8. 如图 21.3 - 29，在 $△ ABC$ 中，$AD$ 是角平分线，$DE// AC$ 交 $AB$ 于点 $E$，$DF// AB$ 交 $AC$ 于点 $F$。
(1) 判断四边形 $AEDF$ 的形状，并证明你的结论。
(2) 当 $△ ABC$ 满足什么条件时，四边形 $AEDF$ 是正方形？为什么？

(1) 四边形$AEDF$是菱形。
证明：
$\because DE// AC$，$DF// AB$，
$\therefore$ 四边形$AEDF$是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
$\because AD$是$△ ABC$的角平分线，
$\therefore ∠ EAD = ∠ FAD$。
$\because DE// AC$，
$\therefore ∠ EDA = ∠ FAD$，
$\therefore ∠ EAD = ∠ EDA$，
$\therefore AE = DE$，
$\therefore$ 平行四边形$AEDF$是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
(2) 当$△ ABC$满足$∠ BAC = 90°$时，四边形$AEDF$是正方形。
理由：
$\because ∠ BAC = 90°$，四边形$AEDF$是菱形，
$\therefore$ 菱形$AEDF$是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）。

9. 如图 21.3 - 30，在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ 在 $BC$ 边上（与点 $B$，$C$ 不重合），连接 $AE$，过点 $E$ 作 $AE$ 的垂线，交 $DC$ 于点 $M$，延长 $EM$ 到点 $F$，使 $EF = AE$，连接 $FC$。
(1) 依题意补全图形；
(2) 用等式表示线段 $BE$ 与 $CF$ 的数量关系，并证明。

(1) 补全图形：过点E作AE的垂线交DC于点M，延长EM到点F，使EF=AE，连接FC，图形按此描述绘制即可。
(2) 结论：$\boldsymbol{CF=\sqrt{2}BE}$
证明：
过点F作$FG ⊥ BC$，交BC的延长线于点G，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $∠ B=90°$，$AB=BC$，
∴ $∠ BAE + ∠ AEB=90°$，
∵ $AE ⊥ EF$，
∴ $∠ AEF=90°$，
∴ $∠ AEB + ∠ FEG=90°$，
∴ $∠ BAE=∠ FEG$，
在$△ ABE$和$△ EGF$中，
$\begin{cases}∠ B=∠ G=90° \\∠ BAE=∠ GEF \\AE=EF\end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ EGF$（AAS），
∴ $AB=EG$，$BE=FG$，
∵ $AB=BC$，
∴ $BC=EG$，
∵ $BC=BE+EC$，$EG=EC+CG$，
∴ $BE+EC=EC+CG$，
∴ $BE=CG$，
∴ $FG=CG$，
∴ $△ FCG$是等腰直角三角形，
∴ $CF=\sqrt{2}FG$，
又∵ $FG=BE$，
∴ $CF=\sqrt{2}BE$。