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例2 (1)已知$a(a-1)+(b-a^{2})= -7$，求$\dfrac{a^{2}+b^{2}}{2}-ab$的值；
(2)已知$x+y=2,xy=2$，求$\dfrac{1}{2}x^{3}y+ x^{2}y^{2}+\dfrac{1}{2}xy^{3}$的值。
思路导引
本题考查的是用提公因式法和公式法进行因式分解后代数式求值，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用公式法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止。
归纳总结
代数式求值中，利用完全平方公式因式分解后，利用整体代入的思想渗透使问题迎刃而解。
(2)已知$x+y=2,xy=2$，求$\dfrac{1}{2}x^{3}y+ x^{2}y^{2}+\dfrac{1}{2}xy^{3}$的值。
思路导引
本题考查的是用提公因式法和公式法进行因式分解后代数式求值，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用公式法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止。
归纳总结
代数式求值中，利用完全平方公式因式分解后，利用整体代入的思想渗透使问题迎刃而解。
答案
例2.解:(1)$a(a-1)+(b-a^{2})=-7,$
整理得$a^{2}-a+b-a^{2}=-7,$
即 $a-b=7$。
所以$\frac {a^{2}+b^{2}}{2}-ab=\frac {a^{2}-2ab+b^{2}}{2}=\frac {(a-b)^{2}}{2}=\frac {49}{2};$
(2)原式$=\frac {1}{2}xy(x^{2}+2xy+y^{2})=\frac {1}{2}xy(x+y)^{2}$。
当$x+y=2,xy=2$时,原式$=\frac {1}{2}×2×2^{2}=4$。
整理得$a^{2}-a+b-a^{2}=-7,$
即 $a-b=7$。
所以$\frac {a^{2}+b^{2}}{2}-ab=\frac {a^{2}-2ab+b^{2}}{2}=\frac {(a-b)^{2}}{2}=\frac {49}{2};$
(2)原式$=\frac {1}{2}xy(x^{2}+2xy+y^{2})=\frac {1}{2}xy(x+y)^{2}$。
当$x+y=2,xy=2$时,原式$=\frac {1}{2}×2×2^{2}=4$。
解析
【分析】
对于(1)，首先需化简已知等式，通过去括号、合并同类项得到a与b的关系；再观察所求代数式的结构，将其变形为含$(a-b)$的完全平方形式，最后把化简得到的$a-b$的值整体代入计算。
对于(2)，先对所求代数式提取公因式，再利用完全平方公式因式分解，将其转化为含$(x+y)$和$xy$的形式，最后把已知的$x+y$和$xy$的值整体代入求解。
【解析】
(1)已知$a(a-1)+(b-a^{2})=-7$，
去括号得：$a^2 - a + b - a^2 = -7$，
合并同类项得：$a - b = 7$。
对$\dfrac{a^{2}+b^{2}}{2}-ab$变形：
$\dfrac{a^{2}+b^{2}}{2}-ab=\dfrac{a^{2}-2ab+b^{2}}{2}=\dfrac{(a-b)^2}{2}$，
将$a - b = 7$代入得：$\dfrac{7^2}{2}=\dfrac{49}{2}$。
(2)对$\dfrac{1}{2}x^{3}y+ x^{2}y^{2}+\dfrac{1}{2}xy^{3}$因式分解：
提取公因式$\dfrac{1}{2}xy$得：$\dfrac{1}{2}xy(x^2 + 2xy + y^2)$，
利用完全平方公式变形得：原式$=\dfrac{1}{2}xy(x+y)^2$。
将$x+y=2,xy=2$代入得：
$\dfrac{1}{2}×2×2^2 = 1×4 = 4$。
【答案】
(1)$\dfrac{49}{2}$；(2)$4$
【知识点】
完全平方公式，因式分解，整体代入求值
【点评】
本题考查代数式求值，核心是通过因式分解将所求代数式转化为含已知条件的形式，借助整体代入思想简化计算，避免直接求解字母值，体现了转化思想在代数运算中的重要性。
【难度系数】
0.7
对于(1)，首先需化简已知等式，通过去括号、合并同类项得到a与b的关系；再观察所求代数式的结构，将其变形为含$(a-b)$的完全平方形式，最后把化简得到的$a-b$的值整体代入计算。
对于(2)，先对所求代数式提取公因式，再利用完全平方公式因式分解，将其转化为含$(x+y)$和$xy$的形式，最后把已知的$x+y$和$xy$的值整体代入求解。
【解析】
(1)已知$a(a-1)+(b-a^{2})=-7$，
去括号得：$a^2 - a + b - a^2 = -7$，
合并同类项得：$a - b = 7$。
对$\dfrac{a^{2}+b^{2}}{2}-ab$变形：
$\dfrac{a^{2}+b^{2}}{2}-ab=\dfrac{a^{2}-2ab+b^{2}}{2}=\dfrac{(a-b)^2}{2}$，
将$a - b = 7$代入得：$\dfrac{7^2}{2}=\dfrac{49}{2}$。
(2)对$\dfrac{1}{2}x^{3}y+ x^{2}y^{2}+\dfrac{1}{2}xy^{3}$因式分解：
提取公因式$\dfrac{1}{2}xy$得：$\dfrac{1}{2}xy(x^2 + 2xy + y^2)$，
利用完全平方公式变形得：原式$=\dfrac{1}{2}xy(x+y)^2$。
将$x+y=2,xy=2$代入得：
$\dfrac{1}{2}×2×2^2 = 1×4 = 4$。
【答案】
(1)$\dfrac{49}{2}$；(2)$4$
【知识点】
完全平方公式，因式分解，整体代入求值
【点评】
本题考查代数式求值，核心是通过因式分解将所求代数式转化为含已知条件的形式，借助整体代入思想简化计算，避免直接求解字母值，体现了转化思想在代数运算中的重要性。
【难度系数】
0.7
4. 若$m^{2}-n^{2}=6$，且$m-n=3$，则$m+n=$(
A.1
B.2
C.2或-2
D.4
B
)。A.1
B.2
C.2或-2
D.4
答案
4. B
解析
【分析】
首先回忆平方差公式，我们知道两个数的平方差可以分解为这两个数的和与差的乘积，即$m^2 - n^2=(m-n)(m+n)$。题目中已经给出$m^2 - n^2=6$和$m-n=3$，我们可以将这两个已知条件代入分解后的式子，通过简单的除法运算就能求出$m+n$的值。
【解析】
根据平方差公式：$m^2 - n^2=(m-n)(m+n)$，
将$m^2 - n^2=6$，$m-n=3$代入公式可得：
$6=3×(m+n)$，
两边同时除以3，解得：$m+n=6÷3=2$。
所以答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题主要考查平方差公式的逆用，属于基础题型，解题关键是熟练掌握平方差公式的形式，准确代入已知条件进行计算，只要牢记公式就能轻松求解。
【难度系数】
0.8
首先回忆平方差公式，我们知道两个数的平方差可以分解为这两个数的和与差的乘积，即$m^2 - n^2=(m-n)(m+n)$。题目中已经给出$m^2 - n^2=6$和$m-n=3$，我们可以将这两个已知条件代入分解后的式子，通过简单的除法运算就能求出$m+n$的值。
【解析】
根据平方差公式：$m^2 - n^2=(m-n)(m+n)$，
将$m^2 - n^2=6$，$m-n=3$代入公式可得：
$6=3×(m+n)$，
两边同时除以3，解得：$m+n=6÷3=2$。
所以答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题主要考查平方差公式的逆用，属于基础题型，解题关键是熟练掌握平方差公式的形式，准确代入已知条件进行计算，只要牢记公式就能轻松求解。
【难度系数】
0.8
5. 如图，边长为$a,b$的长方形的周长为14，面积为10，则$a^{3}b+ab^{3}+2a^{2}b^{2}$的值为(
A.70
B.140
C.2 560
D.490
D
)。A.70
B.140
C.2 560
D.490
答案
5. D
解析
【分析】
首先，根据长方形的周长和面积公式，先求出$a+b$和$ab$的值。接着观察所求代数式的结构，通过因式分解将其转化为含有$a+b$和$ab$的形式，最后代入已知值计算即可。具体思路：由长方形周长公式可得$2(a+b)=14$，从而得出$a+b=7$；由面积公式直接得到$ab=10$。对代数式先提取公因式$ab$，再利用完全平方公式将剩余部分转化为$(a+b)^2$，这样就能代入已知条件计算出结果。
【解析】
1. 根据长方形周长公式，已知周长为14：
$2(a+b)=14$，解得$a+b=7$；
2. 根据长方形面积公式，已知面积为10：
$ab=10$；
3. 对代数式$a^{3}b+ab^{3}+2a^{2}b^{2}$因式分解：
$a^{3}b+ab^{3}+2a^{2}b^{2}=ab(a^{2}+b^{2}+2ab)=ab(a+b)^{2}$；
4. 代入$a+b=7$，$ab=10$计算：
$ab(a+b)^{2}=10×7^{2}=10×49=490$。
【答案】
D
【知识点】
因式分解，完全平方公式，长方形周长面积公式
【点评】
本题考查因式分解的应用及长方形周长、面积公式的运用，核心是通过因式分解将所求代数式转化为含已知条件的形式，运用整体代入思想简化计算，注重对代数变形能力的考查。
【难度系数】
0.6
首先，根据长方形的周长和面积公式，先求出$a+b$和$ab$的值。接着观察所求代数式的结构，通过因式分解将其转化为含有$a+b$和$ab$的形式，最后代入已知值计算即可。具体思路：由长方形周长公式可得$2(a+b)=14$，从而得出$a+b=7$；由面积公式直接得到$ab=10$。对代数式先提取公因式$ab$，再利用完全平方公式将剩余部分转化为$(a+b)^2$，这样就能代入已知条件计算出结果。
【解析】
1. 根据长方形周长公式，已知周长为14：
$2(a+b)=14$，解得$a+b=7$；
2. 根据长方形面积公式，已知面积为10：
$ab=10$；
3. 对代数式$a^{3}b+ab^{3}+2a^{2}b^{2}$因式分解：
$a^{3}b+ab^{3}+2a^{2}b^{2}=ab(a^{2}+b^{2}+2ab)=ab(a+b)^{2}$；
4. 代入$a+b=7$，$ab=10$计算：
$ab(a+b)^{2}=10×7^{2}=10×49=490$。
【答案】
D
【知识点】
因式分解，完全平方公式，长方形周长面积公式
【点评】
本题考查因式分解的应用及长方形周长、面积公式的运用，核心是通过因式分解将所求代数式转化为含已知条件的形式，运用整体代入思想简化计算，注重对代数变形能力的考查。
【难度系数】
0.6
6. 已知$a-b=3,c-b=6$，求$\dfrac{a^{2}+c^{2}}{2}-ac$的值。
答案
6.解:$a-b=3,c-b=6,$
两式相减得$a-c=-3$。
则$\frac {a^{2}+c^{2}}{2}-ac=\frac {a^{2}+c^{2}-2ac}{2}=\frac {(a-c)^{2}}{2}=\frac {(-3)^{2}}{2}=4.5$。
两式相减得$a-c=-3$。
则$\frac {a^{2}+c^{2}}{2}-ac=\frac {a^{2}+c^{2}-2ac}{2}=\frac {(a-c)^{2}}{2}=\frac {(-3)^{2}}{2}=4.5$。
解析
【分析】
首先观察所求代数式$\dfrac{a^{2}+c^{2}}{2}-ac$，可通过完全平方公式的变形将其转化为含$(a-c)$的形式。已知条件给出了$a-b$和$c-b$的值，我们可以通过这两个等式相减得到$a-c$的值，再整体代入变形后的式子即可求出结果。具体思考步骤：
1. 对所求代数式变形，利用完全平方公式$a^2-2ac+c^2=(a-c)^2$，将原式转化为$\dfrac{(a-c)^2}{2}$；
2. 用已知的$a-b=3$减去$c-b=6$，计算出$a-c$的值；
3. 将$a-c$的值代入变形后的式子，计算最终结果。
【解析】
已知$a-b=3$，$c-b=6$，
两式相减得：$(a-b)-(c-b)=3-6$，
去括号化简：$a-b-c+b=-3$，即$a-c=-3$。
对$\dfrac{a^{2}+c^{2}}{2}-ac$变形：
$\dfrac{a^{2}+c^{2}}{2}-ac=\dfrac{a^{2}+c^{2}-2ac}{2}=\dfrac{(a-c)^2}{2}$，
将$a-c=-3$代入得：
$\dfrac{(-3)^2}{2}=\dfrac{9}{2}=4.5$。
【答案】
4.5
【知识点】
完全平方公式变形、代数式求值
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活运用及整体代入思想，解题核心是将所求代数式转化为与已知条件相关的形式，通过简单等式运算得到所需整体值，注重基础知识的综合运用。
【难度系数】
0.6
首先观察所求代数式$\dfrac{a^{2}+c^{2}}{2}-ac$，可通过完全平方公式的变形将其转化为含$(a-c)$的形式。已知条件给出了$a-b$和$c-b$的值，我们可以通过这两个等式相减得到$a-c$的值，再整体代入变形后的式子即可求出结果。具体思考步骤：
1. 对所求代数式变形，利用完全平方公式$a^2-2ac+c^2=(a-c)^2$，将原式转化为$\dfrac{(a-c)^2}{2}$；
2. 用已知的$a-b=3$减去$c-b=6$，计算出$a-c$的值；
3. 将$a-c$的值代入变形后的式子，计算最终结果。
【解析】
已知$a-b=3$，$c-b=6$，
两式相减得：$(a-b)-(c-b)=3-6$，
去括号化简：$a-b-c+b=-3$，即$a-c=-3$。
对$\dfrac{a^{2}+c^{2}}{2}-ac$变形：
$\dfrac{a^{2}+c^{2}}{2}-ac=\dfrac{a^{2}+c^{2}-2ac}{2}=\dfrac{(a-c)^2}{2}$，
将$a-c=-3$代入得：
$\dfrac{(-3)^2}{2}=\dfrac{9}{2}=4.5$。
【答案】
4.5
【知识点】
完全平方公式变形、代数式求值
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活运用及整体代入思想，解题核心是将所求代数式转化为与已知条件相关的形式，通过简单等式运算得到所需整体值，注重基础知识的综合运用。
【难度系数】
0.6
1. 把$4xy^{2}+2xy$分解因式，应提取的公因式是(
A. $2x$
B. $xy$
C. $2xy$
D. $xy^{2}$
C
)。A. $2x$
B. $xy$
C. $2xy$
D. $xy^{2}$
答案
1. C
解析
【分析】
要确定多项式分解因式时应提取的公因式，需从系数和字母两方面分析：首先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母，且相同字母取最低次幂。对于$4xy^{2}+2xy$，先看系数4和2，它们的最大公约数是2；再看字母，两项都含有x和y，x的次数在两项中都是1，y的次数分别是2和1，取最低次1，所以公因式是$2xy$，对应选项C。
【解析】
1. 确定系数的最大公约数：多项式两项的系数分别为4和2，它们的最大公约数是2；
2. 确定相同字母及最低次幂：两项都含有字母x和y，x的最低次幂是1，y的最低次幂是1；
3. 组合得到公因式：$2× x× y=2xy$，因此应提取的公因式是$2xy$，选C。
【答案】
C
【知识点】
提取公因式法
【点评】
本题主要考查提取公因式法中对公因式的确定，熟练掌握公因式的确定方法（系数取最大公约数，字母取相同且最低次幂）是解题关键，属于因式分解的基础题型。
【难度系数】
0.8
要确定多项式分解因式时应提取的公因式，需从系数和字母两方面分析：首先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母，且相同字母取最低次幂。对于$4xy^{2}+2xy$，先看系数4和2，它们的最大公约数是2；再看字母，两项都含有x和y，x的次数在两项中都是1，y的次数分别是2和1，取最低次1，所以公因式是$2xy$，对应选项C。
【解析】
1. 确定系数的最大公约数：多项式两项的系数分别为4和2，它们的最大公约数是2；
2. 确定相同字母及最低次幂：两项都含有字母x和y，x的最低次幂是1，y的最低次幂是1；
3. 组合得到公因式：$2× x× y=2xy$，因此应提取的公因式是$2xy$，选C。
【答案】
C
【知识点】
提取公因式法
【点评】
本题主要考查提取公因式法中对公因式的确定，熟练掌握公因式的确定方法（系数取最大公约数，字母取相同且最低次幂）是解题关键，属于因式分解的基础题型。
【难度系数】
0.8
2. 下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是(
A. $10x^{2}-5x=5x(2x-1)$
B. $a(m+n)=am+an$
C. $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
D. $x^{2}-16+6x=(x+4)(x-4)+6x$
A
)。A. $10x^{2}-5x=5x(2x-1)$
B. $a(m+n)=am+an$
C. $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
D. $x^{2}-16+6x=(x+4)(x-4)+6x$
答案
2. A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确因式分解的核心定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形才叫做因式分解。接下来我们逐个分析选项，判断是否符合这一特征：
1. 先看选项A，左边是多项式，右边是两个整式的乘积形式，完全匹配因式分解的定义；
2. 选项B和C是将整式的积展开成多项式，这属于整式乘法运算，和因式分解是互逆的过程，不属于因式分解；
3. 选项D的右边虽然包含整式乘积，但整体是乘积加多项式的形式，并非纯粹的整式积的形式，不符合因式分解的要求。
【解析】
根据因式分解的定义，对各选项逐一分析：
选项A：$10x^{2}-5x=5x(2x-1)$，是将多项式$10x^2-5x$化成了整式$5x$与$2x-1$的积的形式，符合因式分解的定义，属于因式分解；
选项B：$a(m+n)=am+an$，是把整式的积转化为多项式，属于整式乘法，不属于因式分解；
选项C：$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$，是完全平方公式的展开运算，属于整式乘法，不属于因式分解；
选项D：$x^{2}-16+6x=(x+4)(x-4)+6x$，右边是整式乘积与多项式的和，不是几个整式的积的形式，不属于因式分解。
综上，属于因式分解的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
因式分解的定义
【点评】
本题重点考查因式分解的基础定义，解题关键是准确区分因式分解与整式乘法的区别：因式分解是多项式化为整式积的形式，整式乘法是整式积化为多项式，二者互为逆过程。通过本题可帮助学生夯实因式分解的概念认知。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确因式分解的核心定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形才叫做因式分解。接下来我们逐个分析选项，判断是否符合这一特征：
1. 先看选项A，左边是多项式，右边是两个整式的乘积形式，完全匹配因式分解的定义；
2. 选项B和C是将整式的积展开成多项式，这属于整式乘法运算，和因式分解是互逆的过程，不属于因式分解；
3. 选项D的右边虽然包含整式乘积，但整体是乘积加多项式的形式，并非纯粹的整式积的形式，不符合因式分解的要求。
【解析】
根据因式分解的定义，对各选项逐一分析：
选项A：$10x^{2}-5x=5x(2x-1)$，是将多项式$10x^2-5x$化成了整式$5x$与$2x-1$的积的形式，符合因式分解的定义，属于因式分解；
选项B：$a(m+n)=am+an$，是把整式的积转化为多项式，属于整式乘法，不属于因式分解；
选项C：$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$，是完全平方公式的展开运算，属于整式乘法，不属于因式分解；
选项D：$x^{2}-16+6x=(x+4)(x-4)+6x$，右边是整式乘积与多项式的和，不是几个整式的积的形式，不属于因式分解。
综上，属于因式分解的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
因式分解的定义
【点评】
本题重点考查因式分解的基础定义，解题关键是准确区分因式分解与整式乘法的区别：因式分解是多项式化为整式积的形式，整式乘法是整式积化为多项式，二者互为逆过程。通过本题可帮助学生夯实因式分解的概念认知。
【难度系数】
0.8
3. 下列各式不能运用公式法进行因式分解的是(
A. $-a^{2}+b^{2}$
B. $16m^{2}-25n^{2}$
C. $4p^{2}-6pq+9q^{2}$
D. $(a+b)^{2}+(a+b)+\dfrac{1}{4}$
C
)。A. $-a^{2}+b^{2}$
B. $16m^{2}-25n^{2}$
C. $4p^{2}-6pq+9q^{2}$
D. $(a+b)^{2}+(a+b)+\dfrac{1}{4}$
答案
3. C
解析
【分析】
要判断哪个式子不能用公式法因式分解，首先明确公式法主要包含平方差公式和完全平方公式。平方差公式的特征是：两项式，两项符号相反且均为平方形式；完全平方公式的特征是：三项式，其中两项是同号的平方项，第三项是这两个平方项底数乘积的2倍（正负均可）。接下来我们逐个分析选项，对比公式特征即可找出答案。
【解析】
选项A：$-a^{2}+b^{2}=b^{2}-a^{2}$，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的特征，可分解为$(b+a)(b-a)$，能用公式法因式分解；
选项B：$16m^{2}-25n^{2}=(4m)^2-(5n)^2$，符合平方差公式特征，可分解为$(4m+5n)(4m-5n)$，能用公式法因式分解；
选项C：$4p^{2}-6pq+9q^{2}=(2p)^2-6pq+(3q)^2$，完全平方公式要求中间项为$\pm2×2p×3q=\pm12pq$，但原式中间项是$-6pq$，不满足完全平方公式特征，同时它也不是平方差形式，因此不能运用公式法因式分解；
选项D：令$x=a+b$，则原式变为$x^2+x+\frac{1}{4}$，符合完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的特征，可分解为$(x+\frac{1}{2})^2$，代回得$(a+b+\frac{1}{2})^2$，能用公式法因式分解。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式因式分解、完全平方公式因式分解
【点评】
本题核心是考查对公式法因式分解的公式结构特征的掌握，解题关键是准确识别每个选项的式子结构与平方差、完全平方公式的匹配度，需要注意完全平方公式中中间项的系数与平方项底数的关系。
【难度系数】
0.6
要判断哪个式子不能用公式法因式分解，首先明确公式法主要包含平方差公式和完全平方公式。平方差公式的特征是：两项式，两项符号相反且均为平方形式；完全平方公式的特征是：三项式，其中两项是同号的平方项，第三项是这两个平方项底数乘积的2倍（正负均可）。接下来我们逐个分析选项，对比公式特征即可找出答案。
【解析】
选项A：$-a^{2}+b^{2}=b^{2}-a^{2}$，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的特征，可分解为$(b+a)(b-a)$，能用公式法因式分解；
选项B：$16m^{2}-25n^{2}=(4m)^2-(5n)^2$，符合平方差公式特征，可分解为$(4m+5n)(4m-5n)$，能用公式法因式分解；
选项C：$4p^{2}-6pq+9q^{2}=(2p)^2-6pq+(3q)^2$，完全平方公式要求中间项为$\pm2×2p×3q=\pm12pq$，但原式中间项是$-6pq$，不满足完全平方公式特征，同时它也不是平方差形式，因此不能运用公式法因式分解；
选项D：令$x=a+b$，则原式变为$x^2+x+\frac{1}{4}$，符合完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的特征，可分解为$(x+\frac{1}{2})^2$，代回得$(a+b+\frac{1}{2})^2$，能用公式法因式分解。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式因式分解、完全平方公式因式分解
【点评】
本题核心是考查对公式法因式分解的公式结构特征的掌握，解题关键是准确识别每个选项的式子结构与平方差、完全平方公式的匹配度，需要注意完全平方公式中中间项的系数与平方项底数的关系。
【难度系数】
0.6
