9. 已知二次函数$y = x^{2}-bx + 2的图象经过A(1,n)$,$B(3,n)$,则$b$的值为______．

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10. (2025大连)已知二次函数$y = x^{2}-2x - 1$,当$0\leqslant x\leqslant3$时,函数的最大值为()
A. $-2$
B. $-1$
C. $0$
D. $2$

D

11. (2024眉山中考)定义运算：$a\otimes b= (a + 2b)(a - b)$,例如$4\otimes3= (4 + 2×3)×(4 - 3)= 10$,则函数$y= (x + 1)\otimes2$的最小值为()
A. $-21$
B. $-9$
C. $-7$
D. $-5$

B

12. (2025襄阳)已知抛物线$y = x^{2}+bx满足-3\lt b\lt-1$,且点$(-3,m)$,$(2,n)$,$(4,t)$在该抛物线上,则$m$,$n$,$t$的大小关系为()
A. $t\lt n\lt m$
B. $m\lt t\lt n$
C. $n\lt t\lt m$
D. $n\lt m\lt t$

C

13. 设抛物线$y = x^{2}+2ax + a$,其中$a$为常数．
(1)求抛物线的顶点坐标；(用含$a$的式子表示)
(2)将抛物线$y = x^{2}+2ax + a$向上平移2个单位长度,求所得抛物线的顶点的纵坐标$n$的最大值．

解：(1)∵ y = x² + 2ax + a = (x + a)² − a² + a，
∴ 顶点坐标为(−a,−a² + a)；
(2)将y = x² + 2ax + a向上平移2个单位长度后，
抛物线顶点的纵坐标n = −a² + a + 2 = −(a − $\frac{1}{2}$)² + $\frac{9}{4}$。
∵ −1 ＜ 0，
∴ 当a = $\frac{1}{2}$时，n最大 = $\frac{9}{4}$。

14. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y = ax^{2}+x + m(a\neq0)与x轴交于A$,$C$两点,与$y轴交于点B$,其中点$B的坐标为(0,-4)$,点$C的坐标为(2,0)$．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)$D为直线AB$下方抛物线上一个动点,连接$AD$,$BD$,当$\triangle ABD$的面积最大时,求点$D$的坐标．

解：(1)由$\begin{cases}m = -4\\4a + 2 + m = 0\end{cases}$，
解得$\begin{cases}m = -4\\a = \frac{1}{2}\end{cases}$，∴ 抛物线的解析式为y = $\frac{1}{2}$x² + x − 4；
(2)设D(t,$\frac{1}{2}$t² + t − 4)，−4 ＜ t ＜ 0，连接OD。
由$\frac{1}{2}$x² + x − 4 = 0，
解得x₁ = −4，x₂ = 2，
∴ A(−4,0)。
∵ B(0,−4)，
∴ OA = OB = 4。
∵ S△ABD = S△AOD + S△OBD − S△AOB
= $\frac{1}{2}$×4×(−$\frac{1}{2}$t² − t + 4) + $\frac{1}{2}$×4×(−t) − $\frac{1}{2}$×4×4 = −t² − 4t = −(t + 2)² + 4。
∵ −1 ＜ 0，
∴ 当t = −2时，△ABD的面积最大，最大值为4，此时点D的坐标为(−2,−4)。