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15. P,Q,R,S四个小朋友玩跷跷板,结果如图所示,则他们的体重大小关系为
$Q＜R＜P＜S$
。答案
15. 由图得$\begin{cases}S＞P, \\ P＞R, \\ P+R＞S+Q,\end{cases}$ $\therefore Q＜R＜P＜S$
解析
【分析】
解题时先根据跷跷板“下沉一侧重量更大”的规律，从三个图示中分别提取对应的不等关系：第一个跷跷板S端下沉，可得S＞P；第二个跷跷板P端下沉，可得P＞R；第三个跷跷板P、R端下沉，可得P+R＞S+Q。再结合S＞P的关系，利用不等式的性质对第三个不等式变形推导，得出R和Q的大小关系，最终即可完成四人体重的排序。
【解析】
解：根据三个跷跷板的倾斜情况，可得到如下不等关系：
$\begin{cases}S＞P, \\ P＞R, \\ P+R＞S+Q,\end{cases}$
由$S＞P$可得$S+Q ＞ P+Q$，结合第三个不等式$P+R ＞ S+Q$，根据不等式的传递性得$P+R ＞ P+Q$，不等式两边同时减去P，不等号方向不变，可得$R＞Q$。
综上可得四人体重的大小关系为$Q＜R＜P＜S$。
【答案】
$Q＜R＜P＜S$
【知识点】
不等关系判断，不等式的性质，不等式的应用
【点评】
本题结合生活中常见的跷跷板场景考查不等关系的推导，需要先从图示中正确提取重量的不等关系，再结合不等式的性质完成大小比较，题型灵活贴近生活，能较好地锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
解题时先根据跷跷板“下沉一侧重量更大”的规律，从三个图示中分别提取对应的不等关系：第一个跷跷板S端下沉，可得S＞P；第二个跷跷板P端下沉，可得P＞R；第三个跷跷板P、R端下沉，可得P+R＞S+Q。再结合S＞P的关系，利用不等式的性质对第三个不等式变形推导，得出R和Q的大小关系，最终即可完成四人体重的排序。
【解析】
解：根据三个跷跷板的倾斜情况，可得到如下不等关系：
$\begin{cases}S＞P, \\ P＞R, \\ P+R＞S+Q,\end{cases}$
由$S＞P$可得$S+Q ＞ P+Q$，结合第三个不等式$P+R ＞ S+Q$，根据不等式的传递性得$P+R ＞ P+Q$，不等式两边同时减去P，不等号方向不变，可得$R＞Q$。
综上可得四人体重的大小关系为$Q＜R＜P＜S$。
【答案】
$Q＜R＜P＜S$
【知识点】
不等关系判断，不等式的性质，不等式的应用
【点评】
本题结合生活中常见的跷跷板场景考查不等关系的推导，需要先从图示中正确提取重量的不等关系，再结合不等式的性质完成大小比较，题型灵活贴近生活，能较好地锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
16.若方程组$\begin{cases} x+2y=m+1, \\ 2x+y=-m+3 \end{cases}$的解满足$x＞y$，试求$m$的取值范围。
答案
16. $m＜1$
解析
【分析】
解决这道题可以分两步思考：第一步，把m看作常数，利用二元一次方程组的消元法得到x与y的大小关系相关的表达式，因为题目要求满足x＞y，我们可以直接通过两个方程相减得到x-y的表达式，省去分别求解x、y的步骤；第二步，将x＞y转化为关于m的一元一次不等式，解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
已知方程组：
$\begin{cases} x+2y=m+1 \quad \mathrm{①} \\ 2x+y=-m+3 \quad \mathrm{②} \end{cases}$
用②式减去①式消去常数项，可得：
$(2x+y)-(x+2y)=(-m+3)-(m+1)$
左边化简得$x-y$，右边化简得$-2m+2$，即：
$x-y=-2m+2$
因为题目要求解满足$x＞y$，也就是$x-y＞0$，代入上式得：
$-2m+2＞0$
移项得：$-2m＞-2$
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，解得：
$m＜1$
【答案】
$m＜1$
【知识点】
二元一次方程组的解法；一元一次不等式的解法
【点评】
本题属于方程组与不等式的基础综合题，解题核心是通过消元法建立参数m和x、y大小关系的联系，解题时要注意解不等式时两边同时乘除负数，不等号方向需要改变的规则。
【难度系数】
0.7
解决这道题可以分两步思考：第一步，把m看作常数，利用二元一次方程组的消元法得到x与y的大小关系相关的表达式，因为题目要求满足x＞y，我们可以直接通过两个方程相减得到x-y的表达式，省去分别求解x、y的步骤；第二步，将x＞y转化为关于m的一元一次不等式，解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
已知方程组：
$\begin{cases} x+2y=m+1 \quad \mathrm{①} \\ 2x+y=-m+3 \quad \mathrm{②} \end{cases}$
用②式减去①式消去常数项，可得：
$(2x+y)-(x+2y)=(-m+3)-(m+1)$
左边化简得$x-y$，右边化简得$-2m+2$，即：
$x-y=-2m+2$
因为题目要求解满足$x＞y$，也就是$x-y＞0$，代入上式得：
$-2m+2＞0$
移项得：$-2m＞-2$
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，解得：
$m＜1$
【答案】
$m＜1$
【知识点】
二元一次方程组的解法；一元一次不等式的解法
【点评】
本题属于方程组与不等式的基础综合题，解题核心是通过消元法建立参数m和x、y大小关系的联系，解题时要注意解不等式时两边同时乘除负数，不等号方向需要改变的规则。
【难度系数】
0.7
17.某球迷准备用8000元预订10张下表中比赛项目的门票。
(1)若预订男篮比赛门票和乒乓球比赛门票恰好用完全部资金，则他可以订男篮比赛门票和乒乓球比赛门票各多少张？
(2)若在现有资金8000元允许的范围内和总票数不变的前提下，他
想预订下表中三种球类比赛门票，其中男篮比赛门票数与足球比赛门票数相同，且乒乓球比赛门票的费用不超过男篮比赛门票的费用，则他能预订三种球类比赛门票各多少张？
(1)若预订男篮比赛门票和乒乓球比赛门票恰好用完全部资金，则他可以订男篮比赛门票和乒乓球比赛门票各多少张？
(2)若在现有资金8000元允许的范围内和总票数不变的前提下，他
想预订下表中三种球类比赛门票，其中男篮比赛门票数与足球比赛门票数相同，且乒乓球比赛门票的费用不超过男篮比赛门票的费用，则他能预订三种球类比赛门票各多少张？
答案
17. (1)可订男篮比赛门票6张,乒乓球比赛门票4张
(2)设男篮比赛门票与足球比赛门票都订a张,则乒乓球比赛门票为(10-2a)张。由题意,得
$\begin{cases}1000a+800a+500(10-2a)≤8000, \\ 500(10-2a)≤1000a,\end{cases}$
解得$2\frac{1}{2}≤a≤3\frac{3}{4}$。由a为正整数可得a=3。答:他能预订男篮比赛门票3张,足球比赛门票3张,乒乓球比赛门票4张
(2)设男篮比赛门票与足球比赛门票都订a张,则乒乓球比赛门票为(10-2a)张。由题意,得
$\begin{cases}1000a+800a+500(10-2a)≤8000, \\ 500(10-2a)≤1000a,\end{cases}$
解得$2\frac{1}{2}≤a≤3\frac{3}{4}$。由a为正整数可得a=3。答:他能预订男篮比赛门票3张,足球比赛门票3张,乒乓球比赛门票4张
解析
【分析】
(1) 第一问是二元一次方程组的实际应用，我们可分别设男篮、乒乓球门票的张数为未知数，结合“总票数为10张”“总购票费用为8000元”两个等量关系列方程组，求解即可得到两种门票的数量。
(2) 第二问是一元一次不等式组的实际应用，已知男篮和足球门票数相同，可设这两种门票都为a张，则乒乓球门票数可表示为(10-2a)张。再提取两个不等关系：①三种门票总费用不超过8000元；②乒乓球门票总费用不超过男篮门票总费用，据此列不等式组求出a的取值范围，结合a为正整数的隐含条件确定a的数值，即可得到三种门票的数量。
【解析】
(1) 设订男篮比赛门票$x$张，乒乓球比赛门票$y$张。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} x + y = 10 \\ 1000x + 500y = 8000 \end{cases}$
化简第二个方程得$2x + y = 16$，减去第一个方程得$x=6$，代入$x+y=10$得$y=4$。
(2) 设男篮比赛门票与足球比赛门票都订$a$张，则乒乓球比赛门票为$(10-2a)$张。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}1000a+800a+500(10-2a)≤8000, \\ 500(10-2a)≤1000a,\end{cases}$
解第一个不等式：$800a ≤ 3000$，得$a ≤ 3\frac{3}{4}$；
解第二个不等式：$2000a ≥ 5000$，得$a ≥ 2\frac{1}{2}$。
所以不等式组的解集为$2\frac{1}{2}≤a≤3\frac{3}{4}$，因为$a$为正整数，所以$a=3$，则乒乓球门票张数为$10-2×3=4$张。
【答案】
(1) 可订男篮比赛门票6张,乒乓球比赛门票4张
(2) 他能预订男篮比赛门票3张,足球比赛门票3张,乒乓球比赛门票4张
【知识点】
二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用；实际问题整数解
【点评】
本题结合生活购票场景考查方程与不等式的实际应用，解题关键是准确提取题干中的等量、不等关系建立数学模型，同时要注意实际问题中门票张数必须为正整数的隐含条件，避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问是二元一次方程组的实际应用，我们可分别设男篮、乒乓球门票的张数为未知数，结合“总票数为10张”“总购票费用为8000元”两个等量关系列方程组，求解即可得到两种门票的数量。
(2) 第二问是一元一次不等式组的实际应用，已知男篮和足球门票数相同，可设这两种门票都为a张，则乒乓球门票数可表示为(10-2a)张。再提取两个不等关系：①三种门票总费用不超过8000元；②乒乓球门票总费用不超过男篮门票总费用，据此列不等式组求出a的取值范围，结合a为正整数的隐含条件确定a的数值，即可得到三种门票的数量。
【解析】
(1) 设订男篮比赛门票$x$张，乒乓球比赛门票$y$张。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} x + y = 10 \\ 1000x + 500y = 8000 \end{cases}$
化简第二个方程得$2x + y = 16$，减去第一个方程得$x=6$，代入$x+y=10$得$y=4$。
(2) 设男篮比赛门票与足球比赛门票都订$a$张，则乒乓球比赛门票为$(10-2a)$张。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}1000a+800a+500(10-2a)≤8000, \\ 500(10-2a)≤1000a,\end{cases}$
解第一个不等式：$800a ≤ 3000$，得$a ≤ 3\frac{3}{4}$；
解第二个不等式：$2000a ≥ 5000$，得$a ≥ 2\frac{1}{2}$。
所以不等式组的解集为$2\frac{1}{2}≤a≤3\frac{3}{4}$，因为$a$为正整数，所以$a=3$，则乒乓球门票张数为$10-2×3=4$张。
【答案】
(1) 可订男篮比赛门票6张,乒乓球比赛门票4张
(2) 他能预订男篮比赛门票3张,足球比赛门票3张,乒乓球比赛门票4张
【知识点】
二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用；实际问题整数解
【点评】
本题结合生活购票场景考查方程与不等式的实际应用，解题关键是准确提取题干中的等量、不等关系建立数学模型，同时要注意实际问题中门票张数必须为正整数的隐含条件，避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
