【例1】已知反比例函数$y=\frac{k+2}{x}$，当$x=3$时，$y=8$。
(1)求$k$的值。
(2)当$x=\frac{7}{3}$时，求$y$的值。
(3)当$y=6$时，求$x$的值。

(1)$k=22$.
(2)$y=\frac{72}{7}$.
(3)$x=4$.

【分析】
本题是反比例函数的基础应用类题目，解题思路如下：① 第一问求k值：反比例函数解析式中仅含有一个未知参数k，已知一组x、y的对应值，将其代入解析式即可得到关于k的一元一次方程，解方程就能求出k；② 求出k后即可确定完整的反比例函数解析式，第二问已知x值求y：将给定的x代入确定好的解析式，计算即可得到对应y值；③ 第三问已知y值求x：将给定的y代入确定好的解析式，解方程即可得到对应x值。
【解析】
(1) 将$x=3$，$y=8$代入反比例函数$y=\frac{k+2}{x}$，可得：
$8=\frac{k+2}{3}$
等式两边同乘3得：$24=k+2$
解得：$k=22$
(2) 由(1)可知$k=22$，因此反比例函数解析式为$y=\frac{22+2}{x}=\frac{24}{x}$
将$x=\frac{7}{3}$代入$y=\frac{24}{x}$，得：
$y=\frac{24}{\frac{7}{3}}=24×\frac{3}{7}=\frac{72}{7}$
(3) 将$y=6$代入$y=\frac{24}{x}$，可得：
$6=\frac{24}{x}$
等式两边同乘x得：$6x=24$
解得：$x=4$
【答案】
(1)$k=22$；(2)$y=\frac{72}{7}$；(3)$x=4$
【知识点】
1. 反比例函数概念
2. 待定系数法求解析式
3. 反比例函数求值
【点评】
本题属于反比例函数的基础题，核心考查待定系数法求函数解析式的方法，以及代入自变量求函数值、代入函数值求自变量的基本运算，计算量小，解题逻辑清晰，是掌握反比例函数基础应用的典型题型。
【难度系数】
0.9

【例2】若点$A(-1,y_1),B(2,y_2),C(-2,y_3)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为（）

A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_3＜y_1＜y_2$
C.$y_1＜y_2＜y_3$
D.$y_1＜y_3＜y_2$

D

【分析】
解题思路可分两步走：第一步先回忆反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象性质，明确其图象分布的象限以及不同象限内函数值的正负、同一象限内的增减性；第二步先根据各点横坐标的正负判断点所在的象限，先区分出正负不同的函数值，再对同一象限内的点利用增减性比较对应函数值的大小，也可以直接将各点横坐标代入解析式，求出函数值表达式后直接比较大小。
【解析】
方法一：利用反比例函数性质求解
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k＞0$，
∴ 函数图象分布在第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
点$B(2,y_2)$的横坐标$2＞0$，故点$B$在第一象限，因此$y_2＞0$；
点$A(-1,y_1)$、$C(-2,y_3)$的横坐标均小于0，故两点都在第三象限，因此$y_1＜0$，$y_3＜0$，可得$y_2$是三者中最大的。
在第三象限内，$y$随$x$的增大而减小，又
∵$-1＞-2$，
∴$y_1＜y_3$。
综上可得：$y_1＜y_3＜y_2$。
方法二：代入计算比较
将三个点的横坐标分别代入$y=\frac{k}{x}$得：
$y_1=\frac{k}{-1}=-k$，$y_2=\frac{k}{2}$，$y_3=\frac{k}{-2}=-\frac{k}{2}$，
∵$k＞0$，
∴$-k ＜ -\frac{k}{2} ＜ \frac{k}{2}$，即$y_1＜y_3＜y_2$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查反比例函数性质的基础应用，解题时要注意：反比例函数的增减性只适用于同一象限内的点，跨象限比较函数值时可先通过正负性判断大小，避免直接套用增减性出错。
【难度系数】
0.8

【例3】如图，P是反比例函数$y=\frac{1}{2x}$图象在第一象限内一点，$PC⊥ x$轴于点$C$，$PD⊥ y$轴于点$D$，那么四边形$PCOD$的面积为（）

A.2
B.1
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{4}$

C

【分析】
解题时先观察图形特征：四边形PCOD有三个直角，可知是矩形，需求它的面积。再结合P点在反比例函数图象上的条件，联想到反比例函数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积恒等于|k|。只需先将给定的反比例函数化为标准形式$y=\frac{k}{x}$确定k值，即可直接求出矩形面积。
【解析】
1. 先整理反比例函数为标准形式：将$y=\frac{1}{2x}$变形为$y=\frac{\frac{1}{2}}{x}$，可得$k=\frac{1}{2}$。
2. 设第一象限内点P的坐标为$(x,y)$（$x＞0,y＞0$），因为P在反比例函数图象上，因此满足$xy=k=\frac{1}{2}$。
3. 由$PC⊥x$轴、$PD⊥y$轴，且x轴与y轴垂直，可判定四边形PCOD是矩形，它的面积$S=OC×OD=x×y$。
4. 代入$xy=\frac{1}{2}$，可得矩形PCOD的面积为$\frac{1}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 矩形面积计算
【点评】
本题是反比例函数的常考基础题，核心考查k的几何意义的应用，牢记对应结论可以跳过坐标计算快速得到结果，属于反比例函数章节必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8