6. (2024·绥化)二次函数 $ y = ax^2 + bx + c(a ≠ 0) $ 的部分图像如图所示，对称轴为直线 $ x = -1 $，则下列结论中：

① $ \frac{b}{c} ＞ 0 $；
② $ am^2 + bm ≤ a - b $($ m $ 为任意实数)；
③ $ 3a + c ＜ 1 $；
④若 $ M(x_1, y) $，$ N(x_2, y) $ 是抛物线上不同的两个点，则 $ x_1 + x_2 ≤ -3 $。
其中正确的结论有()

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

6.B

解：①由图像开口向下得$a＜0$，对称轴$x=-\frac{b}{2a}=-1$，则$b=2a＜0$，抛物线与$y$轴交于正半轴得$c＞0$，$\frac{b}{c}＜0$，①错误；
②抛物线顶点为$(-1, y_{\mathrm{max}})$，当$x=m$时，$y=am^2+bm+c$；当$x=-1$时，$y=a-b+c$，则$am^2+bm+c ≤ a-b+c$，即$am^2+bm ≤ a-b$，②正确；
③由图像过$(0,3)$得$c=3$，$b=2a$，当$x=1$时，$y=a+b+c=a+2a+3=3a+3＜0$，则$3a＜-3$，$3a+c＜0+3=3$，无法确定$3a+c＜1$，③错误；
④$M(x_1,y)$，$N(x_2,y)$关于$x=-1$对称，$\frac{x_1+x_2}{2}=-1$，$x_1+x_2=-2$，④错误。
正确结论为②，共1个。
答案：A

7. 某班“数学兴趣小组”对函数 $ y = x^2 - 2|x| $ 的图像和性质进行了探究，探究过程如下。
(1) 补全下表，在所给坐标系中画出函数的图像：


(2) 进一步探究函数图像发现：
① 函数图像与 $ x $ 轴有 $ 3 $ 个交点，所以对应方程 $ x^{2}-2|x| = 0 $ 有 $ 3 $ 个实数根；
② 方程 $ x^{2}-2|x| = 2 $ 有 $ 2 $ 个实数根；
③ 关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-2|x| = a $ 有 $ 4 $ 个实数根，$ a $ 的取值范围是 $ - 1 ＜ a ＜ 0 $。

7.(1)根据函数的对称性补全的表格和图像如下:
　−1　　0　　$\frac{5}{4}$　　3　　 
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)①3　3　②2　③−1＜a＜0

8. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $ y = -x^2 + 2x + c $ 与 $ x $ 轴交于 $ A $，$ B $ 两点（点 $ A $ 在点 $ B $ 左侧），点 $ C(3, 5) $ 是抛物线上一点。
(1) 求抛物线的表达式及点 $ A $ 的坐标；
(2) 设直线 $ AC $ 的函数表达式为 $ y = kx + b $，请结合图像直接写出不等式 $ kx + b ＞ -x^2 + 2x + c $ 的解集；
(3) 平行于 $ x $ 轴的直线 $ l $ 交抛物线于点 $ P(x_1, y_1) $，$ Q(x_2, y_2) $，交直线 $ AC $ 于点 $ N(x_3, y_3) $，若 $ x_1 ＜ x_2 ＜ x_3 $，求 $ x_1 + x_2 + x_3 $ 的取值范围。
]

8.(1)
∵点C(3,5)是抛物线上一点,
∴−3² + 2×3 + c = 5,解得c = 8,
∴抛物线的表达式为y = −x² + 2x + 8,令−x² + 2x + 8 = 0,解得x₁ = −2,x₂ = 4,
∴点A的坐标为(−2,0).
(2)x＜−2或x＞3
(3)
∵直线l平行于x轴,
∴y₁ = y₂,即点P, Q关于对称轴对称.
∵y = −x² + 2x + 8 = -(x - 1)² + 9,
∴抛物线的顶点坐标为(1,9),对称轴是直线x = 1,
∴x₁ + x₂ = 2,由x₁＜x₂＜x₃,结合图像,可知直线l在点C的上方,抛物线顶点的下方,设直线AC的解析式为y = kx + b,把A(−2,0),C(3,5)代入得{ -2k + b = 0, 3k + b = 5 },解得{ k = 1, b = 2 },
∴直线AC的函数表达式为y = x + 2,令x + 2 = 9,解得x = 7,
∴3＜x₃＜7,
∴5＜x₁ + x₂ + x₃＜9.