例 如图，PA是$\odot O$的切线，A为切点.B为$\odot O$上一点，射线PB，AO交于点C，连接AB，点D在AB上，过点D作$DF ⊥ AB$，交AP于点F，作$DE ⊥ BP$于点E.$AD = BE$，$BD=AF$.
求证：PB是$\odot O$的切线.

证明：如图，连接OB.

$\because$ PA是$\odot O$的切线，
$\therefore OA ⊥ PA$，
$\therefore ∠ OAP=90°$.
$\therefore ∠ 1+∠ 3=90°$.
$\because DF ⊥ AB,DE ⊥ BP$，
$\therefore ∠ ADF=∠ BED=90°$.
$\because AD=BE,AF=BD$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ FDA ≌ \mathrm{Rt}△ DEB(\mathrm{HL})$.
$\therefore ∠ 3=∠ 4$.
$\because OA=OB$，
$\therefore ∠ 1=∠ 2$.
$\therefore ∠ 1+∠ 3=∠ 2+∠ 4$.
$\therefore ∠ OBP=∠ 2+∠ 4=90°$，
即$OB ⊥ BP$.
$\because OB$是$\odot O$的半径，
$\therefore PB$是$\odot O$的切线.
方法点拨 (1)连半径，证垂直；(2)综合运用切线的判定及性质.

证明：如图，连接OB。
$\because$ PA是$\odot O$的切线，
$\therefore OA ⊥ PA$，
$\therefore ∠ OAP=90°$，
$\therefore ∠ 1+∠ 3=90°$。
$\because DF ⊥ AB,DE ⊥ BP$，
$\therefore ∠ ADF=∠ BED=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ FDA$和$\mathrm{Rt}△ DEB$中，
$\begin{cases}AD=BE \\AF=BD\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ FDA ≌ \mathrm{Rt}△ DEB(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ 3=∠ 4$。
$\because OA=OB$，
$\therefore ∠ 1=∠ 2$。
$\therefore ∠ 1+∠ 3=∠ 2+∠ 4$，
$\therefore ∠ OBP=∠ 2+∠ 4=90°$，
即$OB ⊥ BP$。
$\because OB$是$\odot O$的半径，
$\therefore PB$是$\odot O$的切线。

【分析】要证明PB是$\odot O$的切线，依据切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，因此首先连接半径OB，只需证$OB⊥ BP$即可。第一步先利用切线的性质，由PA是$\odot O$的切线得到$OA⊥ PA$，推出$∠ 1+∠ 3=90°$；第二步结合$DF⊥ AB$、$DE⊥ BP$的垂直条件，以及已知$AD=BE$、$AF=BD$，用HL判定$\mathrm{Rt}△ FDA$和$\mathrm{Rt}△ DEB$全等，得到$∠ 3=∠ 4$；第三步由同圆的半径相等得$OA=OB$，推出$∠ 1=∠ 2$；第四步通过等量代换得到$∠ 2+∠ 4=90°$，即可证得$OB⊥ BP$，进而得出PB是$\odot O$的切线。
【解析】
证明：如图，连接OB。
$\because$ PA是$\odot O$的切线，
$\therefore OA ⊥ PA$，
$\therefore ∠ OAP=90°$，
$\therefore ∠ 1+∠ 3=90°$。
$\because DF ⊥ AB,DE ⊥ BP$，
$\therefore ∠ ADF=∠ BED=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ FDA$和$\mathrm{Rt}△ DEB$中，
$\begin{cases}AD=BE \\AF=BD\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ FDA ≌ \mathrm{Rt}△ DEB(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ 3=∠ 4$。
$\because OA=OB$，
$\therefore ∠ 1=∠ 2$。
$\therefore ∠ 1+∠ 3=∠ 2+∠ 4$，
$\therefore ∠ OBP=∠ 2+∠ 4=90°$，
即$OB ⊥ BP$。
$\because OB$是$\odot O$的半径，
$\therefore PB$是$\odot O$的切线。
【答案】
证明：如图，连接OB。
$\because$ PA是$\odot O$的切线，
$\therefore OA ⊥ PA$，
$\therefore ∠ OAP=90°$，
$\therefore ∠ 1+∠ 3=90°$。
$\because DF ⊥ AB,DE ⊥ BP$，
$\therefore ∠ ADF=∠ BED=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ FDA$和$\mathrm{Rt}△ DEB$中，
$\begin{cases}AD=BE \\AF=BD\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ FDA ≌ \mathrm{Rt}△ DEB(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ 3=∠ 4$。
$\because OA=OB$，
$\therefore ∠ 1=∠ 2$。
$\therefore ∠ 1+∠ 3=∠ 2+∠ 4$，
$\therefore ∠ OBP=∠ 2+∠ 4=90°$，
即$OB ⊥ BP$。
$\because OB$是$\odot O$的半径，
$\therefore PB$是$\odot O$的切线。
【知识点】
切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】本题是圆的常规证明题，核心思路清晰，重点考查切线判定的常用方法“连半径，证垂直”，需要学生熟练掌握全等三角形的判定和角度等量代换的技巧，逻辑连贯性较强，能很好地考查学生的几何推理能力。
【难度系数】
0.6

顶点在圆上,一边与圆相交,另一边与圆相切的角是弦切角.古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中提出弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数.下面是某数学兴趣小组对弦切角定理的证明过程.
证明:如图①,,AD是$\odot O$的直径,AB为$\odot O$的切线,在$\widehat{AC}$上取一点E,连接EC,ED,EA.
$\because \widehat{CD}=\widehat{CD},\therefore ∠ CED=∠ CAD.$
$\because AD$是$\odot O$的直径,$\therefore ∠ DEA=90°.$
$\because AB$为$\odot O$的切线,$\therefore DA ⊥ AB$,即$∠ BAD=90°.\therefore ∠ DEA=∠ BAD.$
$\therefore ∠ CEA=∠ CED+∠ DEA=∠ CAD+∠ BAD=∠ BAC,$
即弦切角$∠ BAC$的度数等于它所夹的弧所对的圆周角$∠ CEA$的度数.
根据以上材料解决下面的问题:
如图②,,已知A,C,D是$\odot O$上的点,过点C作$∠ DCB=∠ A$,CB交AD的延长线于点B.求证:BC是$\odot O$的切线.

如图,连接 CO 并延长,交$\odot O$ 于点 F,连接 DF.
$\therefore$ CF 为$\odot O$ 的直径.
$\therefore ∠ CDF=90°.$
$\therefore ∠ F+ ∠ FCD=90°.$
$\because \overgroup{CD}=\overgroup{CD},$
$\therefore ∠ F= ∠ A.$
$\because ∠ DCB= ∠ A,$
$\therefore ∠ F= ∠ DCB.$
$\therefore ∠ DCB+ ∠ FCD=90°,$即$∠ FCB=90°.$
$\therefore OC ⊥ BC.$
$\because OC$ 是$\odot O$ 的半径,
$\therefore BC$ 是$\odot O$ 的切线.

【分析】
要证明BC是$\odot O$的切线，根据切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，已知BC与$\odot O$交于点C，因此只需证明OC⊥BC即可。我们可以通过构造直径得到直角，再结合角的等量代换推导垂直关系：首先作辅助线延长CO交$\odot O$于F，连接DF，利用直径所对的圆周角为直角得到∠CDF=90°，再结合同弧所对的圆周角相等，将已知条件∠DCB=∠A进行代换，最终推导出∠FCB=90°，即可完成证明。
【解析】
1. 作辅助线：连接CO并延长，交$\odot O$于点F，连接DF，则CF为$\odot O$的直径。
2. 根据直径所对的圆周角是直角，可得$∠ CDF=90°$，因此在$Rt△ CDF$中，$∠ F + ∠ FCD=90°$。
3. 由同弧$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角相等，得$∠ F=∠ A$。
4. 结合已知条件$∠ DCB=∠ A$，通过等量代换可得$∠ F=∠ DCB$。
5. 将$∠ F=∠ DCB$代入$∠ F + ∠ FCD=90°$，得$∠ DCB + ∠ FCD=90°$，即$∠ FCB=90°$，因此$OC⊥ BC$。
6. 由于OC是$\odot O$的半径，且BC过半径OC的外端C且与OC垂直，根据切线的判定定理，可得BC是$\odot O$的切线。
【答案】
如图,连接 CO 并延长,交$\odot O$ 于点 F,连接 DF.
$\therefore$ CF 为$\odot O$ 的直径.
$\therefore ∠ CDF=90°.$
$\therefore ∠ F+ ∠ FCD=90°.$
$\because \overgroup{CD}=\overgroup{CD},$
$\therefore ∠ F= ∠ A.$
$\because ∠ DCB= ∠ A,$
$\therefore ∠ F= ∠ DCB.$
$\therefore ∠ DCB+ ∠ FCD=90°,$即$∠ FCB=90°.$
$\therefore OC ⊥ BC.$
$\because OC$ 是$\odot O$ 的半径,
$\therefore BC$ 是$\odot O$ 的切线.
【知识点】
切线的判定；圆周角定理；等量代换
【点评】
本题是切线判定的典型题型，解题核心是熟练掌握切线的判定思路，合理构造辅助线得到直角，再结合圆周角的性质完成角的等量代换，进而证明垂直关系，有效考查了逻辑推理能力和几何辅助线的构造能力。
【难度系数】
0.7