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1. 直角三角形中有 6 个元素，分别是
三条边
和三个角
.答案
1. 三条边 三个角
2. 由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做
解直角三角形
.答案
2. 解直角三角形
3. 在直角三角形的 6 个元素中，直角是已知元素，如果再知道
一条边
和第三个元素
，那么这个三角形的所有元素就都可以确定下来.答案
3. 一条边 第三个元素
4. 在解直角三角形中，通常要用到的定理是
勾股定理
.答案
4. 勾股定理
1. 在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，$ AC = 5 $，$ ∠ BAC = 60^{\circ} $，则 $ BC $ 的长是(
A.$ 5 \sqrt{3} $
B.$ 5 \sqrt{2} $
C.5
D.10
A
).A.$ 5 \sqrt{3} $
B.$ 5 \sqrt{2} $
C.5
D.10
答案
1. A
2. 在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，$ AB = 6 $，$ \cos B = \frac{2}{3} $，则 $ BC $ 的长为(
A.4
B.$ 2 \sqrt{5} $
C.$ \frac{8 \sqrt{13}}{13} $
D.$ \frac{12 \sqrt{13}}{13} $
A
).A.4
B.$ 2 \sqrt{5} $
C.$ \frac{8 \sqrt{13}}{13} $
D.$ \frac{12 \sqrt{13}}{13} $
答案
2. A
3. 在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，$ ∠ A $，$ ∠ B $，$ ∠ C $ 所对的边分别为 $ a $，$ b $，$ c $，其中 $ a = 5 $，$ c = 10 $，则 $ ∠ A = $
$30^{\circ}$
，$ ∠ B = $$60^{\circ}$
，$ b = $$5\sqrt{3}$
.答案
3. $30^{\circ}$ $60^{\circ}$ $5\sqrt{3}$
4. 在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，$ AB = 8 \mathrm{ cm} $，$ ∠ A = 30^{\circ} $，则 $ BC = $
$4cm$
.答案
4. $4cm$
5. 如图，在菱形 $ ABCD $ 中，$ DE ⊥ AB $，$ \cos A = \frac{3}{5} $，$ BE = 2 $，则 $ \tan ∠ DBE = $
$2$
.答案
5. $2$
6. 如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ AC = 2 $，斜边 $ AB = \sqrt{13} $，延长 $ AB $ 到点 $ D $，使 $ BD = AB $，连接 $ CD $，则 $ \tan ∠ BCD = $
$\frac{1}{3}$
.答案
6. $\frac{1}{3}$
7. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ ACB = 90^{\circ} $，$ D $ 为 $ AC $ 边上一点，$ DE ⊥ AB $ 于点 $ E $，若 $ AC = 12 $，$ BC = 5 $.
（1）求 $ \cos ∠ ADE $ 的值；
（2）当 $ DE = DC $ 时，求 $ AD $ 的长.
（1）求 $ \cos ∠ ADE $ 的值；
（2）当 $ DE = DC $ 时，求 $ AD $ 的长.
答案
7. 解：(1) $\because DE⊥ AB$，$\therefore ∠ DEA = 90^{\circ}$，$\therefore ∠ A+∠ ADE = 90^{\circ}$。$\because ∠ ACB = 90^{\circ}$，$\therefore ∠ A+∠ B = 90^{\circ}$，$\therefore ∠ ADE = ∠ B$。在 $Rt△ ABC$ 中，$\because AC = 12$，$BC = 5$，$\therefore AB = 13$，$\therefore \cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{5}{13}$。$\therefore \cos ∠ ADE=\cos B=\frac{5}{13}$。
(2) 由(1)得 $\cos ∠ ADE=\frac{DE}{AD}=\frac{5}{13}$，设 $AD$ 为 $x(x＞0)$，则 $DE = DC=\frac{5}{13}x$。$\because AC = AD+DC = 12$，$\therefore x+\frac{5}{13}x = 12$，解得 $x=\frac{26}{3}$，$\therefore AD=\frac{26}{3}$。
(2) 由(1)得 $\cos ∠ ADE=\frac{DE}{AD}=\frac{5}{13}$，设 $AD$ 为 $x(x＞0)$，则 $DE = DC=\frac{5}{13}x$。$\because AC = AD+DC = 12$，$\therefore x+\frac{5}{13}x = 12$，解得 $x=\frac{26}{3}$，$\therefore AD=\frac{26}{3}$。
8. 阅读下列材料：
在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：
如图 ①，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ ACB = 90^{\circ} $，$ AB = 1 $，$ ∠ A = θ $，求 $ \sin 2θ $(用含 $ \sin θ $，$ \cos θ $ 的式子表示).
聪明的小雯同学是这样考虑的：如图 ②，取 $ AB $ 的中点 $ E $，连接 $ EC $，过点 $ C $ 作 $ CD ⊥ AB $ 于点 $ D $，则 $ ∠ CEB = 2θ $，然后利用锐角三角函数，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中表示出 $ AC $，$ BC $，在 $ \mathrm{Rt} △ ACD $ 中表示出 $ CD $，则可以求出：
$\begin{aligned}\sin 2θ &= \frac{CD}{CE} = \frac{\sin θ · AC}{\frac{1}{2}} = \frac{\sin θ · \cos θ}{\frac{1}{2}} \\&= 2 \sin θ · \cos θ.\end{aligned}$
阅读以上内容，回答下列问题：
如图 ③，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，$ AB = 1 $，$ ∠ A = α $.
(1)若 $ BC = \frac{1}{3} $，则 $ \sin α = $
(2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出 $ \tan 2α $ 的表达式(用含 $ \sin α $，$ \cos α $ 的式子表示).
在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：
如图 ①，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ ACB = 90^{\circ} $，$ AB = 1 $，$ ∠ A = θ $，求 $ \sin 2θ $(用含 $ \sin θ $，$ \cos θ $ 的式子表示).
聪明的小雯同学是这样考虑的：如图 ②，取 $ AB $ 的中点 $ E $，连接 $ EC $，过点 $ C $ 作 $ CD ⊥ AB $ 于点 $ D $，则 $ ∠ CEB = 2θ $，然后利用锐角三角函数，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中表示出 $ AC $，$ BC $，在 $ \mathrm{Rt} △ ACD $ 中表示出 $ CD $，则可以求出：
$\begin{aligned}\sin 2θ &= \frac{CD}{CE} = \frac{\sin θ · AC}{\frac{1}{2}} = \frac{\sin θ · \cos θ}{\frac{1}{2}} \\&= 2 \sin θ · \cos θ.\end{aligned}$
阅读以上内容，回答下列问题：
如图 ③，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，$ AB = 1 $，$ ∠ A = α $.
(1)若 $ BC = \frac{1}{3} $，则 $ \sin α = $
$\frac{1}{3}$
，$ \sin 2α = $$\frac{4\sqrt{2}}{9}$
；(2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出 $ \tan 2α $ 的表达式(用含 $ \sin α $，$ \cos α $ 的式子表示).
答案
8. 解：(1) $\frac{1}{3}$ $\frac{4\sqrt{2}}{9}$
(2) 如题图②，取 $AB$ 的中点 $E$，连接 $EC$，过点 $C$ 作 $CD⊥ AB$ 于点 $D$，则 $∠ CEB = 2α$。$\because AC=\cos α$，$BC=\sin α$，$\therefore CD=\frac{AC· BC}{AB}=\sin α·\cos α$。$\because ∠ DCB=∠ A$，$\therefore$ 在 $Rt△ BCD$ 中，$BD=\sin^{2}α$。$\therefore ED=\frac{1}{2}-\sin^{2}α$。$\therefore \tan 2α=\frac{CD}{ED}=\frac{\sin α·\cos α}{\frac{1}{2}-\sin^{2}α}=\frac{2\sin α·\cos α}{1 - 2\sin^{2}α}$。
(2) 如题图②，取 $AB$ 的中点 $E$，连接 $EC$，过点 $C$ 作 $CD⊥ AB$ 于点 $D$，则 $∠ CEB = 2α$。$\because AC=\cos α$，$BC=\sin α$，$\therefore CD=\frac{AC· BC}{AB}=\sin α·\cos α$。$\because ∠ DCB=∠ A$，$\therefore$ 在 $Rt△ BCD$ 中，$BD=\sin^{2}α$。$\therefore ED=\frac{1}{2}-\sin^{2}α$。$\therefore \tan 2α=\frac{CD}{ED}=\frac{\sin α·\cos α}{\frac{1}{2}-\sin^{2}α}=\frac{2\sin α·\cos α}{1 - 2\sin^{2}α}$。
