1. (2023·朝阳)如图,四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$. 若 $\angle C = 120^{\circ}$, $\odot O$ 的半径为 $3$, 则 $\overset{\frown}{BD}$ 的长为 ( B)

A.$\pi$
B.$2\pi$
C.$3\pi$
D.$6\pi$

B

∵四边形$ABCD$内接于$\odot O$，$\angle C = 120^{\circ}$，
∴$\angle A = 180^{\circ}-\angle C=60^{\circ}$（圆内接四边形对角互补）。
∵$\angle A$是$\overset{\frown}{BD}$所对的圆周角，
∴$\overset{\frown}{BD}$所对的圆心角$\angle BOD = 2\angle A=120^{\circ}$（同弧所对圆心角是圆周角的两倍）。
∵$\odot O$的半径$r = 3$，
∴$\overset{\frown}{BD}$的长为$\frac{n\pi r}{180}=\frac{120\pi×3}{180}=2\pi$。

2. (2024·青岛)如图, $A$、$B$、$C$、$D$ 是 $\odot O$ 上的点, 半径 $OA = 3$, $\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD}$, $\angle DBC = 25^{\circ}$, 连接 $AD$, 则扇形 $AOB$ 的面积为 ()

A.$\frac{5}{4}\pi$
B.$\frac{5}{8}\pi$
C.$\frac{5}{2}\pi$
D.$\frac{5}{12}\pi$

A

∵∠DBC=25°，∠DBC为圆周角，其所对弧为$\overset{\frown}{CD}$，
∴$\overset{\frown}{CD}$的度数=2∠DBC=50°。
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，∴$\overset{\frown}{AB}$的度数=50°，
∴圆心角∠AOB=50°。
扇形AOB面积$S=\frac{n\pi r^2}{360}=\frac{50\pi×3^2}{360}=\frac{450\pi}{360}=\frac{5}{4}\pi$。

3. (2024·哈尔滨)若 $90^{\circ}$ 圆心角所对的弧长是 $3\pi\ cm$, 则此弧所在圆的半径是 $cm$.

6

设圆的半径为 $r$，由题意知圆心角为 $90°$，对应的弧长为 $3\pi$，
根据弧长公式：$l = \frac{n\pi r}{180}$，
代入已知数值，得：$3\pi = \frac{90\pi r}{180}$，
化简方程，得：$3\pi = \frac{\pi r}{2}$，
两边同时除以 $\pi$ 并乘以 2，得：$r = 6$。

4. (新考向·传统文化)(2025·昆山期末)中国瓦当的发展历程悠久, 其艺术风格和功能随着历史时期的变化而演变. 如图, 现有一瓦当, 它的一面是扇形的一部分, 其中两边 $AB$、$CD$ 所在直线构成的夹角 $\angle AOD = 80^{\circ}$, 点 $O$ 是扇形所在圆的圆心, $AO = DO = 20\ cm$, $BO = CO = 10\ cm$, 则该瓦当此面的面积为 $cm^2$ (结果保留 $\pi$).

$\frac{200}{3}\pi$

瓦当面积为扇形AOD与扇形BOC的面积差。扇形面积公式为$\frac{n\pi r^2}{360}$。
扇形AOD：$n=80°$，$r=20\,cm$，面积$\frac{80\pi × 20^2}{360}=\frac{800\pi}{9}\,cm^2$。
扇形BOC：$n=80°$，$r=10\,cm$，面积$\frac{80\pi × 10^2}{360}=\frac{200\pi}{9}\,cm^2$。
瓦当面积：$\frac{800\pi}{9}-\frac{200\pi}{9}=\frac{600\pi}{9}=\frac{200\pi}{3}\,cm^2$。

5. 如图, 在 $□ ABCD$ 中, 以点 $A$ 为圆心、$AB$ 为半径的圆恰好与 $CD$ 相切于点 $C$, 交 $AD$ 于点 $E$, 延长 $BA$, 交 $\odot A$ 于点 $F$. 若 $\overset{\frown}{EF}$ 的长为 $\frac{\pi}{2}$, 求图中阴影部分的面积.

连接AC，因为CD与⊙A相切于点C，所以AC⊥CD，且AC=AB=AE=AF=r（半径）。
由于ABCD是平行四边形，AB//CD，故AC⊥AB，∠BAC=90°。
AD//BC，∠ACB=∠CAD（内错角），△ABC中AB=AC，∠BAC=90°，则∠ACB=45°，故∠CAD=45°，∠BAD=∠BAC-∠CAD=45°。
F为BA延长线与⊙A的交点，故∠EAF=180°-∠BAD=135°。
弧EF长公式：$\frac{135\pi r}{180}=\frac{\pi}{2}$，解得$r=\frac{2}{3}$。
△ACD中，AC=CD=r=$\frac{2}{3}$，∠ACD=90°，面积$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{2}{9}$。
扇形ACE中，∠CAE=45°，面积$S_{扇形ACE}=\frac{45\pi r^2}{360}=\frac{\pi}{18}$。
阴影部分面积= $S_{\triangle ACD}-S_{扇形ACE}=\frac{2}{9}-\frac{\pi}{18}=\frac{4-\pi}{18}$。
$\boxed{\frac{4-\pi}{18}}$

解：连接AC。
∵CD与⊙A相切于点C，
∴AC⊥CD。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，AB=CD，AD=BC。
∵AC⊥CD，AB//CD，
∴AC⊥AB，∠BAC=90°。
∵AB=AC（均为⊙A半径），
∴平行四边形ABCD中，AB=CD=AC，AD=BC。
在Rt△ACD中，AC=CD，
∴∠D=45°。
∵AD//BC，
∴∠B=∠D=45°。
∵AF是⊙A直径，
∴∠EAF=∠DAB=180°-∠B=135°？
（注：此处原思路有误，正确应为：∠EAF为圆心角，由弧EF长公式$l = \frac{n\pi r}{180}$，已知$\overset{\frown}{EF} = \frac{\pi}{2}$，∠EAF=∠DAB=45°（因∠D=45°，∠BAD=∠D=45°），则$\frac{45\pi r}{180} = \frac{\pi}{2}$，解得$r=2$，即AB=AC=2。）
S_阴影=S_△ACD-S_扇形ACE
S_△ACD=$\frac{1}{2}×2×2=2$，S_扇形ACE=$\frac{45\pi×2²}{360}=\frac{\pi}{2}$，故S_阴影=2 - $\frac{\pi}{2}$。
1

6. (2024·河南)如图, $\odot O$ 是边长为 $4\sqrt{3}$ 的等边三角形 $ABC$ 的外接圆, $D$ 是 $\overset{\frown}{BC}$ 的中点, 连接 $BD$、$CD$. 以点 $D$ 为圆心, $BD$ 为半径在 $\odot O$ 内画弧, 则涂色部分的面积为 ()

A.$\frac{8\pi}{3}$
B.$4\pi$
C.$\frac{16\pi}{3}$
D.$16\pi$

C

∵△ABC是边长为$4\sqrt{3}$的等边三角形，其外接圆半径$R=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=4$，即⊙O半径为4。
∵D是$\overset{\frown}{BC}$中点，△ABC等边，∴$\angle BOC=120°$，$\angle BOD=\angle COD=60°$。
在△BOD中，OB=OD=4，$\angle BOD=60°$，∴△BOD为等边三角形，BD=4。
∵D是$\overset{\frown}{BC}$中点，$\angle BDC=120°$（圆周角定理，优弧BC所对圆周角）。
以D为圆心、BD为半径的扇形DBC中，半径BD=4，圆心角$\angle BDC=120°$，
其面积$S=\frac{120°}{360°}×\pi×4^2=\frac{1}{3}×\pi×16=\frac{16\pi}{3}$。