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7. (2024·广安)如图, 在 $\triangle ABC$ 中, $AB = AC = 10$, $\angle C = 70^{\circ}$, 以 $AB$ 为直径作半圆 $O$, 与 $AC$、$BC$ 分别相交于点 $D$、$E$, 则 $\overset{\frown}{DE}$ 的长为.
答案
$\frac{10\pi}{9}$
解析
∵AB=AC=10，∠C=70°，∴∠B=∠C=70°，∠BAC=180°-2×70°=40°。
∵AB为半圆O的直径，∴OA=OB=OD=OE=5（半径）。
在△OAD中，OA=OD，∴∠OAD=∠ODA=40°，∠AOD=180°-2×40°=100°。
在△OBE中，OB=OE，∴∠OBE=∠OEB=70°，∠BOE=180°-2×70°=40°。
∵∠AOB=180°（平角），∴∠DOE=∠AOB-∠AOD-∠BOE=180°-100°-40°=40°。
弧DE的长为：$\frac{40\pi×5}{180}=\frac{10\pi}{9}$。
8. 若一个扇形的弧长是 $2\pi\ cm$, 面积是 $6\pi\ cm^2$, 则该扇形的圆心角的度数是.
答案
60
解析
设扇形的半径为$r$，圆心角为$n^{\circ}$。
由扇形面积公式$S = \frac{1}{2}lr$，得$6\pi=\frac{1}{2}×2\pi× r$，解得$r = 6\ cm$。
由弧长公式$l=\frac{n\pi r}{180}$，得$2\pi=\frac{n\pi×6}{180}$，解得$n = 60$。
由扇形面积公式$S = \frac{1}{2}lr$，得$6\pi=\frac{1}{2}×2\pi× r$，解得$r = 6\ cm$。
由弧长公式$l=\frac{n\pi r}{180}$，得$2\pi=\frac{n\pi×6}{180}$，解得$n = 60$。
9. (整体思想)如图, 在 $\triangle ABC$ 中, $AB = 5$, $AC = 3$, $BC = 4$, 将 $\triangle ABC$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转 $40^{\circ}$ 得到 $\triangle ADE$, 点 $B$ 经过的路径为 $\overset{\frown}{BD}$, 则图中阴影部分的面积为.
答案
$\frac{25}{9}\pi$
解析
由题意可知，$\triangle ABC$中，$AB=5$，$AC=3$，$BC=4$，因此$\triangle ABC$为直角三角形，$\angle ACB=90°$。
将$\triangle ABC$绕点$A$按逆时针方向旋转$40°$得到$\triangle ADE$，则$\triangle ADE$与$\triangle ABC$全等，且$\angle BAD=40°$。
阴影部分的面积为$S_{扇形\ ABD} + S_{\triangle ADE} - S_{\triangle ABC}$。
由于$\triangle ADE$与$\triangle ABC$全等，$S_{\triangle ADE} = S_{\triangle ABC}$，因此阴影部分的面积等于$S_{扇形\ ABD}$。
$S_{扇形\ ABD} = \frac{40°}{360°} × \pi × AB^2 = \frac{40}{360} × \pi × 5^2 = \frac{40}{360} × 25\pi = \frac{25\pi}{9}$。
将$\triangle ABC$绕点$A$按逆时针方向旋转$40°$得到$\triangle ADE$，则$\triangle ADE$与$\triangle ABC$全等，且$\angle BAD=40°$。
阴影部分的面积为$S_{扇形\ ABD} + S_{\triangle ADE} - S_{\triangle ABC}$。
由于$\triangle ADE$与$\triangle ABC$全等，$S_{\triangle ADE} = S_{\triangle ABC}$，因此阴影部分的面积等于$S_{扇形\ ABD}$。
$S_{扇形\ ABD} = \frac{40°}{360°} × \pi × AB^2 = \frac{40}{360} × \pi × 5^2 = \frac{40}{360} × 25\pi = \frac{25\pi}{9}$。
10. 如图, $\triangle ABC$ 内接于 $\odot O$, $AB$ 是 $\odot O$ 的直径, $CE$ 平分 $\angle ACB$, 交 $\odot O$ 于点 $E$, 过点 $E$ 作 $EF // AB$, 交 $CA$ 的延长线于点 $F$.
(1) 求证: $EF$ 与 $\odot O$ 相切;
(2) 若 $\angle CAB = 30^{\circ}$, $AB = 8$, 过点 $E$ 作 $EG \perp AC$ 于点 $M$, 交 $\odot O$ 于点 $G$, 交 $AB$ 于点 $N$, 求 $\overset{\frown}{AG}$ 的长.
(1) 求证: $EF$ 与 $\odot O$ 相切;
(2) 若 $\angle CAB = 30^{\circ}$, $AB = 8$, 过点 $E$ 作 $EG \perp AC$ 于点 $M$, 交 $\odot O$ 于点 $G$, 交 $AB$ 于点 $N$, 求 $\overset{\frown}{AG}$ 的长.
答案
(1) 证明见解析；(2) $\frac{2\pi}{3}$
解析
(1) 连接OE。
∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°。
∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE=45°。
∵∠ABE=∠ACE=45°（同弧所对圆周角相等），OB=OE，
∴∠OEB=∠ABE=45°。
∵EF//AB，∴∠FEB=∠ABE=45°。
∴∠OEF=∠OEB+∠FEB=45°+45°=90°，即OE⊥EF。
∵OE是半径，∴EF与⊙O相切。
(2) ∵∠CAB=30°，AB=8，∴OA=4，∠ABC=60°。
∵CE平分∠ACB，∠BCE=45°，∴∠ABE=45°，∠CBE=∠ABC-∠ABE=15°。
∵∠CAE=∠CBE=15°（同弧所对圆周角相等），∴∠OAE=∠CAB+∠CAE=45°。
∵OA=OE，∴∠AOE=180°-2×45°=90°。
∵EG⊥AC，∠CAB=30°，∴∠ANM=60°，∠ONE=60°。
在Rt△ONE中，∠OEN=30°，OE=OG，∴∠OGE=∠OEG=30°，∠GOE=120°。
∴∠AOG=∠GOE-∠AOE=30°。
弧AG长= $\frac{30\pi×4}{180}=\frac{2\pi}{3}$。
∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°。
∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE=45°。
∵∠ABE=∠ACE=45°（同弧所对圆周角相等），OB=OE，
∴∠OEB=∠ABE=45°。
∵EF//AB，∴∠FEB=∠ABE=45°。
∴∠OEF=∠OEB+∠FEB=45°+45°=90°，即OE⊥EF。
∵OE是半径，∴EF与⊙O相切。
(2) ∵∠CAB=30°，AB=8，∴OA=4，∠ABC=60°。
∵CE平分∠ACB，∠BCE=45°，∴∠ABE=45°，∠CBE=∠ABC-∠ABE=15°。
∵∠CAE=∠CBE=15°（同弧所对圆周角相等），∴∠OAE=∠CAB+∠CAE=45°。
∵OA=OE，∴∠AOE=180°-2×45°=90°。
∵EG⊥AC，∠CAB=30°，∴∠ANM=60°，∠ONE=60°。
在Rt△ONE中，∠OEN=30°，OE=OG，∴∠OGE=∠OEG=30°，∠GOE=120°。
∴∠AOG=∠GOE-∠AOE=30°。
弧AG长= $\frac{30\pi×4}{180}=\frac{2\pi}{3}$。
11. 如图, 在扇形 $OAB$ 中, $\angle AOB = 100^{\circ}$, $OA = 12$, $C$ 是 $OB$ 的中点, $CD \perp OB$ 于点 $C$, 交 $\overset{\frown}{AB}$ 于点 $D$, 以 $OC$ 为半径的 $\overset{\frown}{CE}$ 交 $OA$ 于点 $E$. 求图中涂色部分的面积.
答案
连接OD。
∵C是OB中点，OA=12，∴OC=OB/2=6。
∵CD⊥OB，OD=OA=12，∴在Rt△OCD中，cos∠COD=OC/OD=6/12=1/2，∴∠COD=60°。
∴CD=√(OD²-OC²)=√(12²-6²)=6√3。
∠AOD=∠AOB-∠COD=100°-60°=40°。
S扇形OAD=(40π×12²)/360=16π。
S△OCD=1/2×OC×CD=1/2×6×6√3=18√3。
S扇形OCE=(100π×6²)/360=10π。
S阴影=S扇形OAD+S△OCD-S扇形OCE=16π+18√3-10π=6π+18√3。
6π+18√3
∵C是OB中点，OA=12，∴OC=OB/2=6。
∵CD⊥OB，OD=OA=12，∴在Rt△OCD中，cos∠COD=OC/OD=6/12=1/2，∴∠COD=60°。
∴CD=√(OD²-OC²)=√(12²-6²)=6√3。
∠AOD=∠AOB-∠COD=100°-60°=40°。
S扇形OAD=(40π×12²)/360=16π。
S△OCD=1/2×OC×CD=1/2×6×6√3=18√3。
S扇形OCE=(100π×6²)/360=10π。
S阴影=S扇形OAD+S△OCD-S扇形OCE=16π+18√3-10π=6π+18√3。
6π+18√3
