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1. 如图，已知$a // b$，等边三角形ABC的顶点B在直线b上，$∠ 1 = 25°$，则$∠ 2$的度数为（
A.$30°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$45°$
B
）A.$30°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$45°$
答案
1. B
解析
【分析】
解题时先结合已知条件回忆相关性质：等边三角形的三个内角均为60°，平行线的内错角相等。要建立∠1和∠2的关联，可过点C作平行于a、b的辅助线，利用平行线的性质将等边三角形的内角∠ACB拆分为分别与∠1、∠2相等的两个角，再通过角度和差关系计算∠2的度数。
【解析】
解：过点C作$CM// a$。
$\because a// b$，$\therefore CM// a// b$。
根据平行线内错角相等的性质可得：$∠ 2=∠ ACM$，$∠ 1=∠ BCM$。
$\because △ ABC$是等边三角形，$\therefore ∠ ACB=60°$。
又$\because ∠ ACB=∠ ACM+∠ BCM=∠ 2+∠ 1$，
$\therefore ∠ 2=∠ ACB-∠ 1=60°-25°=35°$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题是平行线性质和等边三角形性质的基础综合应用题，作辅助线构造平行线是解决这类跨平行线角度计算问题的常用技巧，熟练掌握基础性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件回忆相关性质：等边三角形的三个内角均为60°，平行线的内错角相等。要建立∠1和∠2的关联，可过点C作平行于a、b的辅助线，利用平行线的性质将等边三角形的内角∠ACB拆分为分别与∠1、∠2相等的两个角，再通过角度和差关系计算∠2的度数。
【解析】
解：过点C作$CM// a$。
$\because a// b$，$\therefore CM// a// b$。
根据平行线内错角相等的性质可得：$∠ 2=∠ ACM$，$∠ 1=∠ BCM$。
$\because △ ABC$是等边三角形，$\therefore ∠ ACB=60°$。
又$\because ∠ ACB=∠ ACM+∠ BCM=∠ 2+∠ 1$，
$\therefore ∠ 2=∠ ACB-∠ 1=60°-25°=35°$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题是平行线性质和等边三角形性质的基础综合应用题，作辅助线构造平行线是解决这类跨平行线角度计算问题的常用技巧，熟练掌握基础性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
2. 下列条件不能判断$△ ABC$是等边三角形的是（
A.$∠ A=∠ B=∠ C$
B.$AB=BC$，$AC=BC$
C.$AB=BC$，$∠ B=60°$
D.$AB=BC$，$∠ A=∠ C$
D
）A.$∠ A=∠ B=∠ C$
B.$AB=BC$，$AC=BC$
C.$AB=BC$，$∠ B=60°$
D.$AB=BC$，$∠ A=∠ C$
答案
2. D
解析
【分析】
要判断哪个条件不能判定△ABC是等边三角形，首先需要明确等边三角形的3种常用判定方法：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个内角都相等的三角形是等边三角形；③有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形。解题时只需将每个选项对应上述判定规则逐一验证即可。
【解析】
结合等边三角形的判定规则逐个分析选项：
A选项：已知∠A=∠B=∠C，结合三角形内角和为180°，可推出∠A=∠B=∠C=60°，满足“三个内角都相等的三角形是等边三角形”，能判定是等边三角形，不符合题意；
B选项：已知AB=BC，AC=BC，可推出AB=BC=AC，三条边都相等，满足“三边相等的三角形是等边三角形”，能判定是等边三角形，不符合题意；
C选项：已知AB=BC，说明△ABC是等腰三角形，又∠B=60°，满足“有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形”，能判定是等边三角形，不符合题意；
D选项：已知AB=BC，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，本身就可以推出∠A=∠C，因此这个条件仅能说明△ABC是等腰三角形，无法推出有内角为60°或三边/三角全部相等，不能判定是等边三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的判定；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分等边三角形和等腰三角形的判定条件，解题时只要熟练掌握等边三角形的三类判定方法，逐一排查选项即可轻松作答，注意不要把等腰三角形的固有性质当成等边三角形的判定依据。
【难度系数】
0.8
要判断哪个条件不能判定△ABC是等边三角形，首先需要明确等边三角形的3种常用判定方法：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个内角都相等的三角形是等边三角形；③有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形。解题时只需将每个选项对应上述判定规则逐一验证即可。
【解析】
结合等边三角形的判定规则逐个分析选项：
A选项：已知∠A=∠B=∠C，结合三角形内角和为180°，可推出∠A=∠B=∠C=60°，满足“三个内角都相等的三角形是等边三角形”，能判定是等边三角形，不符合题意；
B选项：已知AB=BC，AC=BC，可推出AB=BC=AC，三条边都相等，满足“三边相等的三角形是等边三角形”，能判定是等边三角形，不符合题意；
C选项：已知AB=BC，说明△ABC是等腰三角形，又∠B=60°，满足“有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形”，能判定是等边三角形，不符合题意；
D选项：已知AB=BC，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，本身就可以推出∠A=∠C，因此这个条件仅能说明△ABC是等腰三角形，无法推出有内角为60°或三边/三角全部相等，不能判定是等边三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的判定；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分等边三角形和等腰三角形的判定条件，解题时只要熟练掌握等边三角形的三类判定方法，逐一排查选项即可轻松作答，注意不要把等腰三角形的固有性质当成等边三角形的判定依据。
【难度系数】
0.8
3. 如图，在$△ ABC$中，$AB=BC=AC=12\ \mathrm{cm}$，现有两点$M$，$N$分别从点$A$和点$B$同时出发，沿三角形的边运动，已知点$M$的速度为$1\ \mathrm{cm/s}$，点$N$的速度为$2\ \mathrm{cm/s}$. 当点$N$第一次到达点$A$时，点$M$和点$N$同时停止运动. 当$△ AMN$是等边三角形时，点$M$，$N$运动的时间是 
(
A.$1\ \mathrm{s}$
B.$0.5\ \mathrm{s}$
C.$4\ \mathrm{s}$
D.$2\ \mathrm{s}$
(C
)A.$1\ \mathrm{s}$
B.$0.5\ \mathrm{s}$
C.$4\ \mathrm{s}$
D.$2\ \mathrm{s}$
答案
3. C
解析
【分析】
首先明确△ABC是等边三角形，因此∠A=60°，根据等边三角形判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可知要使△AMN为等边三角形，只需满足AM=AN即可。接下来设运动时间为t秒，用含t的代数式分别表示出AM、AN的长度，列方程求解后验证解是否符合点N的运动范围即可。
【解析】
设点M、N运动的时间为t秒。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，若△AMN是等边三角形，只需满足AM=AN。
点M从点A出发，速度为1 cm/s，因此$AM = t\ \mathrm{cm}$。
点N从点B出发沿BA向A运动，速度为2 cm/s，因此$BN=2t\ \mathrm{cm}$，$AN = AB - BN = (12-2t)\ \mathrm{cm}$。
令$AM=AN$，列方程：
$t = 12-2t$
解得$t=4$。
验证：当t=4时，点N运动的路程为$2×4=8\ \mathrm{cm}＜12\ \mathrm{cm}$，此时N未到达A点，符合运动要求。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的判定，一元一次方程的应用，动点问题分析
【点评】
本题是等边三角形性质判定与动点结合的基础题，解题核心是将几何条件转化为等量关系列方程求解，解题时需注意验证解是否符合实际运动情况，避免出现不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
首先明确△ABC是等边三角形，因此∠A=60°，根据等边三角形判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可知要使△AMN为等边三角形，只需满足AM=AN即可。接下来设运动时间为t秒，用含t的代数式分别表示出AM、AN的长度，列方程求解后验证解是否符合点N的运动范围即可。
【解析】
设点M、N运动的时间为t秒。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，若△AMN是等边三角形，只需满足AM=AN。
点M从点A出发，速度为1 cm/s，因此$AM = t\ \mathrm{cm}$。
点N从点B出发沿BA向A运动，速度为2 cm/s，因此$BN=2t\ \mathrm{cm}$，$AN = AB - BN = (12-2t)\ \mathrm{cm}$。
令$AM=AN$，列方程：
$t = 12-2t$
解得$t=4$。
验证：当t=4时，点N运动的路程为$2×4=8\ \mathrm{cm}＜12\ \mathrm{cm}$，此时N未到达A点，符合运动要求。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的判定，一元一次方程的应用，动点问题分析
【点评】
本题是等边三角形性质判定与动点结合的基础题，解题核心是将几何条件转化为等量关系列方程求解，解题时需注意验证解是否符合实际运动情况，避免出现不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
4. 如图，已知$△ ABC$是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且$CG=CD$，$DF=DE$，则$∠ E$的度数为（
A.$25°$
B.$20°$
C.$15°$
D.$7.5°$
C
）A.$25°$
B.$20°$
C.$15°$
D.$7.5°$
答案
4. C
解析
【分析】
解题时先从已知的等边三角形入手，首先利用等边三角形的内角性质得到∠ACB的度数，进而求出其邻补角∠ACD的度数；再根据CG=CD判断△CDG为等腰三角形，结合三角形内角和算出底角∠CDG的度数；最后根据DF=DE判断△DEF为等腰三角形，结合三角形外角的性质即可推导出∠E的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-60°=120°。
∵CG=CD，
∴△CDG是等腰三角形，∠CGD=∠CDG，
∴∠CDG=(180°-∠ACD)÷2=(180°-120°)÷2=30°。
∵DF=DE，
∴△DEF是等腰三角形，∠E=∠DFE，
又
∵∠CDG是△DEF的外角，根据三角形外角性质得∠CDG=∠E+∠DFE=2∠E，
∴∠E=∠CDG÷2=30°÷2=15°。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是角度计算的基础题型，核心是灵活运用特殊三角形的角度性质，通过逐步推导外角和内角的关系求解，解题时注意理清图中角的位置关系即可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的等边三角形入手，首先利用等边三角形的内角性质得到∠ACB的度数，进而求出其邻补角∠ACD的度数；再根据CG=CD判断△CDG为等腰三角形，结合三角形内角和算出底角∠CDG的度数；最后根据DF=DE判断△DEF为等腰三角形，结合三角形外角的性质即可推导出∠E的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-60°=120°。
∵CG=CD，
∴△CDG是等腰三角形，∠CGD=∠CDG，
∴∠CDG=(180°-∠ACD)÷2=(180°-120°)÷2=30°。
∵DF=DE，
∴△DEF是等腰三角形，∠E=∠DFE，
又
∵∠CDG是△DEF的外角，根据三角形外角性质得∠CDG=∠E+∠DFE=2∠E，
∴∠E=∠CDG÷2=30°÷2=15°。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是角度计算的基础题型，核心是灵活运用特殊三角形的角度性质，通过逐步推导外角和内角的关系求解，解题时注意理清图中角的位置关系即可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
5. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ C=30°$，$AB⊥ AD$，$AD=5\ \mathrm{cm}$，则$BC$的长为（
A.$8\ \mathrm{cm}$
B.$12\ \mathrm{cm}$
C.$16\ \mathrm{cm}$
D.$15\ \mathrm{cm}$
D
）A.$8\ \mathrm{cm}$
B.$12\ \mathrm{cm}$
C.$16\ \mathrm{cm}$
D.$15\ \mathrm{cm}$
答案
5. D
解析
【分析】
解题时先从已知的等腰三角形条件入手：①由AB=AC，∠C=30°，可先得出△ABC的两个底角相等，计算出顶角∠BAC的度数；②结合AB⊥AD的条件，算出∠DAC的度数，发现∠DAC和∠C相等，根据等角对等边得到DC=AD；③再在Rt△ABD中，利用30°锐角所对直角边等于斜边的一半，求出BD的长度，最后BC=BD+DC即可算出结果。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠C=30°，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-30°=120°，
∵AB⊥AD，
∴∠BAD=90°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=120°-90°=30°，
∴∠DAC=∠C，
∴DC=AD=5cm，
在Rt△ABD中，∠B=30°，AD=5cm，
∴BD=2AD=2×5=10cm，
∴BC=BD+DC=10+5=15cm。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形30°角的性质；等角对等边
【点评】
本题是三角形性质的基础综合题，解题的核心是通过角度推导得到线段的等量关系，再结合特殊直角三角形的边长规律计算，解题时注意不要遗漏DC=AD这一关键推导步骤。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的等腰三角形条件入手：①由AB=AC，∠C=30°，可先得出△ABC的两个底角相等，计算出顶角∠BAC的度数；②结合AB⊥AD的条件，算出∠DAC的度数，发现∠DAC和∠C相等，根据等角对等边得到DC=AD；③再在Rt△ABD中，利用30°锐角所对直角边等于斜边的一半，求出BD的长度，最后BC=BD+DC即可算出结果。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠C=30°，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-30°=120°，
∵AB⊥AD，
∴∠BAD=90°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=120°-90°=30°，
∴∠DAC=∠C，
∴DC=AD=5cm，
在Rt△ABD中，∠B=30°，AD=5cm，
∴BD=2AD=2×5=10cm，
∴BC=BD+DC=10+5=15cm。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形30°角的性质；等角对等边
【点评】
本题是三角形性质的基础综合题，解题的核心是通过角度推导得到线段的等量关系，再结合特殊直角三角形的边长规律计算，解题时注意不要遗漏DC=AD这一关键推导步骤。
【难度系数】
0.7
6. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，$∠ A = 30°$，$CD$是高，若$BC = 8$，则$AD$的长为（
A.16
B.12
C.10
D.8
B
）A.16
B.12
C.10
D.8
答案
6. B
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先在$Rt△ ABC$中，利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质，求出斜边$AB$的长度；第二步，根据直角三角形两锐角互余求出$∠ B$的度数，再在$Rt△ BCD$中，再次运用含30°角直角三角形的性质求出$BD$的长度；第三步，用$AB$的长度减去$BD$的长度即可得到$AD$的长。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，$BC=8$，
根据含30°角的直角三角形的性质，得$AB=2BC=2×8=16$。
由直角三角形两锐角互余，得$∠ B=90°-∠ A=90°-30°=60°$。
$\because CD$是$AB$边上的高，$\therefore ∠ CDB=90°$，
在$Rt△ BCD$中，$∠ BCD=90°-∠ B=30°$，
$\therefore BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$，
$\therefore AD=AB-BD=16-4=12$。
【答案】
B
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础几何计算题，重点考察含30°角的直角三角形性质的应用，解题核心是熟练掌握“30°角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质，两次运用该性质结合线段和差关系即可求解。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，先在$Rt△ ABC$中，利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质，求出斜边$AB$的长度；第二步，根据直角三角形两锐角互余求出$∠ B$的度数，再在$Rt△ BCD$中，再次运用含30°角直角三角形的性质求出$BD$的长度；第三步，用$AB$的长度减去$BD$的长度即可得到$AD$的长。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，$BC=8$，
根据含30°角的直角三角形的性质，得$AB=2BC=2×8=16$。
由直角三角形两锐角互余，得$∠ B=90°-∠ A=90°-30°=60°$。
$\because CD$是$AB$边上的高，$\therefore ∠ CDB=90°$，
在$Rt△ BCD$中，$∠ BCD=90°-∠ B=30°$，
$\therefore BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$，
$\therefore AD=AB-BD=16-4=12$。
【答案】
B
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础几何计算题，重点考察含30°角的直角三角形性质的应用，解题核心是熟练掌握“30°角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质，两次运用该性质结合线段和差关系即可求解。
【难度系数】
0.7
