4. 若$a-b=2$，则$a^{2}-b^{2}-4b$的值是()。
A. 2
B. 0
C. 4
D. 6

4. C

【分析】
题目已知$a - b = 2$，要求$a^2 - b^2 - 4b$的值。我们可以从两个思路入手：一是利用平方差公式将$a^2 - b^2$分解为$(a - b)(a + b)$，再代入已知条件化简；二是根据$a - b = 2$用含$b$的式子表示$a$（即$a = b + 2$），然后代入原式进行计算。两种思路都能通过化简消去字母，得到最终的数值结果。
【解析】
方法一：利用平方差公式化简
因为$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$，且$a - b = 2$，
所以原式$=(a - b)(a + b) - 4b = 2(a + b) - 4b$
展开得：$2a + 2b - 4b = 2a - 2b = 2(a - b)$
将$a - b = 2$代入得：$2×2 = 4$
方法二：代入消元法
由$a - b = 2$可得$a = b + 2$，
将$a = b + 2$代入$a^2 - b^2 - 4b$得：
$(b + 2)^2 - b^2 - 4b$
展开完全平方：$b^2 + 4b + 4 - b^2 - 4b$
合并同类项：$(b^2 - b^2) + (4b - 4b) + 4 = 4$
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，代数式化简求值
【点评】
本题考查代数式的化简求值，灵活运用平方差公式或代入消元法是解题核心。题目难度较低，主要考查对公式的掌握和基本的代数运算能力，计算时注意同类项的合并，避免计算错误。
【难度系数】
0.8

5. 已知$m+n=3$，则$m^{2}+2mn+n^{2}-6$的值为。

5. 3

【分析】
首先观察所求代数式，其中$m^{2}+2mn+n^{2}$符合完全平方公式的形式，可变形为$(m+n)^2$。题目已知$m+n=3$，因此我们可以通过整体代入的方法，将$(m+n)^2$替换为$3^2$，再进行后续计算，无需分别求出$m$和$n$的值，这样能简化计算过程。
【解析】
1. 利用完全平方公式对代数式变形：
$m^{2}+2mn+n^{2}-6=(m+n)^2-6$
2. 代入已知条件$m+n=3$：
原式$=3^2 - 6$
3. 计算结果：
$=9 - 6=3$
【答案】
3
【知识点】
完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题主要考查完全平方公式的逆用及整体代入思想的应用，通过公式将所求代数式转化为含已知条件的形式，降低计算难度，只要熟练掌握完全平方公式即可轻松求解。
【难度系数】
0.8

6. 因式分解：
(1)$6xy^{2}-9x^{2}y-y^{3}=$；
(2)$x^{4}-8y^{2}(x^{2}-2y^{2})=$；
(3)$2(x-2y)^{3}-2x+4y=$。

6. (1)$-y(3x-y)^{2}$ (2)$(x+2y)^{2}(x-2y)^{2}$
(3)$2(x-2y)(x-2y+1)(x-2y-1)$

【分析】
本题考查因式分解的综合应用，需根据每个式子的结构特点，先提取公因式，再结合公式法逐步分解，确保分解彻底。
(1) 首先观察式子各项的公因式，发现每一项都含有$-y$，提取公因式后，剩余部分符合完全平方公式的形式，再用完全平方公式完成分解；
(2) 先将原式展开并整理，得到一个完全平方式，再对括号内的式子利用平方差公式继续分解，保证分解到不能再分解为止；
(3) 先把式子中的$-2x+4y$变形为$-2(x-2y)$，使整个式子出现公因式$2(x-2y)$，提取公因式后，剩余部分符合平方差公式，再用平方差公式完成最终分解。
【解析】
(1) $6xy^{2}-9x^{2}y-y^{3}$
$=-y(9x^{2}-6xy+y^{2})$ （提取公因式$-y$）
$=-y(3x-y)^{2}$ （利用完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=3x$，$b=y$）
(2) $x^{4}-8y^{2}(x^{2}-2y^{2})$
$=x^{4}-8x^{2}y^{2}+16y^{4}$ （展开括号并整理）
$=(x^{2}-4y^{2})^{2}$ （利用完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=x^2$，$b=4y^2$）
$=[(x+2y)(x-2y)]^{2}$ （利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，其中$a=x$，$b=2y$）
$=(x+2y)^{2}(x-2y)^{2}$
(3) $2(x-2y)^{3}-2x+4y$
$=2(x-2y)^{3}-2(x-2y)$ （将$-2x+4y$提取公因式$-2$，变形为$-2(x-2y)$）
$=2(x-2y)[(x-2y)^{2}-1]$ （提取公因式$2(x-2y)$）
$=2(x-2y)(x-2y+1)(x-2y-1)$ （利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，其中$a=x-2y$，$b=1$）
【答案】
(1)$-y(3x-y)^{2}$；(2)$(x+2y)^{2}(x-2y)^{2}$；(3)$2(x-2y)(x-2y+1)(x-2y-1)$
【知识点】
1. 提取公因式法；2. 完全平方公式；3. 平方差公式
【点评】
因式分解的核心思路是“一提二套三检查”，即先提取公因式，再套用合适的公式，最后检查是否分解彻底。本题综合考查了因式分解的常用方法，需要熟练掌握公式的结构特征，灵活应用变形技巧，确保分解结果符合要求。
【难度系数】
0.6

7. 若$k$为任意整数，则$(3k+4)^{2}-9k^{2}$的值总能被整除。

7. 8

【分析】
要解决这个问题，我们的思路是先对给定的代数式进行化简，通过整式运算将其转化为更简洁的形式，再观察化简后的结果具有怎样的整除特性。首先，利用完全平方公式展开$(3k+4)^2$，然后合并同类项，最后提取公因数，判断结果是哪个整数的倍数，由于k是任意整数，这个倍数对应的整数就是能整除原式的数。
【解析】
$\begin{aligned}&(3k+4)^{2}-9k^{2}\\=&9k^2 + 24k + 16 - 9k^2\\=&24k + 16\\=&8(3k + 2)\end{aligned}$
因为k为任意整数，所以$3k+2$是整数，那么$8(3k+2)$一定是8的倍数，即$(3k+4)^{2}-9k^{2}$的值总能被8整除。
【答案】
8
【知识点】
完全平方公式、整式化简、整除判定
【点评】
本题主要考查整式的运算与整除的性质，解题的关键是熟练运用完全平方公式对代数式进行化简，将原式转化为某个整数与整式的乘积形式，进而判断出能整除原式的数，题目难度不大，注重基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.8

8. 已知$x+y=3,xy=-7$，求下列各式的值：
(1)$x^{2}+y^{2}$；(2)$x^{2}+xy+y^{2}$；(3)$(x-y)^{2}$。

8.解:(1)把$x+y=3$两边平方,得$(x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy=$
9,
将$xy=-7$代入,得$x^{2}+y^{2}=23;$
(2)原式$=23-7-16;$
(3)原式$=x^{2}-2xy+y^{2}=23+14=37$。

【分析】
这道题已知两个变量的和与积，直接求解x、y的值会比较繁琐，因此我们可以利用完全平方公式的变形，将所求式子转化为含有$x+y$和$xy$的形式，再通过整体代入已知数值来计算，这样能大幅简化运算：
1. 对于$x^2+y^2$，根据完全平方公式$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$，移项可得$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$，代入已知条件即可计算；
2. 对于$x^2+xy+y^2$，可以直接用第一问求出的$x^2+y^2$加上$xy$，代入数值计算；
3. 对于$(x-y)^2$，根据完全平方公式展开为$x^2-2xy+y^2$，同样可以用第一问的结果结合$xy$的值计算，或者转化为$(x+y)^2-4xy$进行计算。
【解析】
(1) 根据完全平方公式，将$x+y=3$两边平方：
$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$
代入$x+y=3$得：$3^2 = x^2 + y^2 + 2xy$，即$9 = x^2 + y^2 + 2xy$
把$xy=-7$代入上式：
$x^2 + y^2 + 2×(-7) = 9$
$x^2 + y^2 - 14 = 9$
解得$x^2 + y^2 = 9 + 14 = 23$
(2) 由(1)知$x^2 + y^2=23$，则：
$x^2 + xy + y^2 = (x^2 + y^2) + xy$
代入$x^2 + y^2=23$，$xy=-7$得：
$23 + (-7) = 16$
(3) 根据完全平方公式展开：
$(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 = (x^2 + y^2) - 2xy$
代入$x^2 + y^2=23$，$xy=-7$得：
$23 - 2×(-7) = 23 + 14 = 37$
【答案】
(1) $\boldsymbol{23}$；(2) $\boldsymbol{16}$；(3) $\boldsymbol{37}$
【知识点】
完全平方公式变形，整体代入法
【点评】
本题核心考查完全平方公式的灵活运用，通过转化思想将未知代数式转化为已知条件的组合，利用整体代入简化计算，避免了求解x、y的复杂过程，是代数中转化思想和整体思想的典型应用。
【难度系数】
0.6

9. 我们知道可以用拼图来解释一些多项式的因式分解，假设有足够多的长方形和正方形卡片，如图①，如果选取1号、3号卡片各一张，可以拼成图②的形式，根据图②可将$a^{2}+ab$因式分解得$a^{2}+ab=a(a+b)$。
(1)如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、1张、2张，可拼成图③的形式，根据图③可将$a^{2}+2ab+b^{2}$因式分解得；
(2)如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，你能通过拼图形象地说明多项式$a^{2}+3ab+2b^{2}$的因式分解吗？请画出拼图，并根据拼图写出因式分解的结果；
(3)请直接写出$a^{2}+4ab+3b^{2}$因式分解的结果。

9.解:(1)$(a+b)^{2};$
(2)如图所示,$a^{2}+3ab+2b^{2}=(a+b)(a+2b);$
(3)$a^{2}+4ab+3b^{2}=(a+b)(a+3b)$。

第9题图

【分析】
1. 对于第(1)问：观察图③，它是边长为$a+b$的正方形，整体面积可表示为$(a+b)^2$，同时该面积也等于1号、2号、2张3号卡片的面积和$a^2+2ab+b^2$，由此可得出多项式的因式分解形式。
2. 对于第(2)问：1张1号、2张2号、3张3号卡片的总面积为$a^2+3ab+2b^2$，可将这些卡片拼成长为$a+2b$、宽为$a+b$的矩形，利用矩形面积与卡片面积和的对应关系，得到因式分解结果并画出拼图。
3. 对于第(3)问：类比前两问的拼图规律，$a^2+4ab+3b^2$对应长为$a+3b$、宽为$a+b$的矩形面积，直接推导因式分解结果。
【解析】
(1) 图③是边长为$a+b$的正方形，其面积为$(a+b)^2$，同时该正方形的面积等于各卡片面积和：$a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$，因此$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$。
(2) 拼图如下：

该拼图为长$a+2b$、宽$a+b$的矩形，面积为$(a+b)(a+2b)$，且矩形面积等于1张1号、2张2号、3张3号卡片的面积和$a^2+3ab+2b^2$，故$a^2+3ab+2b^2=(a+b)(a+2b)$。
(3) 结合前两问的规律，$a^2+4ab+3b^2$对应长$a+3b$、宽$a+b$的矩形面积，因此$a^2+4ab+3b^2=(a+b)(a+3b)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(a+b)^{2}}$
(2) 拼图如下：

因式分解结果：$\boldsymbol{a^{2}+3ab+2b^{2}=(a+b)(a+2b)}$
(3) $\boldsymbol{a^{2}+4ab+3b^{2}=(a+b)(a+3b)}$
【知识点】
因式分解（公式法）、因式分解（十字相乘法）、数形结合思想
【点评】
本题借助拼图将代数因式分解与几何面积计算结合，直观体现了数形结合思想，帮助学生从几何角度理解因式分解的本质，需要学生掌握多项式与图形面积的对应关系，学会通过图形推导代数结论。
【难度系数】
0.6