登录
【例4】如图，直线AB平行于y轴，且分别与反比例函数$y=\frac{6}{x},y=\frac{4}{x}$的图象交于点A，B，则△AOB的面积为（
A.1
B.2
C.3
D.4
A
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
A
解析
【分析】
首先，直线AB平行于y轴，因此A、B两点的横坐标相同，设该横坐标为a（a＞0），直线AB与x轴交于点C(a,0)。根据反比例函数的性质，过反比例函数图象上一点作x轴的垂线，所得三角形的面积为|k|/2，可分别计算△AOC和△BOC的面积，再通过两者的差得到△AOB的面积。
【解析】
解：设直线AB与x轴交于点C，由AB平行于y轴，得A、B、C三点横坐标均为a（a＞0）。
∵点A在反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象上，
∴$A(a, \frac{6}{a})$，则△AOC的面积：
$S_{△ AOC} = \frac{1}{2} × OC × y_A = \frac{1}{2} × a × \frac{6}{a} = 3$；
∵点B在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，
∴$B(a, \frac{4}{a})$，则△BOC的面积：
$S_{△ BOC} = \frac{1}{2} × OC × y_B = \frac{1}{2} × a × \frac{4}{a} = 2$；
∴△AOB的面积为：$S_{△ AOB} = S_{△ AOC} - S_{△ BOC} = 3 - 2 = 1$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数性质，三角形面积计算
【点评】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，核心是利用“过反比例函数图象上一点作坐标轴垂线形成的三角形面积为|k|/2”的性质简化计算，解题关键是将△AOB的面积转化为两个同底三角形的面积差，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
首先，直线AB平行于y轴，因此A、B两点的横坐标相同，设该横坐标为a（a＞0），直线AB与x轴交于点C(a,0)。根据反比例函数的性质，过反比例函数图象上一点作x轴的垂线，所得三角形的面积为|k|/2，可分别计算△AOC和△BOC的面积，再通过两者的差得到△AOB的面积。
【解析】
解：设直线AB与x轴交于点C，由AB平行于y轴，得A、B、C三点横坐标均为a（a＞0）。
∵点A在反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象上，
∴$A(a, \frac{6}{a})$，则△AOC的面积：
$S_{△ AOC} = \frac{1}{2} × OC × y_A = \frac{1}{2} × a × \frac{6}{a} = 3$；
∵点B在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，
∴$B(a, \frac{4}{a})$，则△BOC的面积：
$S_{△ BOC} = \frac{1}{2} × OC × y_B = \frac{1}{2} × a × \frac{4}{a} = 2$；
∴△AOB的面积为：$S_{△ AOB} = S_{△ AOC} - S_{△ BOC} = 3 - 2 = 1$。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数性质，三角形面积计算
【点评】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，核心是利用“过反比例函数图象上一点作坐标轴垂线形成的三角形面积为|k|/2”的性质简化计算，解题关键是将△AOB的面积转化为两个同底三角形的面积差，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
【例5】机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度$v$(单位：m/s)是载重后总质量$m$(单位：kg)的反比例函数.已知一款机器狗载重后总质量为30 kg时，它的最快移动速度为2 m/s；当其载重后总质量为60 kg时，它的最快移动速度为
（
A.4 m/s
B.3 m/s
C.2 m/s
D.1 m/s
（
D
）A.4 m/s
B.3 m/s
C.2 m/s
D.1 m/s
答案
D
解析
【分析】
本题是反比例函数在实际问题中的应用，解题思路如下：首先根据“最快移动速度$v$是总质量$m$的反比例函数”设出反比例函数表达式，再利用已知的$m$和$v$的值，通过待定系数法求出表达式中的常数$k$，最后将$m=60kg$代入表达式计算对应的$v$值，即可得出答案。
【解析】
解：设最快移动速度$v$与载重后总质量$m$的反比例函数关系式为$v = \frac{k}{m}$（$k$为常数，$k≠0$）。
将$m=30$，$v=2$代入关系式，得$2 = \frac{k}{30}$，解得$k = 2×30 = 60$。
因此，该反比例函数的表达式为$v = \frac{60}{m}$。
当$m=60$时，代入表达式得$v = \frac{60}{60} = 1$（m/s），所以答案选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的应用
【点评】
本题考查反比例函数在实际生活中的应用，核心是利用待定系数法求反比例函数解析式，再代入求值，属于基础题型，主要考查学生对反比例函数概念的理解和基本应用能力。
【难度系数】
0.7
本题是反比例函数在实际问题中的应用，解题思路如下：首先根据“最快移动速度$v$是总质量$m$的反比例函数”设出反比例函数表达式，再利用已知的$m$和$v$的值，通过待定系数法求出表达式中的常数$k$，最后将$m=60kg$代入表达式计算对应的$v$值，即可得出答案。
【解析】
解：设最快移动速度$v$与载重后总质量$m$的反比例函数关系式为$v = \frac{k}{m}$（$k$为常数，$k≠0$）。
将$m=30$，$v=2$代入关系式，得$2 = \frac{k}{30}$，解得$k = 2×30 = 60$。
因此，该反比例函数的表达式为$v = \frac{60}{m}$。
当$m=60$时，代入表达式得$v = \frac{60}{60} = 1$（m/s），所以答案选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的应用
【点评】
本题考查反比例函数在实际生活中的应用，核心是利用待定系数法求反比例函数解析式，再代入求值，属于基础题型，主要考查学生对反比例函数概念的理解和基本应用能力。
【难度系数】
0.7
【例1】已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象如图所示，$AB // y$轴，若$△ ABC$的面积为6，则$k$的值为
-12
。答案
-12
解析
【分析】
要解决本题，需利用反比例函数的核心性质：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，过双曲线上一点作x轴的垂线，该点、垂足与原点构成的三角形面积为$\frac{|k|}{2}$。结合本题中$AB // y$轴、点C在y轴的条件，可推导出$△ ABC$的面积与$k$的关系，再根据函数图象所在象限确定$k$的符号，即可求出$k$的值。
【解析】
设点A的坐标为$(a, \frac{k}{a})$，因反比例函数图象在第二象限，故$a＜0$，$k＜0$。
由$AB // y$轴，得点B的坐标为$(a, 0)$，点C在y轴上。
根据反比例函数$k$的几何意义，$△ AOB$的面积为$\frac{|k|}{2}$；又因$AB // y$轴，$△ ABC$与$△ AOB$等底等高，故$△ ABC$的面积也为$\frac{|k|}{2}$。
已知$△ ABC$的面积为6，因此$\frac{|k|}{2}=6$，解得$|k|=12$。
结合函数图象在第二象限，$k＜0$，所以$k=-12$。
【答案】
-12
【知识点】
反比例函数性质、三角形面积计算
【点评】
本题考查反比例函数中$k$的几何意义，核心是理解双曲线上一点与坐标轴构成的三角形面积和$k$的关系，属于基础题型，需熟练掌握该性质。
【难度系数】
0.3
要解决本题，需利用反比例函数的核心性质：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，过双曲线上一点作x轴的垂线，该点、垂足与原点构成的三角形面积为$\frac{|k|}{2}$。结合本题中$AB // y$轴、点C在y轴的条件，可推导出$△ ABC$的面积与$k$的关系，再根据函数图象所在象限确定$k$的符号，即可求出$k$的值。
【解析】
设点A的坐标为$(a, \frac{k}{a})$，因反比例函数图象在第二象限，故$a＜0$，$k＜0$。
由$AB // y$轴，得点B的坐标为$(a, 0)$，点C在y轴上。
根据反比例函数$k$的几何意义，$△ AOB$的面积为$\frac{|k|}{2}$；又因$AB // y$轴，$△ ABC$与$△ AOB$等底等高，故$△ ABC$的面积也为$\frac{|k|}{2}$。
已知$△ ABC$的面积为6，因此$\frac{|k|}{2}=6$，解得$|k|=12$。
结合函数图象在第二象限，$k＜0$，所以$k=-12$。
【答案】
-12
【知识点】
反比例函数性质、三角形面积计算
【点评】
本题考查反比例函数中$k$的几何意义，核心是理解双曲线上一点与坐标轴构成的三角形面积和$k$的关系，属于基础题型，需熟练掌握该性质。
【难度系数】
0.3
【例2】在一项科学实验中，研究人员对不同形状的物体进行了压力测试，这些物体的质量相同，但形状各异.研究人员将这些物体放置在水平的测试平台上，并记录了平台受到的压强p(单位:Pa)与受力面积S(单位:m²)之间的关系，结果如下表所示.
(1)根据上表数据，求平台所受压强p关于受力面积S的函数解析式.
(2)现将质量相同，且棱长为0.2 m的正方体放置于该测试平台上.若该测试平台能承受的最大压强为5 000 Pa，请你判断这种摆放方式是否安全，并说明理由.
(1)根据上表数据，求平台所受压强p关于受力面积S的函数解析式.
(2)现将质量相同，且棱长为0.2 m的正方体放置于该测试平台上.若该测试平台能承受的最大压强为5 000 Pa，请你判断这种摆放方式是否安全，并说明理由.
答案
(1)$p=\frac{100}{S}$.
(2)这种摆放方式安全.
理由:$S=0.2×0.2=0.04(\mathrm{m}^2)$,
当$S=0.04\ \mathrm{m}^2$时,$p=\frac{100}{0.04}=2\ 500(\mathrm{Pa})$.
因为$2\ 500＜5\ 000$,
所以这种摆放方式安全.
(2)这种摆放方式安全.
理由:$S=0.2×0.2=0.04(\mathrm{m}^2)$,
当$S=0.04\ \mathrm{m}^2$时,$p=\frac{100}{0.04}=2\ 500(\mathrm{Pa})$.
因为$2\ 500＜5\ 000$,
所以这种摆放方式安全.
解析
【分析】首先，根据压强公式$p=\frac{F}{S}$，物体质量相同则对平台的压力$F$恒定，因此压强$p$与受力面积$S$成反比例关系，可通过表格数据确定反比例函数解析式；再计算正方体的受力面积，代入解析式求出对应压强，与平台最大承受压强比较，判断是否安全。
【解析】(1) 由题意，压力$F$恒定，压强$p$与受力面积$S$成反比例函数关系，设解析式为$p=\frac{k}{S}$（$k≠0$）。将表格中$S=2\ \mathrm{m}^2$、$p=50\ \mathrm{Pa}$代入，得$50=\frac{k}{2}$，解得$k=100$，故函数解析式为$p=\frac{100}{S}$。
(2) 正方体的受力面积为底面积：$S=0.2×0.2=0.04\ \mathrm{m}^2$，代入解析式得$p=\frac{100}{0.04}=2500\ \mathrm{Pa}$。因为$2500\ \mathrm{Pa}＜5000\ \mathrm{Pa}$，所以摆放方式安全。
【答案】(1)$p=\frac{100}{S}$；(2)这种摆放方式安全，理由：$S=0.2×0.2=0.04(\mathrm{m}^2)$，当$S=0.04\ \mathrm{m}^2$时，$p=\frac{100}{0.04}=2500(\mathrm{Pa})$，因为$2500＜5000$，所以安全。
【知识点】反比例函数应用，压强计算
【点评】本题结合物理压强与数学反比例函数，考查学生建立函数模型解决实际问题的能力，需掌握反比例函数确定方法及压强公式应用，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】(1) 由题意，压力$F$恒定，压强$p$与受力面积$S$成反比例函数关系，设解析式为$p=\frac{k}{S}$（$k≠0$）。将表格中$S=2\ \mathrm{m}^2$、$p=50\ \mathrm{Pa}$代入，得$50=\frac{k}{2}$，解得$k=100$，故函数解析式为$p=\frac{100}{S}$。
(2) 正方体的受力面积为底面积：$S=0.2×0.2=0.04\ \mathrm{m}^2$，代入解析式得$p=\frac{100}{0.04}=2500\ \mathrm{Pa}$。因为$2500\ \mathrm{Pa}＜5000\ \mathrm{Pa}$，所以摆放方式安全。
【答案】(1)$p=\frac{100}{S}$；(2)这种摆放方式安全，理由：$S=0.2×0.2=0.04(\mathrm{m}^2)$，当$S=0.04\ \mathrm{m}^2$时，$p=\frac{100}{0.04}=2500(\mathrm{Pa})$，因为$2500＜5000$，所以安全。
【知识点】反比例函数应用，压强计算
【点评】本题结合物理压强与数学反比例函数，考查学生建立函数模型解决实际问题的能力，需掌握反比例函数确定方法及压强公式应用，难度适中。
【难度系数】0.6
