(0,0)$，将原点坐标代入抛物线方程可得：
$0=a(0 - 2)^2 - 4$，即$4a - 4 = 0$，
解得$a = 1$。
所以抛物线的解析式为$y=(x - 2)^2 - 4$。
要求抛物线与$x$轴的交点，令$y = 0$，则$(x - 2)^2 - 4 = 0$，
即$(x - 2)^2 = 4$，
开方得$x - 2 = \pm2$，
解得$x_1 = 0$，$x_2 = 4$。
已知抛物线与$x$轴交于原点$O$与点$A$，所以点$A$的坐标为$(4,0)$。
抛物线顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，
所以抛物线$y=(x - 2)^2 - 4$的顶点$B$的坐标为$(2,-4)$。
(2)本题主要考查三角形面积公式的应用。
已知点$P(2,m)$（$m\gt0$），点$B(2,-4)$，
由于点$P$和点$B$的横坐标相同，所以$PB$的长度为$\vert m - (-4)\vert = m + 4$。
点$A$的坐标为$(4,0)$，点$B$横坐标为$2$，
则点$A$到直线$x = 2$的距离为$4 - 2 = 2$，
这个距离也就是$\triangle PAB$中$PB$边上的高。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，
已知$\triangle PAB$的面积为$6$，
则可得$\frac{1}{2}×(m + 4)×2 = 6$，
即$m + 4 = 6$，
解得$m = 2$。
所以点$P$的坐标为$(2,2)$。
【答案】：
(1)抛物线的解析式为$y=(x - 2)^2 - 4$，点$A$的坐标为$(4,0)$。
(2)点$P$的坐标为$(2,2)$。

4. 在平面直角坐标系中,二次函数$y = ax^2 - 2ax$($a \neq 0$)的图象经过点$A(-1, 3)$。
(1) 求该二次函数的解析式以及函数图象顶点的坐标。
(2) 一次函数$y = 2x + b的图象经过点A$,点$(m, y_1)在一次函数y = 2x + b$的图象上,点$(m + 4, y_2)在二次函数y = ax^2 - 2ax$的图象上。若$y_1 ＞ y_2$,求$m$的取值范围。

(1)解：∵二次函数$y=ax^2 - 2ax$的图象经过点$A(-1, 3)$，
∴将$x=-1$，$y=3$代入$y=ax^2 - 2ax$，得$a×(-1)^2 - 2a×(-1)=3$，
即$a + 2a=3$，$3a=3$，解得$a=1$，
∴二次函数的解析式为$y=x^2 - 2x$，
∵$y=x^2 - 2x=(x - 1)^2 - 1$，
∴函数图象顶点的坐标为$(1, -1)$。
(2)解：∵一次函数$y=2x + b$的图象经过点$A(-1, 3)$，
∴将$x=-1$，$y=3$代入$y=2x + b$，得$2×(-1) + b=3$，
即$-2 + b=3$，解得$b=5$，
∴一次函数的解析式为$y=2x + 5$，
∵点$(m, y_1)$在一次函数$y=2x + 5$的图象上，
∴$y_1=2m + 5$，
∵点$(m + 4, y_2)$在二次函数$y=x^2 - 2x$的图象上，
∴$y_2=(m + 4)^2 - 2(m + 4)=m^2 + 8m + 16 - 2m - 8=m^2 + 6m + 8$，
∵$y_1＞y_2$，
∴$2m + 5＞m^2 + 6m + 8$，
即$m^2 + 4m + 3＜0$，
$(m + 1)(m + 3)＜0$，
解得$-3＜m＜-1$。