10. 如图 21.3 - 31，$E$ 是正方形 $ABCD$ 外一点，连接 $AE$，$BE$，$DE$。若 $BE⊥ DE$，$AE = 1$，$BE = \sqrt{2}$，求 $DE$ 的长。

10. $2\sqrt{2}$

11. 如图 21.3 - 32，菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，若 $∠ CAD = ∠ DBC$。
(1) 求证：四边形 $ABCD$ 是正方形；
(2) $E$ 是 $OB$ 上一点，$DH⊥ CE$，垂足为 $H$，$DH$ 与 $OC$ 相交于点 $F$，求证：$OE = OF$。

(1) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是菱形，
∴ $AD// BC$，$AC⊥ BD$，$∠ ABC=2∠ DBC$，
∴ $∠ CAD=∠ ACB$，
又∵ $∠ CAD=∠ DBC$，
∴ $∠ ACB=∠ DBC$，
∵ $AC⊥ BD$，
∴ $∠ BOC=90°$，
∴ $∠ DBC+∠ ACB=90°$，
又∵ $∠ ACB=∠ DBC$，
∴ $∠ DBC=∠ ACB=45°$，
∴ $∠ ABC=2×45°=90°$，
∵ 有一个角是直角的菱形是正方形，
∴ 四边形$ABCD$是正方形。
(2) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是正方形，
∴ $OC=OD$，$∠ COE=∠ DOF=90°$，
∴ $∠ OCE+∠ CEO=90°$，
∵ $DH⊥ CE$，
∴ $∠ DHE=90°$，
∴ $∠ EDH+∠ CEO=90°$，
∴ $∠ OCE=∠ EDH$，
在$△ COE$和$△ DOF$中，
$\begin{cases}∠ OCE=∠ ODF \\OC=OD \\∠ COE=∠ DOF\end{cases}$
∴ $△ COE≌△ DOF$（ASA），
∴ $OE=OF$。