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11.【问题情境】
在数学实践课上，老师让同学们就长方体收纳盒的制作展开了讨论.
如图，长方形纸板的长为60 cm，宽为30 cm，将纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折叠成一个有盖的长方体收纳盒.折叠时，两侧的长方形ADFE和BHGC需经过两次折叠，既形成收纳盒的侧面，又组合成收纳盒的上表面，使EF和HG恰好重合且无重叠部分，从而形成完整的盖子.
【解决问题】
设收纳盒的高为x cm.
（1）收纳盒底面ABCD的边BC=
（2）若收纳盒底面ABCD的面积为500 cm²，求该收纳盒的高；
（3）收纳盒底面ABCD的面积可以是900 cm²吗？若可以，则求出收纳盒的高；若不可以，则说明理由.
在数学实践课上，老师让同学们就长方体收纳盒的制作展开了讨论.
如图，长方形纸板的长为60 cm，宽为30 cm，将纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折叠成一个有盖的长方体收纳盒.折叠时，两侧的长方形ADFE和BHGC需经过两次折叠，既形成收纳盒的侧面，又组合成收纳盒的上表面，使EF和HG恰好重合且无重叠部分，从而形成完整的盖子.
【解决问题】
设收纳盒的高为x cm.
（1）收纳盒底面ABCD的边BC=
(30-2x)
cm，AB=(30-x)
cm；（用含x的代数式表示）（2）若收纳盒底面ABCD的面积为500 cm²，求该收纳盒的高；
（3）收纳盒底面ABCD的面积可以是900 cm²吗？若可以，则求出收纳盒的高；若不可以，则说明理由.
答案
11. 解（1）$(30-2x)$ $(30-x)$
（2）根据题意得 $(30-2x)(30-x)=500$.
整理得 $x^2-45x+200=0$.
解得 $x_1=5$，$x_2=40$（不合题意，舍去）.
所以该收纳盒的高为 5 cm.
（3）收纳盒底面 ABCD 的面积不可以是 $900\ \mathrm{cm}^2$. 理由如下：假设收纳盒底面 ABCD 的面积是 $900\ \mathrm{cm}^2$，则根据题意得 $(30-2x)(30-x)=900$. 整理得 $x^2-45x=0$. 解得 $x_1=0$，$x_2=45$. 因为 $x＞0$，$30-2x＞0$，所以 $0＜x＜15$. 所以 $x_1=0$ 和 $x_2=45$ 都不符合题意. 所以收纳盒底面 ABCD 的面积不可以是 $900\ \mathrm{cm}^2$.
（2）根据题意得 $(30-2x)(30-x)=500$.
整理得 $x^2-45x+200=0$.
解得 $x_1=5$，$x_2=40$（不合题意，舍去）.
所以该收纳盒的高为 5 cm.
（3）收纳盒底面 ABCD 的面积不可以是 $900\ \mathrm{cm}^2$. 理由如下：假设收纳盒底面 ABCD 的面积是 $900\ \mathrm{cm}^2$，则根据题意得 $(30-2x)(30-x)=900$. 整理得 $x^2-45x=0$. 解得 $x_1=0$，$x_2=45$. 因为 $x＞0$，$30-2x＞0$，所以 $0＜x＜15$. 所以 $x_1=0$ 和 $x_2=45$ 都不符合题意. 所以收纳盒底面 ABCD 的面积不可以是 $900\ \mathrm{cm}^2$.
解析
【分析】
（1）先梳理折叠前后边长的对应关系：原纸板宽为30cm，上下各剪去高度为x的小长方形，因此底面宽BC为原宽减去2个高的长度；原纸板长为60cm，减去左右2个高的长度后，剩余部分平均分为2份就是底面长AB，据此即可列出代数式。
（2）利用长方形面积公式“面积=长×宽”，将（1）中得到的AB、BC代入，列出一元二次方程，求解后结合边长为正的实际要求舍去不符合题意的根。
（3）先假设面积可以达到900cm²，按上述等量关系列方程求解，再判断解是否符合x的实际取值范围（x＞0且30-2x＞0），若解均不符合要求则说明不能达到该面积。
【解析】
（1）由折叠性质可得：
底面边BC的长度=原纸板宽-2×收纳盒高，即$BC=30-2x$（cm）；
原纸板长减去2个收纳盒高后，剩余长度是2倍的AB，因此$AB=\frac{60-2x}{2}=30-x$（cm）。
（2）根据底面面积为$500\ \mathrm{cm}^2$，列方程得：
$(30-2x)(30-x)=500$
展开整理得：$x^2-45x+200=0$
因式分解得：$(x-5)(x-40)=0$，解得$x_1=5$，$x_2=40$
由实际意义可知$x＞0$且$30-2x＞0$，即$0＜x＜15$，因此$x_2=40$不符合题意，舍去。
（3）不可以，理由如下：
假设底面ABCD面积为$900\ \mathrm{cm}^2$，列方程得：
$(30-2x)(30-x)=900$
展开整理得：$x^2-45x=0$
因式分解得：$x(x-45)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=45$
结合$0＜x＜15$的取值要求，两个解均不符合题意，因此底面面积不能为$900\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
（1）$\boxed{(30-2x)}$；$\boxed{(30-x)}$
（2）$\boxed{5\ \mathrm{cm}}$
（3）$\boxed{不可以}$
【知识点】
列代数式；一元二次方程的应用；实际问题的根检验
【点评】
本题结合长方体折叠的生活情境，考查一元二次方程在几何面积问题中的应用，解题核心是准确梳理折叠前后的边长关系列出代数式，同时要注意结合实际场景对方程的解进行取舍，避免出现不符合现实的结果。
【难度系数】
0.7
（1）先梳理折叠前后边长的对应关系：原纸板宽为30cm，上下各剪去高度为x的小长方形，因此底面宽BC为原宽减去2个高的长度；原纸板长为60cm，减去左右2个高的长度后，剩余部分平均分为2份就是底面长AB，据此即可列出代数式。
（2）利用长方形面积公式“面积=长×宽”，将（1）中得到的AB、BC代入，列出一元二次方程，求解后结合边长为正的实际要求舍去不符合题意的根。
（3）先假设面积可以达到900cm²，按上述等量关系列方程求解，再判断解是否符合x的实际取值范围（x＞0且30-2x＞0），若解均不符合要求则说明不能达到该面积。
【解析】
（1）由折叠性质可得：
底面边BC的长度=原纸板宽-2×收纳盒高，即$BC=30-2x$（cm）；
原纸板长减去2个收纳盒高后，剩余长度是2倍的AB，因此$AB=\frac{60-2x}{2}=30-x$（cm）。
（2）根据底面面积为$500\ \mathrm{cm}^2$，列方程得：
$(30-2x)(30-x)=500$
展开整理得：$x^2-45x+200=0$
因式分解得：$(x-5)(x-40)=0$，解得$x_1=5$，$x_2=40$
由实际意义可知$x＞0$且$30-2x＞0$，即$0＜x＜15$，因此$x_2=40$不符合题意，舍去。
（3）不可以，理由如下：
假设底面ABCD面积为$900\ \mathrm{cm}^2$，列方程得：
$(30-2x)(30-x)=900$
展开整理得：$x^2-45x=0$
因式分解得：$x(x-45)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=45$
结合$0＜x＜15$的取值要求，两个解均不符合题意，因此底面面积不能为$900\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
（1）$\boxed{(30-2x)}$；$\boxed{(30-x)}$
（2）$\boxed{5\ \mathrm{cm}}$
（3）$\boxed{不可以}$
【知识点】
列代数式；一元二次方程的应用；实际问题的根检验
【点评】
本题结合长方体折叠的生活情境，考查一元二次方程在几何面积问题中的应用，解题核心是准确梳理折叠前后的边长关系列出代数式，同时要注意结合实际场景对方程的解进行取舍，避免出现不符合现实的结果。
【难度系数】
0.7
