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1. 如图，AB是$\odot O$的直径，AC是$\odot O$的切线，A为切点，BC与$\odot O$交于点D，连接OD。若$∠ C=46°$，则$∠ AOD$的度数为（
A.$44°$
B.$88°$
C.$46°$
D.$92°$
B
）A.$44°$
B.$88°$
C.$46°$
D.$92°$
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先从切线的性质入手：已知AC是⊙O的切线，根据切线垂直于过切点的半径，可得AC⊥AB，即△ABC是直角三角形；结合已知∠C=46°，利用直角三角形两锐角互余可求出∠ABC的度数；再根据同圆半径相等，得到OB=OD，可知△OBD为等腰三角形，从而得到∠ODB=∠ABC；最后利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，即可求出∠AOD的度数。
【解析】
解：
∵AC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，A为切点，
∴AC⊥AB，即∠BAC=90°，
在Rt△ABC中，∠C=46°，
∴∠ABC=90°-∠C=90°-46°=44°，
∵OB和OD都是⊙O的半径，
∴OB=OD，
∴∠ODB=∠ABC=44°，
∵∠AOD是△BOD的外角，
∴∠AOD=∠ABC+∠ODB=44°+44°=88°。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于圆的基础计算类题型，将切线性质、三角形的角度计算性质相结合，考查学生对基础几何定理的掌握和综合运用能力，是圆章节的典型基础习题。
【难度系数】
0.8
解题时首先从切线的性质入手：已知AC是⊙O的切线，根据切线垂直于过切点的半径，可得AC⊥AB，即△ABC是直角三角形；结合已知∠C=46°，利用直角三角形两锐角互余可求出∠ABC的度数；再根据同圆半径相等，得到OB=OD，可知△OBD为等腰三角形，从而得到∠ODB=∠ABC；最后利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，即可求出∠AOD的度数。
【解析】
解：
∵AC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，A为切点，
∴AC⊥AB，即∠BAC=90°，
在Rt△ABC中，∠C=46°，
∴∠ABC=90°-∠C=90°-46°=44°，
∵OB和OD都是⊙O的半径，
∴OB=OD，
∴∠ODB=∠ABC=44°，
∵∠AOD是△BOD的外角，
∴∠AOD=∠ABC+∠ODB=44°+44°=88°。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于圆的基础计算类题型，将切线性质、三角形的角度计算性质相结合，考查学生对基础几何定理的掌握和综合运用能力，是圆章节的典型基础习题。
【难度系数】
0.8
2. 如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,AB是$\odot O$的直径,$∠ BCD=120°$,过点D的切线PD与直线AB交于点P. 则$∠ ADP$的度数为 (
A.$45°$
B.$40°$
C.$35°$
D.$30°$
D
)A.$45°$
B.$40°$
C.$35°$
D.$30°$
答案
2.D
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：首先连接辅助线OD，利用圆内接四边形对角互补的性质求出∠BAD的度数；再结合同圆半径相等，判断△OAD的形状，得到∠ODA的度数；最后根据切线垂直于过切点的半径的性质，得到∠ODP为直角，通过角的和差关系即可求出∠ADP的度数。
【解析】
解：连接OD。
1. 因为四边形ABCD内接于$\odot O$，根据圆内接四边形对角互补，可得$∠ BAD + ∠ BCD = 180°$。
已知$∠ BCD=120°$，所以$∠ BAD = 180° - 120° = 60°$。
2. 因为OA、OD都是$\odot O$的半径，所以$OA=OD$，又$∠ BAD=60°$，因此$△ OAD$是等边三角形，故$∠ ODA=60°$。
3. 因为PD是$\odot O$的切线，D为切点，根据切线的性质，$OD ⊥ PD$，所以$∠ ODP=90°$。
4. 因此$∠ ADP = ∠ ODP - ∠ ODA = 90° - 60° = 30°$。
【答案】
D
【知识点】
圆内接四边形的性质；切线的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的性质应用的基础题型，解题关键是合理作出辅助线，将所求角和已知角通过圆的相关性质建立关联，考查了对基础定理的掌握和简单的几何推导能力。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：首先连接辅助线OD，利用圆内接四边形对角互补的性质求出∠BAD的度数；再结合同圆半径相等，判断△OAD的形状，得到∠ODA的度数；最后根据切线垂直于过切点的半径的性质，得到∠ODP为直角，通过角的和差关系即可求出∠ADP的度数。
【解析】
解：连接OD。
1. 因为四边形ABCD内接于$\odot O$，根据圆内接四边形对角互补，可得$∠ BAD + ∠ BCD = 180°$。
已知$∠ BCD=120°$，所以$∠ BAD = 180° - 120° = 60°$。
2. 因为OA、OD都是$\odot O$的半径，所以$OA=OD$，又$∠ BAD=60°$，因此$△ OAD$是等边三角形，故$∠ ODA=60°$。
3. 因为PD是$\odot O$的切线，D为切点，根据切线的性质，$OD ⊥ PD$，所以$∠ ODP=90°$。
4. 因此$∠ ADP = ∠ ODP - ∠ ODA = 90° - 60° = 30°$。
【答案】
D
【知识点】
圆内接四边形的性质；切线的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的性质应用的基础题型，解题关键是合理作出辅助线，将所求角和已知角通过圆的相关性质建立关联，考查了对基础定理的掌握和简单的几何推导能力。
【难度系数】
0.7
3. 如图，AB与$\odot O$相切于点C，$AO=4$，$\odot O$的半径为3，则AC的长为
$\sqrt{7}$
。答案
3.$\sqrt{7}$
解析
【分析】
解题时首先根据切线的性质，遇到切线通常连接过切点的半径，可得到垂直关系，构造出直角三角形；再结合已知的AO长度和圆的半径长度，利用勾股定理即可计算AC的长度。
【解析】
解：连接OC，
∵AB与$\odot O$相切于点C，
∴OC⊥AB，即$∠ OCA=90°$，
已知$\odot O$的半径为3，故$OC=3$，又$AO=4$，
在$Rt△ AOC$中，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AO^2 - OC^2} = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}$。
【答案】
$\sqrt{7}$
【知识点】
切线的性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础题，解题核心是熟练掌握切线的性质，通过连接过切点的半径构造直角三角形，再结合勾股定理计算边长即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据切线的性质，遇到切线通常连接过切点的半径，可得到垂直关系，构造出直角三角形；再结合已知的AO长度和圆的半径长度，利用勾股定理即可计算AC的长度。
【解析】
解：连接OC，
∵AB与$\odot O$相切于点C，
∴OC⊥AB，即$∠ OCA=90°$，
已知$\odot O$的半径为3，故$OC=3$，又$AO=4$，
在$Rt△ AOC$中，由勾股定理得：
$AC = \sqrt{AO^2 - OC^2} = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}$。
【答案】
$\sqrt{7}$
【知识点】
切线的性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础题，解题核心是熟练掌握切线的性质，通过连接过切点的半径构造直角三角形，再结合勾股定理计算边长即可。
【难度系数】
0.8
4.如图,经过A,B两点的$\odot O$与AC相切于点A,与边BC相交于点E,AD为$\odot O$的直径,$AB=AC$,连接DE,若$∠ C=36°$,则$∠ BED$的度数为
$18°$
.答案
4.$18°$
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先看到AC是圆的切线、AD是直径，根据切线性质可得到AD与AC垂直，得出∠CAD=90°；再结合AB=AC的等腰三角形条件，利用等腰三角形内角关系算出∠BAC的度数，进而求出∠BAD的度数；最后根据同弧所对的圆周角相等，即可推出∠BED的度数。
【解析】
解：
∵AC是$\odot O$的切线，AD为$\odot O$的直径，
∴AD⊥AC，即$∠ CAD=90°$。
∵$AB=AC$，$∠ C=36°$，
∴$∠ ABC=∠ C=36°$，
∴$∠ BAC=180°-∠ C-∠ ABC=180°-36°-36°=108°$，
∴$∠ BAD=∠ BAC-∠ CAD=108°-90°=18°$。
∵$∠ BED$和$∠ BAD$都是弧$BD$所对的圆周角，
∴$∠ BED=∠ BAD=18°$。
【答案】
$18°$
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；圆周角定理
【点评】
本题是圆与三角形的综合基础题，核心是熟练运用切线性质、等腰三角形内角规律和圆周角定理推导角度，解题时注意角度之间的和差关系，找准同弧对应的圆周角即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先看到AC是圆的切线、AD是直径，根据切线性质可得到AD与AC垂直，得出∠CAD=90°；再结合AB=AC的等腰三角形条件，利用等腰三角形内角关系算出∠BAC的度数，进而求出∠BAD的度数；最后根据同弧所对的圆周角相等，即可推出∠BED的度数。
【解析】
解：
∵AC是$\odot O$的切线，AD为$\odot O$的直径，
∴AD⊥AC，即$∠ CAD=90°$。
∵$AB=AC$，$∠ C=36°$，
∴$∠ ABC=∠ C=36°$，
∴$∠ BAC=180°-∠ C-∠ ABC=180°-36°-36°=108°$，
∴$∠ BAD=∠ BAC-∠ CAD=108°-90°=18°$。
∵$∠ BED$和$∠ BAD$都是弧$BD$所对的圆周角，
∴$∠ BED=∠ BAD=18°$。
【答案】
$18°$
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；圆周角定理
【点评】
本题是圆与三角形的综合基础题，核心是熟练运用切线性质、等腰三角形内角规律和圆周角定理推导角度，解题时注意角度之间的和差关系，找准同弧对应的圆周角即可快速求解。
【难度系数】
0.7
5. 下列说法正确的是 （
A.与圆有公共点的直线是圆的切线
B.与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线
C.垂直于圆的半径的直线是圆的切线
D.过圆的半径外端的直线是圆的切线
B
）A.与圆有公共点的直线是圆的切线
B.与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线
C.垂直于圆的半径的直线是圆的切线
D.过圆的半径外端的直线是圆的切线
答案
5.B
解析
【分析】
本题考查圆的切线的判定，解题时需紧扣切线判定的核心条件逐一辨析选项：首先回忆切线的三类判定依据：①和圆只有唯一公共点的直线是切线；②到圆心的距离等于半径的直线是切线；③经过半径外端且垂直于该半径的直线是切线。判断每个选项是否满足判定的全部条件，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
结合圆的切线判定规则逐一分析选项：
选项A：与圆有公共点的直线，可能是和圆有2个公共点的相交直线，只有和圆有唯一公共点的直线才是切线，故A错误；
选项B：根据直线与圆的位置关系判定，若圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线和圆相切，该直线是圆的切线，故B正确；
选项C：仅垂直于圆的半径的直线，若没有经过半径的外端，不属于切线，缺少“经过半径外端”的条件，故C错误；
选项D：仅过半径外端的直线，若不垂直于该半径，也不属于切线，缺少“垂直于半径”的条件，故D错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
圆的切线的判定
【点评】
本题属于基础概念辨析题，重点考查对切线判定条件的准确掌握，需要注意切线的判定需同时满足多个条件时，不可遗漏任一条件。
【难度系数】
0.8
本题考查圆的切线的判定，解题时需紧扣切线判定的核心条件逐一辨析选项：首先回忆切线的三类判定依据：①和圆只有唯一公共点的直线是切线；②到圆心的距离等于半径的直线是切线；③经过半径外端且垂直于该半径的直线是切线。判断每个选项是否满足判定的全部条件，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
结合圆的切线判定规则逐一分析选项：
选项A：与圆有公共点的直线，可能是和圆有2个公共点的相交直线，只有和圆有唯一公共点的直线才是切线，故A错误；
选项B：根据直线与圆的位置关系判定，若圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线和圆相切，该直线是圆的切线，故B正确；
选项C：仅垂直于圆的半径的直线，若没有经过半径的外端，不属于切线，缺少“经过半径外端”的条件，故C错误；
选项D：仅过半径外端的直线，若不垂直于该半径，也不属于切线，缺少“垂直于半径”的条件，故D错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
圆的切线的判定
【点评】
本题属于基础概念辨析题，重点考查对切线判定条件的准确掌握，需要注意切线的判定需同时满足多个条件时，不可遗漏任一条件。
【难度系数】
0.8
6. 如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，∠P=50°，C是⊙O上异于A，B的点，则∠ACB的度数为
$65°$或$115°$
。答案
6.$65°$或$115°$
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据切线的性质，连接圆心与两个切点，得到两个直角，结合四边形内角和求出圆心角∠AOB的度数；其次注意点C在圆上的位置有两种情况：在优弧AB上、在劣弧AB上，再分别根据圆周角定理、圆内接四边形对角互补的性质计算对应∠ACB的度数即可。
【解析】
连接OA、OB，
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，
在四边形OAPB中，内角和为360°，已知∠P=50°，
∴∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠P=360°-90°-90°-50°=130°。
分两种情况讨论：
①当点C在优弧AB上时，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴∠ACB=½∠AOB=½×130°=65°；
②当点C在劣弧AB上时，此时A、B、C与优弧AB上的点构成圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，
∴∠ACB=180°-65°=115°。
综上，∠ACB的度数为65°或115°。
【答案】
65°或115°
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质
【点评】
本题易错点是易忽略点C的两种位置情况，导致漏解，解题时要结合图形全面考虑所有可能的情况，避免因思维不严谨失分。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：首先根据切线的性质，连接圆心与两个切点，得到两个直角，结合四边形内角和求出圆心角∠AOB的度数；其次注意点C在圆上的位置有两种情况：在优弧AB上、在劣弧AB上，再分别根据圆周角定理、圆内接四边形对角互补的性质计算对应∠ACB的度数即可。
【解析】
连接OA、OB，
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，
在四边形OAPB中，内角和为360°，已知∠P=50°，
∴∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠P=360°-90°-90°-50°=130°。
分两种情况讨论：
①当点C在优弧AB上时，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴∠ACB=½∠AOB=½×130°=65°；
②当点C在劣弧AB上时，此时A、B、C与优弧AB上的点构成圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，
∴∠ACB=180°-65°=115°。
综上，∠ACB的度数为65°或115°。
【答案】
65°或115°
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质
【点评】
本题易错点是易忽略点C的两种位置情况，导致漏解，解题时要结合图形全面考虑所有可能的情况，避免因思维不严谨失分。
【难度系数】
0.6
7. 如图,在$△ ABC$中,$AC=BC$,$∠ ACB=90°$,$O$为边$AB$的中点,以点$O$为圆心的圆与$BC$相切于点$D$.
(1)求证:$AC$是$\odot O$的切线;
(2)判断以圆心$O$、点$C$及两切点为顶点的四边形的形状,并证明.
(1)求证:$AC$是$\odot O$的切线;
(2)判断以圆心$O$、点$C$及两切点为顶点的四边形的形状,并证明.
答案
7. (1)如图,连接 OD,OC,过点 O 作 $OE ⊥ AC$ 于点 E.
$\because AC=BC,O$ 为边 AB 的中点,
$\therefore CO$ 平分$∠ ACB.$
$\because \odot O$ 与 BC 相切于点 D,
$\therefore OD ⊥ BC.$
$\because CO$ 平分$∠ ACB,OD ⊥ BC,OE ⊥ AC,$
$\therefore OE=OD.$
又 $OE ⊥ AC,$
$\therefore AC$ 是$\odot O$ 的切线.
(2)四边形的形状是正方形.
证明:$\because OD ⊥ BC,OE ⊥ AC,$
$\therefore ∠ OEC= ∠ ODC=90°.$
又 $∠ ACB=90°,$
$\therefore$ 四边形 ODCE 是矩形.
$\because OE=OD,$
$\therefore$ 四边形 ODCE 是正方形.
解析
【分析】
(1) 要证明AC是$\odot O$的切线，遵循切线判定的常规思路：若未知直线与圆的交点，可过圆心作直线的垂线，只需证明垂线段长度等于圆的半径即可。已知$\odot O$与BC相切于D，可得$OD⊥ BC$且OD是$\odot O$的半径；结合$△ ABC$是等腰直角三角形、O为AB中点，由等腰三角形三线合一的性质可知CO平分$∠ ACB$，再利用角平分线上的点到角两边距离相等，即可推出O到AC的垂线段$OE=OD$，进而证明AC是$\odot O$的切线。
(2) 判断四边形形状时，先观察内角特征：已知$∠ ACB=90°$，结合$OD⊥ BC$、$OE⊥ AC$可推出四边形有三个内角为直角，先判定为矩形，再结合(1)中得到的$OE=OD$（邻边相等），即可判定该四边形为正方形。
【解析】
(1) 如图,连接 OD,OC,过点 O 作 $OE ⊥ AC$ 于点 E。
$\because AC=BC,O$ 为边 $AB$ 的中点,
$\therefore CO$ 平分$∠ ACB$。
$\because \odot O$ 与 $BC$ 相切于点 $D$,
$\therefore OD ⊥ BC$。
$\because CO$ 平分$∠ ACB,OD ⊥ BC,OE ⊥ AC$,
$\therefore OE=OD$。
又 $OE ⊥ AC$,
$\therefore AC$ 是$\odot O$ 的切线。
(2) 四边形的形状是正方形。
证明:$\because OD ⊥ BC,OE ⊥ AC$,
$\therefore ∠ OEC= ∠ ODC=90°$。
又 $∠ ACB=90°$,
$\therefore$ 四边形 $ODCE$ 是矩形。
$\because OE=OD$,
$\therefore$ 四边形 $ODCE$ 是正方形。
【答案】
(1) 如图,连接 OD,OC,过点 O 作 $OE ⊥ AC$ 于点 E。
$\because AC=BC,O$ 为边 AB 的中点,
$\therefore CO$ 平分$∠ ACB$。
$\because \odot O$ 与 BC 相切于点 D,
$\therefore OD ⊥ BC$。
$\because CO$ 平分$∠ ACB,OD ⊥ BC,OE ⊥ AC$,
$\therefore OE=OD$。
又 $OE ⊥ AC$,
$\therefore AC$ 是$\odot O$ 的切线。
(2) 四边形的形状是正方形。
证明:$\because OD ⊥ BC,OE ⊥ AC$,
$\therefore ∠ OEC= ∠ ODC=90°$。
又 $∠ ACB=90°$,
$\therefore$ 四边形 ODCE 是矩形。
$\because OE=OD$,
$\therefore$ 四边形 ODCE 是正方形。
【知识点】
1. 切线的判定与性质
2. 角平分线的性质
3. 正方形的判定
【点评】
本题是圆与特殊三角形、特殊四边形结合的基础综合题，解题核心是熟练掌握切线的判定方法，合理构造辅助线，结合等腰三角形性质、角平分线性质推导线段与角度关系，再根据特殊四边形的判定定理得出结论，有助于巩固几何综合题的解题思路。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明AC是$\odot O$的切线，遵循切线判定的常规思路：若未知直线与圆的交点，可过圆心作直线的垂线，只需证明垂线段长度等于圆的半径即可。已知$\odot O$与BC相切于D，可得$OD⊥ BC$且OD是$\odot O$的半径；结合$△ ABC$是等腰直角三角形、O为AB中点，由等腰三角形三线合一的性质可知CO平分$∠ ACB$，再利用角平分线上的点到角两边距离相等，即可推出O到AC的垂线段$OE=OD$，进而证明AC是$\odot O$的切线。
(2) 判断四边形形状时，先观察内角特征：已知$∠ ACB=90°$，结合$OD⊥ BC$、$OE⊥ AC$可推出四边形有三个内角为直角，先判定为矩形，再结合(1)中得到的$OE=OD$（邻边相等），即可判定该四边形为正方形。
【解析】
(1) 如图,连接 OD,OC,过点 O 作 $OE ⊥ AC$ 于点 E。
$\because AC=BC,O$ 为边 $AB$ 的中点,
$\therefore CO$ 平分$∠ ACB$。
$\because \odot O$ 与 $BC$ 相切于点 $D$,
$\therefore OD ⊥ BC$。
$\because CO$ 平分$∠ ACB,OD ⊥ BC,OE ⊥ AC$,
$\therefore OE=OD$。
又 $OE ⊥ AC$,
$\therefore AC$ 是$\odot O$ 的切线。
(2) 四边形的形状是正方形。
证明:$\because OD ⊥ BC,OE ⊥ AC$,
$\therefore ∠ OEC= ∠ ODC=90°$。
又 $∠ ACB=90°$,
$\therefore$ 四边形 $ODCE$ 是矩形。
$\because OE=OD$,
$\therefore$ 四边形 $ODCE$ 是正方形。
【答案】
(1) 如图,连接 OD,OC,过点 O 作 $OE ⊥ AC$ 于点 E。
$\because AC=BC,O$ 为边 AB 的中点,
$\therefore CO$ 平分$∠ ACB$。
$\because \odot O$ 与 BC 相切于点 D,
$\therefore OD ⊥ BC$。
$\because CO$ 平分$∠ ACB,OD ⊥ BC,OE ⊥ AC$,
$\therefore OE=OD$。
又 $OE ⊥ AC$,
$\therefore AC$ 是$\odot O$ 的切线。
(2) 四边形的形状是正方形。
证明:$\because OD ⊥ BC,OE ⊥ AC$,
$\therefore ∠ OEC= ∠ ODC=90°$。
又 $∠ ACB=90°$,
$\therefore$ 四边形 ODCE 是矩形。
$\because OE=OD$,
$\therefore$ 四边形 ODCE 是正方形。
【知识点】
1. 切线的判定与性质
2. 角平分线的性质
3. 正方形的判定
【点评】
本题是圆与特殊三角形、特殊四边形结合的基础综合题，解题核心是熟练掌握切线的判定方法，合理构造辅助线，结合等腰三角形性质、角平分线性质推导线段与角度关系，再根据特殊四边形的判定定理得出结论，有助于巩固几何综合题的解题思路。
【难度系数】
0.6
