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4.如图,在四边形ABCD中,$AB=3$,$AD=5$,$AD// BC$。以点B为圆心,以任意长为半径作弧,分别交BA,BC于点P,Q;再分别以P,Q为圆心,以大于$\frac{1}{2}PQ$的长为半径作弧,两弧在$∠ ABC$内交于点M;连接BM并延长,交AD于点E,则DE的长为
2
。答案
2
解析
【分析】
首先根据题目给出的尺规作图步骤，判断出所作线段BE是∠ABC的角平分线，得到∠ABE=∠CBE；再结合AD//BC的条件，利用平行线内错角相等的性质，得到∠AEB=∠CBE，通过等量代换可推出∠ABE=∠AEB，进而判定△ABE是等腰三角形，得到AE=AB；最后用AD的长度减去AE的长度即可求出DE的长。
【解析】
1. 由尺规作图的步骤可知，BE平分∠ABC，因此$∠ ABE = ∠ CBE$。
2. 因为$AD// BC$，根据平行线的内错角相等性质，可得$∠ AEB = ∠ CBE$。
3. 等量代换得$∠ ABE = ∠ AEB$，因此$△ ABE$是等腰三角形，$AE = AB$。
已知$AB=3$，所以$AE=3$。
4. 已知$AD=5$，因此$DE = AD - AE = 5 - 3 = 2$。
【答案】
2
【知识点】
角平分线的尺规作图、平行线的性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的核心是先识别尺规作图的类型得到角平分线，再结合平行关系推导等腰三角形，只要熟练掌握相关基础知识点就能快速求解。
【难度系数】
0.7
首先根据题目给出的尺规作图步骤，判断出所作线段BE是∠ABC的角平分线，得到∠ABE=∠CBE；再结合AD//BC的条件，利用平行线内错角相等的性质，得到∠AEB=∠CBE，通过等量代换可推出∠ABE=∠AEB，进而判定△ABE是等腰三角形，得到AE=AB；最后用AD的长度减去AE的长度即可求出DE的长。
【解析】
1. 由尺规作图的步骤可知，BE平分∠ABC，因此$∠ ABE = ∠ CBE$。
2. 因为$AD// BC$，根据平行线的内错角相等性质，可得$∠ AEB = ∠ CBE$。
3. 等量代换得$∠ ABE = ∠ AEB$，因此$△ ABE$是等腰三角形，$AE = AB$。
已知$AB=3$，所以$AE=3$。
4. 已知$AD=5$，因此$DE = AD - AE = 5 - 3 = 2$。
【答案】
2
【知识点】
角平分线的尺规作图、平行线的性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的核心是先识别尺规作图的类型得到角平分线，再结合平行关系推导等腰三角形，只要熟练掌握相关基础知识点就能快速求解。
【难度系数】
0.7
5.如图，在$△ ABC$中，BD和CD分别平分$∠ ABC$和$∠ ACB$，过点D作$EF // BC$，分别交AB，AC于点E，F。若$BE=2$，$CF=3$，则线段EF的长为
5
。答案
5
解析
【分析】
解题时先结合已知条件梳理可用的性质：首先角平分线可得到一组相等的角，平行线可得到内错角相等，通过等量代换可以推出△EBD和△FCD都是等腰三角形，等腰三角形两腰相等，由此可以将EF拆分为ED+DF，对应转化为BE+CF，代入已知线段长度即可求出EF的长。
【解析】
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠CBD，
又
∵EF//BC，根据平行线的内错角相等，可得∠EDB=∠CBD，
∴∠EBD=∠EDB，即△EBD为等腰三角形，
∴ED=BE=2。
同理，CD平分∠ACB，
∴∠FCD=∠BCD，
∵EF//BC，
∴∠FDC=∠BCD，
∴∠FCD=∠FDC，即△FCD为等腰三角形，
∴FD=CF=3。
∴EF=ED+FD=2+3=5。
【答案】
5
【知识点】
角平分线定义、平行线的性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题是角平分线与平行线结合的典型题型，解题关键是利用等角关系推导出等腰三角形，完成待求线段的拆分转化，熟练掌握该类模型可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件梳理可用的性质：首先角平分线可得到一组相等的角，平行线可得到内错角相等，通过等量代换可以推出△EBD和△FCD都是等腰三角形，等腰三角形两腰相等，由此可以将EF拆分为ED+DF，对应转化为BE+CF，代入已知线段长度即可求出EF的长。
【解析】
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠CBD，
又
∵EF//BC，根据平行线的内错角相等，可得∠EDB=∠CBD，
∴∠EBD=∠EDB，即△EBD为等腰三角形，
∴ED=BE=2。
同理，CD平分∠ACB，
∴∠FCD=∠BCD，
∵EF//BC，
∴∠FDC=∠BCD，
∴∠FCD=∠FDC，即△FCD为等腰三角形，
∴FD=CF=3。
∴EF=ED+FD=2+3=5。
【答案】
5
【知识点】
角平分线定义、平行线的性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题是角平分线与平行线结合的典型题型，解题关键是利用等角关系推导出等腰三角形，完成待求线段的拆分转化，熟练掌握该类模型可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
6. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=60°$,在$△ ABC$的内部取一点$O$,连接$OA,OB,OC$,使$OA=OC$,$∠ OBA=20°$,$∠ OCA=40°$。已知下列说法:①$∠ BOA=140°$;②$△ OAB$是等腰三角形;③$∠ OBC=30°$;④$△ OBC$是等腰三角形;⑤$△ ABC$是等边三角形。其中说法正确的是________(填序号)。
答案
①②③④
解析
【分析】
我们先从已知条件OA=OC入手，先推导△OAC的内角度数，结合∠BAC的度数求出∠OAB的度数，再分析△OAB的形状和内角；接着通过线段相等的传递得到OB与OC的关系，推导△OBC的角度；最后计算△ABC的三个内角判断是否为等边三角形，逐个验证5个说法的正误。
【解析】
1. 处理△OAC：
∵OA=OC，∠OCA=40°，根据等腰三角形两底角相等，可得∠OAC=∠OCA=40°。
又
∵∠BAC=60°，
∴∠OAB=∠BAC - ∠OAC=60°-40°=20°。
2. 分析△OAB：
已知∠OBA=20°，
∴∠OAB=∠OBA=20°，根据等角对等边得OA=OB，故△OAB是等腰三角形，②正确；
根据三角形内角和为180°，∠BOA=180°-20°-20°=140°，故①正确。
3. 分析△OBC：
∵OA=OC，OA=OB，
∴OB=OC，故△OBC是等腰三角形，④正确。
4. 计算∠OBC的度数：
在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=120°，
∴∠OBC+∠OCB=120°-∠OBA-∠OCA=120°-20°-40°=60°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=60°÷2=30°，故③正确。
5. 判断△ABC是否为等边三角形：
∠ABC=20°+30°=50°，∠ACB=40°+30°=70°，三个内角度数不相等，故△ABC不是等边三角形，⑤错误。
【答案】
①②③④
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理
【点评】
本题侧重考查等腰三角形相关定理的综合应用，解题时要从已知的等腰条件出发，逐步推导角度和线段的等量关系，每一步推导都要有对应的定理作为依据，避免随意猜测角度。
【难度系数】
0.65
我们先从已知条件OA=OC入手，先推导△OAC的内角度数，结合∠BAC的度数求出∠OAB的度数，再分析△OAB的形状和内角；接着通过线段相等的传递得到OB与OC的关系，推导△OBC的角度；最后计算△ABC的三个内角判断是否为等边三角形，逐个验证5个说法的正误。
【解析】
1. 处理△OAC：
∵OA=OC，∠OCA=40°，根据等腰三角形两底角相等，可得∠OAC=∠OCA=40°。
又
∵∠BAC=60°，
∴∠OAB=∠BAC - ∠OAC=60°-40°=20°。
2. 分析△OAB：
已知∠OBA=20°，
∴∠OAB=∠OBA=20°，根据等角对等边得OA=OB，故△OAB是等腰三角形，②正确；
根据三角形内角和为180°，∠BOA=180°-20°-20°=140°，故①正确。
3. 分析△OBC：
∵OA=OC，OA=OB，
∴OB=OC，故△OBC是等腰三角形，④正确。
4. 计算∠OBC的度数：
在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=120°，
∴∠OBC+∠OCB=120°-∠OBA-∠OCA=120°-20°-40°=60°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=60°÷2=30°，故③正确。
5. 判断△ABC是否为等边三角形：
∠ABC=20°+30°=50°，∠ACB=40°+30°=70°，三个内角度数不相等，故△ABC不是等边三角形，⑤错误。
【答案】
①②③④
【知识点】
等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理
【点评】
本题侧重考查等腰三角形相关定理的综合应用，解题时要从已知的等腰条件出发，逐步推导角度和线段的等量关系，每一步推导都要有对应的定理作为依据，避免随意猜测角度。
【难度系数】
0.65
7.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$D$是$AB$上一点,过点$D$作$DE ⊥ BC$于点$E$,并与$CA$的延长线相交于点$F$,试判断$△ ADF$的形状,并说明理由。
答案
解:△ADF是等腰三角形。
理由:在△ABC中,因为AB=AC,
所以∠B=∠C。
因为DE⊥BC,
所以∠DEB=∠DEC=90°,
所以∠BDE+∠B=90°,∠F+∠C=90°,
所以∠BDE=∠F。
又因为∠BDE=∠ADF,所以∠ADF=∠F,
所以AF=AD,所以△ADF是等腰三角形。
理由:在△ABC中,因为AB=AC,
所以∠B=∠C。
因为DE⊥BC,
所以∠DEB=∠DEC=90°,
所以∠BDE+∠B=90°,∠F+∠C=90°,
所以∠BDE=∠F。
又因为∠BDE=∠ADF,所以∠ADF=∠F,
所以AF=AD,所以△ADF是等腰三角形。
解析
【分析】
要判断△ADF的形状，可通过推导其内角的等量关系来分析：首先从已知条件AB=AC出发，利用等腰三角形的性质得到∠B=∠C；再结合DE⊥BC的垂直关系，根据直角三角形两锐角互余，得到∠BDE与∠B互余、∠F与∠C互余，利用等角的余角相等推出∠BDE=∠F；最后结合对顶角相等的性质，完成∠ADF和∠F的等量转换，即可根据等腰三角形的判定定理得出结论。
【解析】
解：△ADF是等腰三角形，理由如下：
在△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C。
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=∠DEC=90°，
∴∠BDE+∠B=90°，∠F+∠C=90°，
∴∠BDE=∠F。
又
∵∠BDE=∠ADF（对顶角相等），
∴∠ADF=∠F，
∴AF=AD，
∴△ADF是等腰三角形。
【答案】
△ADF是等腰三角形
【知识点】
等腰三角形的判定与性质；直角三角形两锐角互余；对顶角相等
【点评】
本题是等腰三角形判定的基础常考题，解题的关键是通过角的等量转换完成角相等的推导，侧重考查几何基础逻辑推导能力，属于角度转化类的典型题型。
【难度系数】
0.8
要判断△ADF的形状，可通过推导其内角的等量关系来分析：首先从已知条件AB=AC出发，利用等腰三角形的性质得到∠B=∠C；再结合DE⊥BC的垂直关系，根据直角三角形两锐角互余，得到∠BDE与∠B互余、∠F与∠C互余，利用等角的余角相等推出∠BDE=∠F；最后结合对顶角相等的性质，完成∠ADF和∠F的等量转换，即可根据等腰三角形的判定定理得出结论。
【解析】
解：△ADF是等腰三角形，理由如下：
在△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C。
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=∠DEC=90°，
∴∠BDE+∠B=90°，∠F+∠C=90°，
∴∠BDE=∠F。
又
∵∠BDE=∠ADF（对顶角相等），
∴∠ADF=∠F，
∴AF=AD，
∴△ADF是等腰三角形。
【答案】
△ADF是等腰三角形
【知识点】
等腰三角形的判定与性质；直角三角形两锐角互余；对顶角相等
【点评】
本题是等腰三角形判定的基础常考题，解题的关键是通过角的等量转换完成角相等的推导，侧重考查几何基础逻辑推导能力，属于角度转化类的典型题型。
【难度系数】
0.8
8.如图，点E在△ABC的边AC的延长线上，点D在AB边上，DE交BC于点F。已知DF=EF，BD=CE。△ABC是等腰三角形吗？请说明理由。
答案
解:△ABC是等腰三角形。
如图,过点D作DG//AC,交BC于点G。
因为DG//AC,
所以∠GDF=∠E,∠DGB=∠ACB。
在△GDF和△CEF中,$\begin{cases} ∠GDF=∠E, \\ DF=EF, \\ ∠DFG=∠EFC, \end{cases}$
所以△GDF≌△CEF(ASA),
所以GD=CE。
又因为BD=CE,
所以BD=GD,
所以∠B=∠DGB=∠ACB,
所以△ABC是等腰三角形。
解析
【分析】
要判断△ABC是否为等腰三角形，本质是证明∠B=∠ACB。题目给出的DF=EF、BD=CE条件较为分散，无法直接推导角的关系，因此考虑作辅助线构造全等三角形转化线段：过点D作DG平行于AC交BC于点G，先利用平行线性质得到相等的角，结合已知DF=EF和对顶角相等证明△GDF与△CEF全等，将CE转化为GD，再结合BD=CE得到BD=GD，最后通过等边对等角和平行线的同位角相等，即可推出∠B=∠ACB，判断三角形的形状。
【解析】
△ABC是等腰三角形，理由如下：
如图，过点D作DG//AC，交BC于点G。
因为DG//AC，
所以∠GDF=∠E，∠DGB=∠ACB。
在△GDF和△CEF中，
$\begin{cases} ∠GDF=∠E, \\ DF=EF, \\ ∠DFG=∠EFC, \end{cases}$
所以△GDF≌△CEF(ASA)，
所以GD=CE。
又因为BD=CE，
所以BD=GD，
所以∠B=∠DGB，
结合∠DGB=∠ACB，可得∠B=∠ACB，
所以AB=AC，即△ABC是等腰三角形。
【答案】
△ABC是等腰三角形，理由如下：
如图,过点D作DG//AC,交BC于点G。
因为DG//AC,
所以∠GDF=∠E,∠DGB=∠ACB。
在△GDF和△CEF中,$\begin{cases} ∠GDF=∠E, \\ DF=EF, \\ ∠DFG=∠EFC, \end{cases}$
所以△GDF≌△CEF(ASA),
所以GD=CE。
又因为BD=CE,
所以BD=GD,
所以∠B=∠DGB=∠ACB,
所以△ABC是等腰三角形。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题的核心是通过作平行线构造全等三角形，将分散的已知条件整合，借助等量代换推导角相等，进而判断三角形形状，是构造全等三角形解决几何问题的典型应用。
【难度系数】
0.6
要判断△ABC是否为等腰三角形，本质是证明∠B=∠ACB。题目给出的DF=EF、BD=CE条件较为分散，无法直接推导角的关系，因此考虑作辅助线构造全等三角形转化线段：过点D作DG平行于AC交BC于点G，先利用平行线性质得到相等的角，结合已知DF=EF和对顶角相等证明△GDF与△CEF全等，将CE转化为GD，再结合BD=CE得到BD=GD，最后通过等边对等角和平行线的同位角相等，即可推出∠B=∠ACB，判断三角形的形状。
【解析】
△ABC是等腰三角形，理由如下：
如图，过点D作DG//AC，交BC于点G。
因为DG//AC，
所以∠GDF=∠E，∠DGB=∠ACB。
在△GDF和△CEF中，
$\begin{cases} ∠GDF=∠E, \\ DF=EF, \\ ∠DFG=∠EFC, \end{cases}$
所以△GDF≌△CEF(ASA)，
所以GD=CE。
又因为BD=CE，
所以BD=GD，
所以∠B=∠DGB，
结合∠DGB=∠ACB，可得∠B=∠ACB，
所以AB=AC，即△ABC是等腰三角形。
【答案】
△ABC是等腰三角形，理由如下：
如图,过点D作DG//AC,交BC于点G。
因为DG//AC,
所以∠GDF=∠E,∠DGB=∠ACB。
在△GDF和△CEF中,$\begin{cases} ∠GDF=∠E, \\ DF=EF, \\ ∠DFG=∠EFC, \end{cases}$
所以△GDF≌△CEF(ASA),
所以GD=CE。
又因为BD=CE,
所以BD=GD,
所以∠B=∠DGB=∠ACB,
所以△ABC是等腰三角形。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题的核心是通过作平行线构造全等三角形，将分散的已知条件整合，借助等量代换推导角相等，进而判断三角形形状，是构造全等三角形解决几何问题的典型应用。
【难度系数】
0.6
