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1. 如图，从一块直径是 2 的圆形铁片上剪出一个圆心角为 $ 90 ^ { \circ } $ 的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面圆的半径是()
A.$ \frac { \pi } { 4 } $
B.$ \frac { \sqrt { 2 } } { 4 } $
C.$ \frac { 1 } { 2 } $
D.1
A.$ \frac { \pi } { 4 } $
B.$ \frac { \sqrt { 2 } } { 4 } $
C.$ \frac { 1 } { 2 } $
D.1
答案
B
解析
圆形铁片直径为2，半径为1。扇形圆心角90°，弧长为$\frac{90\pi×1}{180}=\frac{\pi}{2}$。圆锥底面圆周长等于扇形弧长，设半径为r，$2\pi r=\frac{\pi}{2}$，解得$r=\frac{1}{4}$。（注：原解析中半径计算错误，正确答案应为$\frac{1}{4}$，但选项中无此答案，推测题目中扇形半径应为AB或AC，圆半径为1，AB=AC=$\sqrt{2}$，弧长为$\frac{90\pi×\sqrt{2}}{180}=\frac{\sqrt{2}\pi}{2}$，则$2\pi r=\frac{\sqrt{2}\pi}{2}$，$r=\frac{\sqrt{2}}{4}$）
2. (2023·娄底改编)如图，在 $ \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 中，$ A C = 5 \mathrm { cm } $，$ B C = 12 \mathrm { cm } $，$ \angle A C B = 90 ^ { \circ } $。把 $ \mathrm { Rt } \triangle A B C $ 沿 $ B C $ 所在的直线旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的侧面积为()
A.$ 60 \pi \mathrm { cm } ^ { 2 } $
B.$ 65 \pi \mathrm { cm } ^ { 2 } $
C.$ 120 \pi \mathrm { cm } ^ { 2 } $
D.$ 130 \pi \mathrm { cm } ^ { 2 } $
A.$ 60 \pi \mathrm { cm } ^ { 2 } $
B.$ 65 \pi \mathrm { cm } ^ { 2 } $
C.$ 120 \pi \mathrm { cm } ^ { 2 } $
D.$ 130 \pi \mathrm { cm } ^ { 2 } $
答案
B
解析
在$Rt\triangle ABC$中，$AC = 5cm$，$BC = 12cm$，$\angle ACB = 90^{\circ}$。
根据勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{5^{2}+12^{2}} = 13cm$。
把$Rt\triangle ABC$绕$BC$所在直线旋转一周，得到一个圆锥，其底面半径$r = AC = 5cm$，母线长$l = AB = 13cm$。
根据圆锥侧面积公式$S=\pi rl$，可得该圆锥侧面积为：
$\pi×5×13 = 65\picm^{2}$。
根据勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{5^{2}+12^{2}} = 13cm$。
把$Rt\triangle ABC$绕$BC$所在直线旋转一周，得到一个圆锥，其底面半径$r = AC = 5cm$，母线长$l = AB = 13cm$。
根据圆锥侧面积公式$S=\pi rl$，可得该圆锥侧面积为：
$\pi×5×13 = 65\picm^{2}$。
3. (2025·苏州期末)圆锥的底面圆半径是 4，母线长是 6，则这个圆锥的侧面积为。
答案
$24\pi$
解析
圆锥的侧面积公式为$S = \pi r l$，其中$r$是底面半径，$l$是母线长。
已知圆锥底面圆半径$r = 4$，母线长$l = 6$，将其代入公式可得：
$S=\pi×4×6 = 24\pi$
已知圆锥底面圆半径$r = 4$，母线长$l = 6$，将其代入公式可得：
$S=\pi×4×6 = 24\pi$
4. (1)(2024·宿迁)已知圆锥的底面圆半径为 3，母线长为 12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为$ ^ { \circ } $；
(2)(2024·徐州)将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为 $ 4 \pi \mathrm { cm } ^ { 2 } $，圆心角 $ \theta $ 为 $ 90 ^ { \circ } $，圆锥的底面圆的半径为$ \mathrm { cm } $。
(2)(2024·徐州)将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为 $ 4 \pi \mathrm { cm } ^ { 2 } $，圆心角 $ \theta $ 为 $ 90 ^ { \circ } $，圆锥的底面圆的半径为$ \mathrm { cm } $。
答案
(1)$90$；(2)$1$。
解析
(1)设圆锥侧面展开扇形的圆心角的度数为$n^{\circ}$。
圆锥底面半径为$3$，根据圆的周长公式$C = 2\pi r$，可得圆锥底面圆的周长为$2\pi×3 = 6\pi$。
圆锥母线长为$12$，即侧面展开扇形的半径$R = 12$，弧长$l = 6\pi$。
根据扇形弧长公式$l=\frac{n\pi R}{180}$，可得$6\pi=\frac{n\pi×12}{180}$，
解得$n = 90$。
(2)设圆锥底面圆的半径为$r$。
已知扇形圆心角$\theta = 90^{\circ}$，扇形面积$S = 4\pi\ cm^2$。
根据扇形面积公式$S=\frac{\theta\pi R^{2}}{360}$（$\theta$为圆心角度数，$R$为扇形半径），可得$4\pi=\frac{90\pi R^{2}}{360}$，
解得$R = 4$（$R=-4$舍去），即圆锥母线长为$4\ cm$。
扇形弧长$l$等于圆锥底面圆的周长，根据扇形弧长公式$l=\frac{\theta\pi R}{180}$，可得$l=\frac{90\pi×4}{180}=2\pi$。
又因为圆锥底面圆周长$C = 2\pi r$，所以$2\pi r = 2\pi$，解得$r = 1$。
圆锥底面半径为$3$，根据圆的周长公式$C = 2\pi r$，可得圆锥底面圆的周长为$2\pi×3 = 6\pi$。
圆锥母线长为$12$，即侧面展开扇形的半径$R = 12$，弧长$l = 6\pi$。
根据扇形弧长公式$l=\frac{n\pi R}{180}$，可得$6\pi=\frac{n\pi×12}{180}$，
解得$n = 90$。
(2)设圆锥底面圆的半径为$r$。
已知扇形圆心角$\theta = 90^{\circ}$，扇形面积$S = 4\pi\ cm^2$。
根据扇形面积公式$S=\frac{\theta\pi R^{2}}{360}$（$\theta$为圆心角度数，$R$为扇形半径），可得$4\pi=\frac{90\pi R^{2}}{360}$，
解得$R = 4$（$R=-4$舍去），即圆锥母线长为$4\ cm$。
扇形弧长$l$等于圆锥底面圆的周长，根据扇形弧长公式$l=\frac{\theta\pi R}{180}$，可得$l=\frac{90\pi×4}{180}=2\pi$。
又因为圆锥底面圆周长$C = 2\pi r$，所以$2\pi r = 2\pi$，解得$r = 1$。
5. 已知某圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，求该圆锥的侧面展开图所对应的扇形的圆心角的度数。
答案
设圆锥的底面半径为 $r$，母线长为 $R$，侧面展开图所对应的扇形的圆心角的度数为 $n{°}$。
根据题意，圆锥的侧面积是底面积的2倍，即：
$\pi rR = 2\pi r^{2}$，
化简得：
$R = 2r$，
圆锥侧面展开图所对应的扇形的弧长等于圆锥底面的周长，即：
$2\pi r = \frac{n\pi R}{180}$，
将 $R = 2r$ 代入上式，得：
$2\pi r = \frac{n\pi \cdot 2r}{180}$，
化简得：
$n = 180$。
故该圆锥的侧面展开图所对应的扇形的圆心角的度数为 $180{°}$。
根据题意，圆锥的侧面积是底面积的2倍，即：
$\pi rR = 2\pi r^{2}$，
化简得：
$R = 2r$，
圆锥侧面展开图所对应的扇形的弧长等于圆锥底面的周长，即：
$2\pi r = \frac{n\pi R}{180}$，
将 $R = 2r$ 代入上式，得：
$2\pi r = \frac{n\pi \cdot 2r}{180}$，
化简得：
$n = 180$。
故该圆锥的侧面展开图所对应的扇形的圆心角的度数为 $180{°}$。
6. (新情境·现实生活)(2023·赤峰)某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽。该圆锥的底面圆的周长为 $ 20 \pi \mathrm { cm } $，母线长为 $ 30 \mathrm { cm } $。为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从底面圆周上的点 $ A $ 处开始，绕侧面一周又回到点 $ A $ 的彩带(彩带宽度忽略不计)，这条彩带的最短长度是()
A.$ 30 \mathrm { cm } $
B.$ 30 \sqrt { 3 } \mathrm { cm } $
C.$ 60 \mathrm { cm } $
D.$ 20 \pi \mathrm { cm } $
A.$ 30 \mathrm { cm } $
B.$ 30 \sqrt { 3 } \mathrm { cm } $
C.$ 60 \mathrm { cm } $
D.$ 20 \pi \mathrm { cm } $
答案
B
解析
圆锥侧面展开为扇形，扇形半径为母线长30cm，弧长等于底面周长20πcm。由弧长公式$L=\frac{nπR}{180}$，得$20π=\frac{nπ×30}{180}$，解得圆心角$n=120°$。展开图中，彩带最短路径为扇形弧两端点A、A'的直线距离，在△AOA'中，OA=OA'=30cm，∠AOA'=120°，由余弦定理得$AA'^2=30^2+30^2-2×30×30×cos120°=2700$，则$AA'=30\sqrt{3}cm$。
7. (2023·济宁)如图所示为一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是()
A.$ 39 \pi $
B.$ 45 \pi $
C.$ 48 \pi $
D.$ 54 \pi $
A.$ 39 \pi $
B.$ 45 \pi $
C.$ 48 \pi $
D.$ 54 \pi $
答案
C
解析
由三视图知该几何体为圆柱与圆锥的组合体。圆柱底面直径为6，半径r=3，高h₁=4；圆锥底面半径r=3，高h₂=4，母线长l=√(h₂²+r²)=√(4²+3²)=5。表面积=圆柱侧面积+圆锥侧面积+圆柱下底面积。圆柱侧面积=2πrh₁=2π×3×4=24π；圆锥侧面积=πrl=π×3×5=15π；圆柱下底面积=πr²=9π。总表面积=24π+15π+9π=48π。
