9.如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°,AD⊥ BC$于点$D,∠ ACB$的平分线交$AD$于点$E$,交$AB$于点$F,FG⊥ BC$于点$G$。$AE$与$FG$相等吗?请说明理由。

解:AE=FG。
因为CF平分∠ACB,∠BAC=90°,FG⊥BC,
所以FG=FA,∠ACF=∠ECD。
因为∠AFC+∠ACF=90°,∠DEC+∠ECD=90°,
所以∠AFC=∠DEC。
又因为∠AEF=∠DEC,
所以∠AFC=∠AEF,
所以AE=FA,
所以AE=FG。

【分析】要判断AE与FG是否相等，我们可以通过等量代换证明两者都等于同一条线段FA。首先看到CF是∠ACB的平分线，且FA⊥AC、FG⊥BC，根据角平分线的性质可先得到FG=FA；接下来只需证明AE=FA即可，要证两条线段相等，可通过等角对等边证明，利用直角三角形两锐角互余、对顶角相等的性质进行角的等量代换，得到∠AEF=∠AFC，就能推出AE=FA，最后等量代换即可得到结论。
【解析】
解：AE=FG，理由如下：
∵CF平分∠ACB，∠BAC=90°，FG⊥BC，
∴FG=FA，∠ACF=∠ECD。
∵∠AFC+∠ACF=90°，∠DEC+∠ECD=90°，
∴∠AFC=∠DEC。
又
∵∠AEF=∠DEC（对顶角相等），
∴∠AFC=∠AEF，
∴AE=FA，
∴AE=FG。
【答案】AE=FG
【知识点】角平分线的性质；等角的余角相等；等腰三角形判定
【点评】本题属于基础几何证明题，解题核心是找到中间量FA，分别证明AE、FG都与FA相等，再通过等量代换得到结论，能够很好地考查几何逻辑推理的基本能力。
【难度系数】0.7

10.如图(1),在△ABC中,已知AB=AC,∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,过点O作EF//BC,分别交AB,AC于点E,F。

(1)图中的等腰三角形有。
猜想EF与BE,CF之间的关系,并说明理由。
(2)如图(2),若AB≠AC,则图中的等腰三角形有。第(1)问中EF与BE,CF间的关系还存在吗?
(3)如图(3),在△ABC中,AB≠AC,∠ABC的平分线BO与三角形的外角∠ACG的平分线CO交于点O,过点O作OE//BC,交AB于点E,交AC于点F。
这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE,CF的关系又如何?说明你的理由。

解:(1)图中的等腰三角形有△AEF,△OEB,△OFC,△OBC,△ABC。
EF,BE,CF之间的关系是EF=BE+CF,理由如下：
因为OB,OC分别平分∠ABC,∠ACB,
所以∠ABO=∠OBC,∠ACO=∠OCB。
因为EF//BC,
所以∠EOB=∠OBC=∠EBO,
∠FOC=∠OCB=∠FCO,
所以EO=EB,FO=CF。
所以EF=EO+OF=BE+CF。
(2)当AB≠AC时,图中的等腰三角形有△EOB,△FOC,(1)中EF与BE,CF间的关系仍然成立。(证明过程同(1))
(3)△EOB和△FOC是等腰三角形,EF=BE-CF。理由如下：
因为OE//BC,
所以∠FOC=∠OCG,∠BOE=∠CBO。
又因为OC平分∠ACG,
所以∠ACO=∠OCG,
所以∠FCO=∠FOC,
所以FO=CF,所以△FOC是等腰三角形。
因为OB平分∠ABC,
所以∠EBO=∠CBO,
所以∠EBO=∠BOE,
所以OE=BE,所以△EOB是等腰三角形。
所以EF=EO-FO=BE-CF。

【分析】
解题核心是利用“角平分线+平行线”的模型推导等腰三角形，再结合线段和差关系得到EF与BE、CF的数量关系，思考步骤如下：①根据角平分线定义得到相等的角，再结合平行线的性质推导新的等角，利用“等角对等边”判定等腰三角形；②将EF拆分为EO和OF两段，利用等腰三角形等边的性质将EO、OF转化为BE、CF，结合图形中线段的位置判断是和关系还是差关系。解题时注意区分三问的条件差异：(1)中AB=AC，相等的角更多，对应等腰三角形数量更多；(2)中AB≠AC，仅保留角平分线和平行线的核心条件，仅存在两个由模型推导的等腰三角形；(3)中将内角平分线改为外角平分线，模型仍然成立，但线段位置变化，和的关系变为差的关系。
【解析】
(1) 等腰三角形推导：
已知AB=AC，所以△ABC是等腰三角形；
OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，所以∠OBC=∠OCB，故△OBC是等腰三角形；
EF//BC，所以∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，因此∠AEF=∠AFE，故△AEF是等腰三角形；
EF//BC，所以∠EOB=∠OBC，又∠EBO=∠OBC，所以∠EOB=∠EBO，故△OEB是等腰三角形；
同理可得∠FOC=∠OCB=∠FCO，故△OFC是等腰三角形。
线段关系推导：
由上述结论得EO=EB，FO=CF，因此EF=EO+OF=BE+CF。
(2) 当AB≠AC时，∠ABC≠∠ACB，因此△ABC、△OBC、△AEF不再是等腰三角形；
仍有OB平分∠ABC，EF//BC，所以∠EOB=∠EBO，故△OEB是等腰三角形，同理△FOC是等腰三角形。
EF=BE+CF的关系仍然成立，推导过程同(1)：EO=BE，FO=CF，EF=EO+OF=BE+CF。
(3) 等腰三角形和线段关系推导：
因为BO平分∠ABC，所以∠EBO=∠CBO，
又OE//BC，所以∠BOE=∠CBO，因此∠EBO=∠BOE，可得EO=BE，故△EOB是等腰三角形；
因为CO平分∠ACG，所以∠FCO=∠OCG，
又OE//BC，所以∠FOC=∠OCG，因此∠FCO=∠FOC，可得FO=CF，故△FOC是等腰三角形；
因此EF=EO-FO=BE-CF。
【答案】
(1) 等腰三角形：$△ AEF,△ OEB,△ OFC,△ OBC,△ ABC$；$EF=BE+CF$，理由见解析；
(2) 等腰三角形：$△ EOB,△ FOC$；$EF=BE+CF$的关系仍然存在；
(3) 等腰三角形：$△ EOB,△ FOC$；$EF=BE-CF$，理由见解析。
【知识点】
等腰三角形的判定、角平分线的定义、平行线的性质
【点评】
本题是“角平分线+平行线构造等腰三角形”的典型变式题，通过改变三角形边的关系、角平分线的类型（内角/外角），考查对基本模型的掌握和图形变化下的规律分析能力，解题核心是抓住“角平分线得等角、平行线得等角、等角对等边”的逻辑，同时结合线段位置准确判断和差关系。
【难度系数】
0.65