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7. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，已知$∠ ACB=90°$，$∠ B=15°$，边AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，且$BD=12\ \mathrm{cm}$，则AC的长是
6 cm
。答案
7. 6 cm
解析
【分析】
遇到含垂直平分线的几何计算问题，首先想到垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等。本题中D在AB的垂直平分线上，因此可推出AD=BD，再结合等边对等角得到∠DAB=∠B，利用三角形外角的性质求出∠ADC的度数，最后在Rt△ACD中借助30°角所对直角边等于斜边一半的性质即可求出AC的长度。
【解析】
解：连接AD，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD = BD = 12 cm，
∴∠DAB = ∠B = 15°，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC = ∠DAB + ∠B = 15°+15°=30°，
又
∵∠ACB=90°，即△ACD为直角三角形，
在Rt△ACD中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴AC = $\frac{1}{2}$AD = $\frac{1}{2}$×12 = 6 cm。
【答案】
6 cm
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形外角的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，将垂直平分线、等腰三角形性质、三角形外角性质和直角三角形特殊角性质结合考查，解题的关键是通过垂直平分线构造等腰三角形，得到30°的特殊角，进而完成计算。
【难度系数】
0.7
遇到含垂直平分线的几何计算问题，首先想到垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等。本题中D在AB的垂直平分线上，因此可推出AD=BD，再结合等边对等角得到∠DAB=∠B，利用三角形外角的性质求出∠ADC的度数，最后在Rt△ACD中借助30°角所对直角边等于斜边一半的性质即可求出AC的长度。
【解析】
解：连接AD，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD = BD = 12 cm，
∴∠DAB = ∠B = 15°，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC = ∠DAB + ∠B = 15°+15°=30°，
又
∵∠ACB=90°，即△ACD为直角三角形，
在Rt△ACD中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴AC = $\frac{1}{2}$AD = $\frac{1}{2}$×12 = 6 cm。
【答案】
6 cm
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形外角的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，将垂直平分线、等腰三角形性质、三角形外角性质和直角三角形特殊角性质结合考查，解题的关键是通过垂直平分线构造等腰三角形，得到30°的特殊角，进而完成计算。
【难度系数】
0.7
8. 一个高铁站入口双翼闸机的示意图如图所示，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为8 cm，双翼的边缘AC＝BD＝62 cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°，当双翼收起时，可以通过闸机的物体最大宽度为
70 cm
。答案
8. 70 cm
解析
【分析】
要求双翼收起时可通过闸机的物体最大宽度，本质是求两侧闸机侧立面之间的总距离。我们可以通过作辅助线构造含30°角的直角三角形，利用30°角所对直角边等于斜边一半的性质，分别求出双翼边缘到对应闸机侧立面的水平距离，再加上端点A、B之间的距离，即可得到总宽度。
【解析】
分别过点A作AE⊥PC所在的闸机侧立面于点E，过点B作BF⊥QD所在的闸机侧立面于点F。
在$Rt△ ACE$中，$∠ PCA=30°$，$AC=62\mathrm{cm}$，根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得：
$AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×62=31\mathrm{cm}$
同理，在$Rt△ BDF$中，$∠ BDQ=30°$，$BD=62\mathrm{cm}$，可得：
$BF=\frac{1}{2}BD=31\mathrm{cm}$
因此可通过闸机的最大宽度为$AE+AB+BF=31+8+31=70\mathrm{cm}$。
【答案】
70 cm
【知识点】
1. 含30°角的直角三角形的性质
2. 实际问题的几何转化
【点评】
本题结合生活中的闸机场景考查几何知识的应用，解题的关键是将实际的宽度问题转化为直角三角形的线段计算，熟练掌握特殊直角三角形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要求双翼收起时可通过闸机的物体最大宽度，本质是求两侧闸机侧立面之间的总距离。我们可以通过作辅助线构造含30°角的直角三角形，利用30°角所对直角边等于斜边一半的性质，分别求出双翼边缘到对应闸机侧立面的水平距离，再加上端点A、B之间的距离，即可得到总宽度。
【解析】
分别过点A作AE⊥PC所在的闸机侧立面于点E，过点B作BF⊥QD所在的闸机侧立面于点F。
在$Rt△ ACE$中，$∠ PCA=30°$，$AC=62\mathrm{cm}$，根据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可得：
$AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×62=31\mathrm{cm}$
同理，在$Rt△ BDF$中，$∠ BDQ=30°$，$BD=62\mathrm{cm}$，可得：
$BF=\frac{1}{2}BD=31\mathrm{cm}$
因此可通过闸机的最大宽度为$AE+AB+BF=31+8+31=70\mathrm{cm}$。
【答案】
70 cm
【知识点】
1. 含30°角的直角三角形的性质
2. 实际问题的几何转化
【点评】
本题结合生活中的闸机场景考查几何知识的应用，解题的关键是将实际的宽度问题转化为直角三角形的线段计算，熟练掌握特殊直角三角形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
9. 如图，灯塔 C 在海岛 A 的北偏东 $75°$方向，某天上午 8 时，一条船从海岛 A 出发，以 15 n mile/h 的速度由西向东航行，10 时整到达 B 处，此时，测得灯塔 C 在 B 处的北偏东 $60°$方向。
（1）求 B 处到灯塔 C 的距离；
（2）已知在以灯塔 C 为中心，周围 16 n mile 的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由。
（1）求 B 处到灯塔 C 的距离；
（2）已知在以灯塔 C 为中心，周围 16 n mile 的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由。
答案
9. 解 （1）根据题意得$∠ BAC=90°-75°=15°$，
$∠ CBE=90°-60°=30°$，$AB=15×2=30$.
所以$∠ C=30°-15°=15°$.
所以$∠ BAC=∠ C$. 所以$BC=AB=30$.
答：B 处到灯塔 C 的距离为 30 n mile.
（2）有触礁的危险. 理由如下：
如图，过点 C 作 $CD⊥ AB$，交 AB 的延长线于点 D.
因为$∠ CBD=30°$，$BC=30$，
所以 $CD=\frac{1}{2}BC=15$.
因为 $15＜16$，所以若该船继续由西向东航行，会有触礁的危险.
解析
【分析】
（1）首先根据船的航行速度和行驶时间计算出AB的长度，再结合方位角的定义分别求出∠BAC和∠CBE的度数，利用三角形外角的性质推出∠C的度数，发现∠BAC和∠C相等，根据等角对等边即可得到BC的长度，也就是B处到灯塔C的距离。
（2）判断船是否有触礁危险，本质是求灯塔C到航行路线AE的最短距离，根据垂线段最短的性质，过C作CD垂直AE于D，计算CD的长度后和暗礁范围16 n mile比较，若CD小于16则有触礁危险，反之则没有，计算CD时可利用含30°角的直角三角形的性质求解。
【解析】
（1）船从A到B的航行时间为$10-8=2$小时，
因此$AB=15×2=30$（n mile）。
由方位角的定义可得：
$∠ BAC=90°-75°=15°$，$∠ CBE=90°-60°=30°$。
∵$∠ CBE$是$△ ABC$的外角，
∴$∠ CBE=∠ BAC+∠ C$，
∴$∠ C=∠ CBE-∠ BAC=30°-15°=15°$，
∴$∠ BAC=∠ C$，根据等角对等边可得$BC=AB=30$（n mile）。
（2）过点C作$CD⊥ AB$，交AB的延长线于点D，
在$Rt△ BCD$中，$∠ CBD=30°$，$BC=30$，
根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，
可得$CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×30=15$（n mile）。
∵$15＜16$，说明航行路线处于暗礁范围内，因此该船继续向东航行有触礁危险。
【答案】
（1）B处到灯塔C的距离为30 n mile；
（2）有触礁的危险，理由如下：
如图，过点C作 $CD⊥ AB$，交 AB 的延长线于点 D.
因为$∠ CBD=30°$，$BC=30$，
所以 $CD=\frac{1}{2}BC=15$.
因为 $15＜16$，所以若该船继续由西向东航行，会有触礁的危险。
【知识点】
方位角的应用；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是结合航行场景的几何应用题，重点考查将实际问题转化为几何模型的能力，解题的关键是准确理解方位角的含义，灵活运用特殊三角形的性质求解，同时要明确判断触礁风险的核心是计算点到直线的最短距离。
【难度系数】
0.7
（1）首先根据船的航行速度和行驶时间计算出AB的长度，再结合方位角的定义分别求出∠BAC和∠CBE的度数，利用三角形外角的性质推出∠C的度数，发现∠BAC和∠C相等，根据等角对等边即可得到BC的长度，也就是B处到灯塔C的距离。
（2）判断船是否有触礁危险，本质是求灯塔C到航行路线AE的最短距离，根据垂线段最短的性质，过C作CD垂直AE于D，计算CD的长度后和暗礁范围16 n mile比较，若CD小于16则有触礁危险，反之则没有，计算CD时可利用含30°角的直角三角形的性质求解。
【解析】
（1）船从A到B的航行时间为$10-8=2$小时，
因此$AB=15×2=30$（n mile）。
由方位角的定义可得：
$∠ BAC=90°-75°=15°$，$∠ CBE=90°-60°=30°$。
∵$∠ CBE$是$△ ABC$的外角，
∴$∠ CBE=∠ BAC+∠ C$，
∴$∠ C=∠ CBE-∠ BAC=30°-15°=15°$，
∴$∠ BAC=∠ C$，根据等角对等边可得$BC=AB=30$（n mile）。
（2）过点C作$CD⊥ AB$，交AB的延长线于点D，
在$Rt△ BCD$中，$∠ CBD=30°$，$BC=30$，
根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，
可得$CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×30=15$（n mile）。
∵$15＜16$，说明航行路线处于暗礁范围内，因此该船继续向东航行有触礁危险。
【答案】
（1）B处到灯塔C的距离为30 n mile；
（2）有触礁的危险，理由如下：
如图，过点C作 $CD⊥ AB$，交 AB 的延长线于点 D.
因为$∠ CBD=30°$，$BC=30$，
所以 $CD=\frac{1}{2}BC=15$.
因为 $15＜16$，所以若该船继续由西向东航行，会有触礁的危险。
【知识点】
方位角的应用；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是结合航行场景的几何应用题，重点考查将实际问题转化为几何模型的能力，解题的关键是准确理解方位角的含义，灵活运用特殊三角形的性质求解，同时要明确判断触礁风险的核心是计算点到直线的最短距离。
【难度系数】
0.7
