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1. (2024·天津)从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度 $ h $ (单位: $ \mathrm{m} $)与小球的运动时间 $ t $ (单位: $ \mathrm{s} $)之间的关系式是 $ h = 30t - 5t^{2}(0 ≤ t ≤ 6) $. 有下列结论:
① 小球从抛出到落地需要 $ 6 \mathrm{s} $;
② 小球运动中的高度可以是 $ 30 \mathrm{m} $;
③ 小球运动 $ 2 \mathrm{s} $ 时的高度小于运动 $ 5 \mathrm{s} $ 时的高度.
其中,正确结论的个数是 (
A.0
B.1
C.2
D.3
① 小球从抛出到落地需要 $ 6 \mathrm{s} $;
② 小球运动中的高度可以是 $ 30 \mathrm{m} $;
③ 小球运动 $ 2 \mathrm{s} $ 时的高度小于运动 $ 5 \mathrm{s} $ 时的高度.
其中,正确结论的个数是 (
C
)A.0
B.1
C.2
D.3
答案
1. C
解析
① 当$h=0$时，$30t - 5t^{2}=0$，解得$t=0$或$t=6$，小球从抛出到落地需要$6\,\mathrm{s}$，结论①正确；
② $h = 30t - 5t^{2}=-5(t - 3)^{2}+45$，当$t=3$时，$h_{\mathrm{max}}=45\,\mathrm{m}$，$30＜45$，小球运动中的高度可以是$30\,\mathrm{m}$，结论②正确；
③ 当$t=2$时，$h=30×2 - 5×2^{2}=40\,\mathrm{m}$；当$t=5$时，$h=30×5 - 5×5^{2}=25\,\mathrm{m}$，$40＞25$，结论③错误。
正确结论的个数是$2$。
② $h = 30t - 5t^{2}=-5(t - 3)^{2}+45$，当$t=3$时，$h_{\mathrm{max}}=45\,\mathrm{m}$，$30＜45$，小球运动中的高度可以是$30\,\mathrm{m}$，结论②正确；
③ 当$t=2$时，$h=30×2 - 5×2^{2}=40\,\mathrm{m}$；当$t=5$时，$h=30×5 - 5×5^{2}=25\,\mathrm{m}$，$40＞25$，结论③错误。
正确结论的个数是$2$。
2. (2023·宜昌)如图,一名学生推铅球,铅球行进高度 $ y $ (单位: $ \mathrm{m} $)与水平距离 $ x $ (单位: $ \mathrm{m} $)之间的关系是 $ y = -\frac{1}{12}(x - 10)(x + 4) $, 则铅球推出的距离 $ OA = $
10
$ \mathrm{m} $.答案
2. 10
解析
解：铅球推出的距离 $OA$ 即铅球落地时的水平距离，此时 $y=0$。
令 $y = -\frac{1}{12}(x - 10)(x + 4) = 0$，
则 $x - 10 = 0$ 或 $x + 4 = 0$，
解得 $x_1 = 10$，$x_2 = -4$（舍去）。
所以 $OA = 10\ \mathrm{m}$。
10
令 $y = -\frac{1}{12}(x - 10)(x + 4) = 0$，
则 $x - 10 = 0$ 或 $x + 4 = 0$，
解得 $x_1 = 10$，$x_2 = -4$（舍去）。
所以 $OA = 10\ \mathrm{m}$。
10
3. (2024·泰安)如图,小明的父亲想用长为 60 米的栅栏,再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园. 已知房屋外墙长 40 米,则可围成的菜园的最大面积是
450
平方米.答案
3. 450
解析
设与墙垂直的一边长为$x$米，则与墙平行的一边长为$(60 - 2x)$米。
菜园面积$S = x(60 - 2x) = -2x^2 + 60x$，其中$0 ＜ 60 - 2x ≤ 40$，解得$10 ≤ x ＜ 30$。
对于二次函数$S = -2x^2 + 60x$，其对称轴为$x = -\frac{60}{2×(-2)} = 15$，在$10 ≤ x ＜ 30$范围内。
当$x = 15$时，$60 - 2x = 30$，$S = 15×30 = 450$。
450
菜园面积$S = x(60 - 2x) = -2x^2 + 60x$，其中$0 ＜ 60 - 2x ≤ 40$，解得$10 ≤ x ＜ 30$。
对于二次函数$S = -2x^2 + 60x$，其对称轴为$x = -\frac{60}{2×(-2)} = 15$，在$10 ≤ x ＜ 30$范围内。
当$x = 15$时，$60 - 2x = 30$，$S = 15×30 = 450$。
450
4. 如图,一块矩形土地 $ ABCD $ 由篱笆围着,并且由一条与 $ CD $ 边平行的篱笆 $ EF $ 分开. 已知篱笆的总长为 $ 900 \mathrm{m} $ (篱笆的厚度忽略不计), 当 $ AB = $
150
$ \mathrm{m} $ 时,矩形土地 $ ABCD $ 的面积最大.答案
4. 150
解析
解：设$AB = x\ \mathrm{m}$，矩形$ABCD$的面积为$S\ \mathrm{m}^2$。
因为$EF$与$CD$平行，四边形$ABCD$是矩形，所以$AD = BC$，$EF = AB = x$。
篱笆总长为$AB + CD + EF + AD + BC = 3x + 2AD = 900$，则$AD=\dfrac{900 - 3x}{2}$。
$S=AB× AD=x×\dfrac{900 - 3x}{2}=-\dfrac{3}{2}x^2 + 450x$。
对于二次函数$S = -\dfrac{3}{2}x^2 + 450x$，$a=-\dfrac{3}{2}＜0$，抛物线开口向下，当$x = -\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{450}{2×(-\dfrac{3}{2})}=150$时，$S$取得最大值。
150
因为$EF$与$CD$平行，四边形$ABCD$是矩形，所以$AD = BC$，$EF = AB = x$。
篱笆总长为$AB + CD + EF + AD + BC = 3x + 2AD = 900$，则$AD=\dfrac{900 - 3x}{2}$。
$S=AB× AD=x×\dfrac{900 - 3x}{2}=-\dfrac{3}{2}x^2 + 450x$。
对于二次函数$S = -\dfrac{3}{2}x^2 + 450x$，$a=-\dfrac{3}{2}＜0$，抛物线开口向下，当$x = -\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{450}{2×(-\dfrac{3}{2})}=150$时，$S$取得最大值。
150
5. (2023·潍坊)工匠师傅准备从六边形的铁皮 $ ABCDEF $ 中,裁出一块矩形铁皮制作工件,如图所示. 经测量, $ AB // DE $, $ AB $ 与 $ DE $ 之间的距离为 2 米, $ AB = 3 $ 米, $ AF = BC = 1 $ 米, $ ∠ A = ∠ B = 90^{\circ} $, $ ∠ C = ∠ F = 135^{\circ} $. $ MH $, $ HG $, $ GN $ 是工匠师傅画出的裁剪虚线. 当 $ MH $ 的长度为多少时,矩形铁皮 $ MNGH $ 的面积最大,最大面积是多少?
答案
5. 连接 CF,如图,
∵ AF=BC=1米,∠A=∠B=90°,
∴ CF//AB,
∴ ∠AFC=∠BCF=90°,
∴ 四边形 ABCF 是矩形.
∵ 四边形 MNGH 是矩形,
∴ ∠HMN=∠MNG=90°,MH=NG,
∴ ∠HQF=∠GPC=90°,MQ=AF=NP=BC=1米.
∵ ∠BCG=∠AFH=135°,
∴ ∠HFQ=∠GCP=45°,
∴ FQ=HQ,CP=GP,
∴ FQ=HQ=MH-MQ=MH-1,同理得:CP=MH-1,
∴ AM=NB=MH-1.
∴ MN=AB-AM-NB=3-(MH-1)-(MH-1)=5-2MH,
∴ S_{矩形MNGH}=MN·MH=(5-2MH)·MH=5MH-2MH²=-2(MH²-$\frac{5}{2}$MH)=-2(MH-$\frac{5}{4}$)²+$\frac{25}{8}$,
∴ 当 MH=$\frac{5}{4}$米时,铁皮的面积最大,最大值为$\frac{25}{8}$平方米.
6. (2024·广东)广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”,2023 年农产品进出口总额居全国首位,其中荔枝鲜果远销欧美. 某果商以每吨 2 万元的价格收购早熟荔枝,销往国外,若按每吨 5 万元出售,平均每天可售出 100 吨. 市场调查反映:如果每吨降价 1 万元,每天销售量相应增加 50 吨. 该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大? 并求出其最大值. (题中“元”为人民币)
答案
6. 设该果商定价 x 万元时,每天的“利润”为 w 万元,w=(x-2)[100+50(5-x)]=-50(x-4.5)²+312.5,
∵ -50＜0,
∴ 当 x=4.5 时,w 有最大值,最大值为 312.5 万元,答:该果商定价为 4.5 万元时才能使每天的“利润”或“销售收入”最大,其最大值为 312.5 万元.
∵ -50＜0,
∴ 当 x=4.5 时,w 有最大值,最大值为 312.5 万元,答:该果商定价为 4.5 万元时才能使每天的“利润”或“销售收入”最大,其最大值为 312.5 万元.
