2026年高效精练九年级数学下册苏科版第19页答案
9. 阅读下面材料:
如图 1,在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,直线 $ y_1 = ax + b $ 与双曲线 $ y_2 = \frac{k}{x} $ 交于 $ A(1, 3) $ 和 $ B(-3, -1) $ 两点。
观察图像可知:
①当 $ x = -3 $ 或 1 时,$ y_1 = y_2 $;②当 $ -3 < x < 0 $ 或 $ x > 1 $ 时,$ y_1 > y_2 $。
即通过观察函数的图像,可以得到不等式 $ ax + b > \frac{k}{x} $ 的解集。
有这样一个问题:求不等式 $ x^3 + 4x^2 - x - 4 > 0 $ 的解集。
某同学根据学习以上知识的经验,对求不等式 $ x^3 + 4x^2 - x - 4 > 0 $ 的解集进行了探究。
下面是他的探究过程,请将(2),(3),(4)补充完整:
(1) 将不等式按条件进行转化。
当 $ x = 0 $ 时,原不等式不成立;
当 $ x > 0 $ 时,原不等式可以转化为 $ x^2 + 4x - 1 > \frac{4}{x} $;
当 $ x < 0 $ 时,原不等式可以转化为 $ x^2 + 4x - 1 < \frac{4}{x} $。
(2) 构造函数,画出图像。
设 $ y_3 = x^2 + 4x - 1 $,$ y_4 = \frac{4}{x} $,在同一坐标系中分别画出这两个函数的图像。
双曲线 $ y_4 = \frac{4}{x} $ 如图 2 所示,请在此坐标系中画出抛物线 $ y_3 = x^2 + 4x - 1 $。(不用列表)
(3) 确定两个函数图像公共点的横坐标。
观察所画两个函数的图像,猜想并通过代入函数解析式验证可知:满足 $ y_3 = y_4 $ 的所有 $ x $ 的值为
±1和−4

(4) 借助图像,写出解集。
结合(1)的讨论结果,观察两个函数的图像可知:不等式 $ x^3 + 4x^2 - x - 4 > 0 $ 的解集为
x>1或−4<x<−1

 

答案


9.(2)
(3)±1和−4
(4)x>1或−4<x<−1