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例2 如图，一个六边形的六个内角都是$120°$，已知连续四条边的长依次为1，3，3，2，则这个六边形的周长是 （）
A.13
B.14
C.15
D.16
解析 如图所示，分别作线段AB，CD，EF的延长线和反向延长线，使它们交于点G，H，I.
因为六边形ABCDEF的六个角都是$120°$，
所以六边形ABCDEF的每一个外角都是$60°$.
所以$△ AFI$，$△ BGC$，$△ DHE$，$△ GHI$都是等边三角形.
所以$AI=AF=3$，$BG=BC=1$.
所以$GI=HI=GH=AI+AB+BG=3+3+1=7$，
$DE=HE=HI-EF-FI=7-2-3=2$，
$CD=HG-CG-HD=7-1-2=4$.
所以六边形的周长为$3+1+4+2+2+3=15$.
答案 C
A.13
B.14
C.15
D.16
解析 如图所示，分别作线段AB，CD，EF的延长线和反向延长线，使它们交于点G，H，I.
因为六边形ABCDEF的六个角都是$120°$，
所以六边形ABCDEF的每一个外角都是$60°$.
所以$△ AFI$，$△ BGC$，$△ DHE$，$△ GHI$都是等边三角形.
所以$AI=AF=3$，$BG=BC=1$.
所以$GI=HI=GH=AI+AB+BG=3+3+1=7$，
$DE=HE=HI-EF-FI=7-2-3=2$，
$CD=HG-CG-HD=7-1-2=4$.
所以六边形的周长为$3+1+4+2+2+3=15$.
答案 C
答案
C
解析
【分析】
遇到各内角均为120°的六边形问题时，可利用“120°内角对应的外角为60°”的性质，通过延长六边形的对边构造等边三角形，将不规则的六边形边长转化到等边三角形的边中求解。解题步骤：第一步作辅助线构造等边三角形，第二步利用等边三角形三边相等的性质求出大等边三角形的边长，第三步结合已知边长求出六边形未知的两条边长，最后相加得到周长。
【解析】
解：分别作线段AB、CD、EF的延长线和反向延长线，使它们交于点G、H、I。
∵六边形ABCDEF的六个内角都是120°，
∴六边形每个外角的度数为$180°-120°=60°$，
∴$△ AFI$、$△ BGC$、$△ DHE$、$△ GHI$都是三个内角为60°的等边三角形。
由等边三角形三边相等可得：$AI=AF=3$，$BG=BC=1$，
∴大等边三角形GHI的边长为$GI=AI+AB+BG=3+3+1=7$，
又
∵$FI=AF=3$，$EF=2$，
∴$DE=HE=HI-EF-FI=7-2-3=2$，
同理$CG=BC=1$，$HD=DE=2$，
∴$CD=HG-CG-HD=7-1-2=4$，
∴六边形的周长$=AB+BC+CD+DE+EF+FA=3+1+4+2+2+3=15$。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
1. 等边三角形的判定与性质
2. 多边形内角与外角
3. 多边形周长计算
【点评】
本题是特殊六边形的典型考题，解题关键是通过构造辅助线将不规则的六边形转化为熟悉的等边三角形模型，利用等边三角形的性质建立已知边和未知边的数量关系，能够有效考查学生的图形转化能力和知识灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
遇到各内角均为120°的六边形问题时，可利用“120°内角对应的外角为60°”的性质，通过延长六边形的对边构造等边三角形，将不规则的六边形边长转化到等边三角形的边中求解。解题步骤：第一步作辅助线构造等边三角形，第二步利用等边三角形三边相等的性质求出大等边三角形的边长，第三步结合已知边长求出六边形未知的两条边长，最后相加得到周长。
【解析】
解：分别作线段AB、CD、EF的延长线和反向延长线，使它们交于点G、H、I。
∵六边形ABCDEF的六个内角都是120°，
∴六边形每个外角的度数为$180°-120°=60°$，
∴$△ AFI$、$△ BGC$、$△ DHE$、$△ GHI$都是三个内角为60°的等边三角形。
由等边三角形三边相等可得：$AI=AF=3$，$BG=BC=1$，
∴大等边三角形GHI的边长为$GI=AI+AB+BG=3+3+1=7$，
又
∵$FI=AF=3$，$EF=2$，
∴$DE=HE=HI-EF-FI=7-2-3=2$，
同理$CG=BC=1$，$HD=DE=2$，
∴$CD=HG-CG-HD=7-1-2=4$，
∴六边形的周长$=AB+BC+CD+DE+EF+FA=3+1+4+2+2+3=15$。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
1. 等边三角形的判定与性质
2. 多边形内角与外角
3. 多边形周长计算
【点评】
本题是特殊六边形的典型考题，解题关键是通过构造辅助线将不规则的六边形转化为熟悉的等边三角形模型，利用等边三角形的性质建立已知边和未知边的数量关系，能够有效考查学生的图形转化能力和知识灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
知识点二 含$30°$角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于$30°$，那么它所对的直角边等于斜边的
在直角三角形中，如果一个锐角等于$30°$，那么它所对的直角边等于斜边的
一半
。答案
一半
解析
【分析】
这道题考查含30°角的直角三角形的基础性质，解题时先明确题设条件：图形为直角三角形，存在一个30°的锐角，所求为30°角所对直角边与斜边的数量关系。我们既可以直接识记教材中的性质作答，也可以通过简单推导验证：将两个全等的含30°角的直角三角形的长直角边拼接，可得到一个等边三角形，此时原直角三角形的斜边是等边三角形的边长，30°角对的直角边是等边三角形边长的一半，即可推出二者的数量关系。
【解析】
根据含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，因此横线处应填写“一半”。
【答案】
一半
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，直接对应教材核心性质，熟练记忆相关定理即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
这道题考查含30°角的直角三角形的基础性质，解题时先明确题设条件：图形为直角三角形，存在一个30°的锐角，所求为30°角所对直角边与斜边的数量关系。我们既可以直接识记教材中的性质作答，也可以通过简单推导验证：将两个全等的含30°角的直角三角形的长直角边拼接，可得到一个等边三角形，此时原直角三角形的斜边是等边三角形的边长，30°角对的直角边是等边三角形边长的一半，即可推出二者的数量关系。
【解析】
根据含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，因此横线处应填写“一半”。
【答案】
一半
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，直接对应教材核心性质，熟练记忆相关定理即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
例3 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD$是高.已知$∠ A=30°$，$BD=2\ \mathrm{cm}$，则$AB$的长是（）
A.4 cm
B.6 cm
C.8 cm
D.10 cm
特别提醒
该性质是直角三角形中含$30°$角的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用.
解析 因为$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，所以$∠ B=60°$.又因为$CD$是高，所以$∠ BDC=90°$.所以$∠ BCD=30°$.所以$BC=2BD=4\ \mathrm{cm}$.因为$∠ A=30°$，所以$AB=2BC=8\ \mathrm{cm}$.
答案 C
A.4 cm
B.6 cm
C.8 cm
D.10 cm
特别提醒
该性质是直角三角形中含$30°$角的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用.
解析 因为$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，所以$∠ B=60°$.又因为$CD$是高，所以$∠ BDC=90°$.所以$∠ BCD=30°$.所以$BC=2BD=4\ \mathrm{cm}$.因为$∠ A=30°$，所以$AB=2BC=8\ \mathrm{cm}$.
答案 C
答案
C
解析
【分析】
解题时可先结合直角三角形两锐角互余的性质推导角的度数，再两次运用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质逐步求边长：第一步先在Rt△BCD中，由已知BD的长度求出BC的长度；第二步再在Rt△ABC中，由BC的长度求出AB的长度。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，
$\therefore ∠ B=90°-∠ A=60°$，
$\because CD$是AB边上的高，$\therefore ∠ BDC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ BCD=90°-∠ B=30°$，
$\therefore BC=2BD$，
$\because BD=2\ \mathrm{cm}$，$\therefore BC=2× 2=4\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=30°$，$∠ A$所对的直角边为BC，
$\therefore AB=2BC=2× 4=8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形两锐角互余；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是直角三角形特殊性质的基础应用题，解题的关键是准确找出不同直角三角形中30°角对应的直角边和斜边，注意“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”仅适用于含30°角的直角三角形，不可随意推广到其他三角形中使用。
【难度系数】
0.8
解题时可先结合直角三角形两锐角互余的性质推导角的度数，再两次运用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质逐步求边长：第一步先在Rt△BCD中，由已知BD的长度求出BC的长度；第二步再在Rt△ABC中，由BC的长度求出AB的长度。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，
$\therefore ∠ B=90°-∠ A=60°$，
$\because CD$是AB边上的高，$\therefore ∠ BDC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ BCD=90°-∠ B=30°$，
$\therefore BC=2BD$，
$\because BD=2\ \mathrm{cm}$，$\therefore BC=2× 2=4\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=30°$，$∠ A$所对的直角边为BC，
$\therefore AB=2BC=2× 4=8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形两锐角互余；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是直角三角形特殊性质的基础应用题，解题的关键是准确找出不同直角三角形中30°角对应的直角边和斜边，注意“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”仅适用于含30°角的直角三角形，不可随意推广到其他三角形中使用。
【难度系数】
0.8
