登录
1. 如图，射线$l_甲$，$l_乙$分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所行路程$s(\mathrm{m})$与时间$t(\mathrm{min})$的函数图象，则他们行进的速度关系是 （
A.甲、乙同速
B.甲比乙快
C.乙比甲快
D.无法确定
B
）A.甲、乙同速
B.甲比乙快
C.乙比甲快
D.无法确定
答案
1.B
解析
【分析】
要判断甲、乙的速度关系，首先明确这是路程s随时间t变化的s-t图象，过原点的射线代表匀速运动，速度公式为$v=\frac{s}{t}$。我们可以通过两种思路分析：一是取相同的时间，比较两人行驶的路程，路程越大速度越快；二是直接观察图象的倾斜程度，倾斜程度越大（图象越陡），代表相同时间内走过的路程越多，速度就越大。
【解析】
解法1：取任意相同的时间t，从图象中可以看出，此时甲对应的路程$s_甲$大于乙对应的路程$s_乙$。
根据速度公式$v=\frac{s}{t}$，当t相同时，s越大，v越大，因此$v_甲＞v_乙$，即甲比乙快。
解法2：s-t图象中，匀速运动的图象倾斜程度代表速度大小，图象越陡说明速度越大。
观察图象可知，$l_甲$的倾斜程度大于$l_乙$，因此甲的速度更快。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
s-t图象的意义，一次函数的实际应用，速度的比较
【点评】
本题是函数与行程问题结合的基础题，核心是理解s-t图象中倾斜程度的实际含义，既可以通过速度公式结合控制变量法比较速度，也可以直接通过图象特征快速判断，要求学生掌握图象与实际物理量的对应关系。
【难度系数】
0.9
要判断甲、乙的速度关系，首先明确这是路程s随时间t变化的s-t图象，过原点的射线代表匀速运动，速度公式为$v=\frac{s}{t}$。我们可以通过两种思路分析：一是取相同的时间，比较两人行驶的路程，路程越大速度越快；二是直接观察图象的倾斜程度，倾斜程度越大（图象越陡），代表相同时间内走过的路程越多，速度就越大。
【解析】
解法1：取任意相同的时间t，从图象中可以看出，此时甲对应的路程$s_甲$大于乙对应的路程$s_乙$。
根据速度公式$v=\frac{s}{t}$，当t相同时，s越大，v越大，因此$v_甲＞v_乙$，即甲比乙快。
解法2：s-t图象中，匀速运动的图象倾斜程度代表速度大小，图象越陡说明速度越大。
观察图象可知，$l_甲$的倾斜程度大于$l_乙$，因此甲的速度更快。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
s-t图象的意义，一次函数的实际应用，速度的比较
【点评】
本题是函数与行程问题结合的基础题，核心是理解s-t图象中倾斜程度的实际含义，既可以通过速度公式结合控制变量法比较速度，也可以直接通过图象特征快速判断，要求学生掌握图象与实际物理量的对应关系。
【难度系数】
0.9
2. 甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y(元)与销售量x(件)之间的函数关系图象如图所示，则下列说法错误的是 (
A.售2件时甲、乙两家售价一样
B.买1件时买乙家的合算
C.买3件时买甲家的合算
D.买乙家的1件售价约为3元
D
)A.售2件时甲、乙两家售价一样
B.买1件时买乙家的合算
C.买3件时买甲家的合算
D.买乙家的1件售价约为3元
答案
2.D
解析
【分析】
本题是一次函数图像的实际应用问题，解题核心是明确横坐标x代表销售量、纵坐标y代表售价：①两函数图像的交点表示对应销售量下两家售价相同，可直接判断A选项；②判断买哪家合算，就是对比相同销售量下谁的售价更低（即y值更小），可分别取x=1、x=3对比甲乙的y值判断B、C选项；③要判断D选项，可先求出乙的函数解析式，代入x=1计算售价即可。
【解析】
结合图像逐一分析选项：
1. 分析选项A：甲乙两函数的交点为(2,4)，说明当销售量x=2件时，两家售价都是4元，售价一致，A说法正确，不符合题意。
2. 分析选项B：当x=1件时，观察图像可得乙的y值（售价）低于甲的y值，因此买乙家的更合算，B说法正确，不符合题意。
3. 分析选项C：当x=3件时，观察图像可得甲的y值（售价）低于乙的y值，因此买甲家的更合算，C说法正确，不符合题意。
4. 分析选项D：设乙的函数解析式为$y_乙=kx+b$，由图像可知乙过点$(0.5,0)$和$(2,4)$，代入得方程组：
$\begin{cases}0=0.5k+b \\4=2k+b \end{cases}$
两式相减得$1.5k=4$，解得$k=\frac{8}{3}$，代入得$b=-\frac{4}{3}$，因此$y_乙=\frac{8}{3}x-\frac{4}{3}$。
当x=1时，$y_乙=\frac{8}{3}×1-\frac{4}{3}=\frac{4}{3}\approx1.3$元，远低于3元，因此D说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图像应用，一次函数实际问题
【点评】
本题重点考查对一次函数图像实际意义的理解，解题时既可以直接通过图像高低直观判断售价高低，也可以通过求解函数解析式计算具体数值验证结论，是一次函数应用的基础题型。
【难度系数】
0.7
本题是一次函数图像的实际应用问题，解题核心是明确横坐标x代表销售量、纵坐标y代表售价：①两函数图像的交点表示对应销售量下两家售价相同，可直接判断A选项；②判断买哪家合算，就是对比相同销售量下谁的售价更低（即y值更小），可分别取x=1、x=3对比甲乙的y值判断B、C选项；③要判断D选项，可先求出乙的函数解析式，代入x=1计算售价即可。
【解析】
结合图像逐一分析选项：
1. 分析选项A：甲乙两函数的交点为(2,4)，说明当销售量x=2件时，两家售价都是4元，售价一致，A说法正确，不符合题意。
2. 分析选项B：当x=1件时，观察图像可得乙的y值（售价）低于甲的y值，因此买乙家的更合算，B说法正确，不符合题意。
3. 分析选项C：当x=3件时，观察图像可得甲的y值（售价）低于乙的y值，因此买甲家的更合算，C说法正确，不符合题意。
4. 分析选项D：设乙的函数解析式为$y_乙=kx+b$，由图像可知乙过点$(0.5,0)$和$(2,4)$，代入得方程组：
$\begin{cases}0=0.5k+b \\4=2k+b \end{cases}$
两式相减得$1.5k=4$，解得$k=\frac{8}{3}$，代入得$b=-\frac{4}{3}$，因此$y_乙=\frac{8}{3}x-\frac{4}{3}$。
当x=1时，$y_乙=\frac{8}{3}×1-\frac{4}{3}=\frac{4}{3}\approx1.3$元，远低于3元，因此D说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图像应用，一次函数实际问题
【点评】
本题重点考查对一次函数图像实际意义的理解，解题时既可以直接通过图像高低直观判断售价高低，也可以通过求解函数解析式计算具体数值验证结论，是一次函数应用的基础题型。
【难度系数】
0.7
3.如图，甲、乙两人以相同路线前往离学校12 km的地方参加植树活动，图中$ l_甲, l_乙 $分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程s(km)与时间t(min)的关系.根据图象判断下列说法错误的是（
A.甲比乙早出发6 min
B.甲行驶的路程s与时间t之间的关系式为$ s=0.5t $
C.甲的速度是0.5 km/min，乙的速度是1 km/min
D.乙出发12 min后两人相遇，这时他们离学校6 km
D
）A.甲比乙早出发6 min
B.甲行驶的路程s与时间t之间的关系式为$ s=0.5t $
C.甲的速度是0.5 km/min，乙的速度是1 km/min
D.乙出发12 min后两人相遇，这时他们离学校6 km
答案
3.D
解析
【分析】
本题是一次函数图象在行程问题中的应用，解题时首先明确横轴表示行驶时间t，纵轴表示行驶路程s，先从图象中提取甲、乙的出发时间、走完全程的时间等信息，再逐个分析选项：先判断出发时间差，再用待定系数法求甲的函数关系式，接着根据“速度=路程÷时间”计算两人速度，最后结合交点信息判断相遇时乙的行驶时间即可。
【解析】
由图象可得：
选项A：甲在t=0时出发，乙在t=6min时出发，因此甲比乙早出发6min，该说法正确，不符合题意。
选项B：设甲行驶的路程s与时间t的关系式为$ s=kt(k≠0) $，将点$(24,12)$代入得$12=24k$，解得$k=0.5$，即$s=0.5t$，该说法正确，不符合题意。
选项C：甲的速度为$12÷24=0.5\ \mathrm{km/min}$；乙走完全程用时$18-6=12\ \mathrm{min}$，速度为$12÷12=1\ \mathrm{km/min}$，该说法正确，不符合题意。
选项D：两直线交点为$(12,6)$，即t=12min时两人相遇，此时乙行驶的时间为$12-6=6\ \mathrm{min}$，不是12min，该说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象应用；行程问题计算；待定系数法求解析式
【点评】
本题核心考查从函数图象中提取有效信息的能力，解题关键是理清s-t图象中起点、终点、交点的实际含义，结合行程基本公式分析即可，需注意两人出发时间不同，计算行驶时间时要扣除晚出发的时长。
【难度系数】
0.7
本题是一次函数图象在行程问题中的应用，解题时首先明确横轴表示行驶时间t，纵轴表示行驶路程s，先从图象中提取甲、乙的出发时间、走完全程的时间等信息，再逐个分析选项：先判断出发时间差，再用待定系数法求甲的函数关系式，接着根据“速度=路程÷时间”计算两人速度，最后结合交点信息判断相遇时乙的行驶时间即可。
【解析】
由图象可得：
选项A：甲在t=0时出发，乙在t=6min时出发，因此甲比乙早出发6min，该说法正确，不符合题意。
选项B：设甲行驶的路程s与时间t的关系式为$ s=kt(k≠0) $，将点$(24,12)$代入得$12=24k$，解得$k=0.5$，即$s=0.5t$，该说法正确，不符合题意。
选项C：甲的速度为$12÷24=0.5\ \mathrm{km/min}$；乙走完全程用时$18-6=12\ \mathrm{min}$，速度为$12÷12=1\ \mathrm{km/min}$，该说法正确，不符合题意。
选项D：两直线交点为$(12,6)$，即t=12min时两人相遇，此时乙行驶的时间为$12-6=6\ \mathrm{min}$，不是12min，该说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象应用；行程问题计算；待定系数法求解析式
【点评】
本题核心考查从函数图象中提取有效信息的能力，解题关键是理清s-t图象中起点、终点、交点的实际含义，结合行程基本公式分析即可，需注意两人出发时间不同，计算行驶时间时要扣除晚出发的时长。
【难度系数】
0.7
4. 小明和小亮相约从学校前往博物馆，小明因有事，比小亮晚一些出发. 如图，$y_1 = k_1 t$，$y_2 = k_2 t + b$分别是小明、小亮行走的路程$y$(m)与小明追赶时间$t$(s)之间的关系图象.
(1) 观察图象可知，小亮比小明先走了
(2) 求$k_1$，$k_2$的值，并解释$k_2$的实际意义.
(1) 观察图象可知，小亮比小明先走了
100
m.(2) 求$k_1$，$k_2$的值，并解释$k_2$的实际意义.
答案
4.解:(1)100 (2)将点(20,60)代入$y_1 = k_1 t$,得$k_1=3$.根据题意，得$100=b$,① $140=20k_2+b$. ② 将①代入②,得$k_2=2$. $k_2$的实际意义是小亮的速度是2 m/s.
解析
【分析】
解决第(1)问时，先明确横坐标t表示小明出发后的时间，当t=0时小明还未出发，此时y₂对应的纵坐标值就是小亮提前走的路程。解决第(2)问时，用待定系数法求解参数：求k₁可直接将y₁图象上的已知点(20,60)代入解析式计算；求k₂可先从y₂图象上找到(0,100)、(20,140)两个点，先求b的值再代入计算k₂，一次函数的一次项系数在行程问题中对应运动对象的速度。
【解析】
(1) 当t=0（小明刚出发）时，小亮的行走路程为100m，因此小亮比小明先走了100m。
(2) 求$k_1$：将点$(20,60)$代入$y_1 = k_1 t$，得$60=20k_1$，解得$k_1=3$。
求$k_2$：由图象可知$y_2 = k_2 t + b$过点$(0,100)$，代入得$b=100$；再将点$(20,140)$和$b=100$代入$y_2 = k_2 t + b$，得$140=20k_2+100$，解得$k_2=2$。
$k_2$的实际意义：小亮的行走速度为2 m/s。
【答案】
(1) $\boxed{100}$
(2) $k_1=3$，$k_2=2$，$k_2$表示小亮的速度是2 m/s
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；一次函数的实际意义
【点评】
本题结合行程场景考查一次函数的应用，解题核心是读懂函数图象特殊点的含义，熟练掌握待定系数法求解一次函数参数，能结合实际场景理解函数系数的意义，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
解决第(1)问时，先明确横坐标t表示小明出发后的时间，当t=0时小明还未出发，此时y₂对应的纵坐标值就是小亮提前走的路程。解决第(2)问时，用待定系数法求解参数：求k₁可直接将y₁图象上的已知点(20,60)代入解析式计算；求k₂可先从y₂图象上找到(0,100)、(20,140)两个点，先求b的值再代入计算k₂，一次函数的一次项系数在行程问题中对应运动对象的速度。
【解析】
(1) 当t=0（小明刚出发）时，小亮的行走路程为100m，因此小亮比小明先走了100m。
(2) 求$k_1$：将点$(20,60)$代入$y_1 = k_1 t$，得$60=20k_1$，解得$k_1=3$。
求$k_2$：由图象可知$y_2 = k_2 t + b$过点$(0,100)$，代入得$b=100$；再将点$(20,140)$和$b=100$代入$y_2 = k_2 t + b$，得$140=20k_2+100$，解得$k_2=2$。
$k_2$的实际意义：小亮的行走速度为2 m/s。
【答案】
(1) $\boxed{100}$
(2) $k_1=3$，$k_2=2$，$k_2$表示小亮的速度是2 m/s
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；一次函数的实际意义
【点评】
本题结合行程场景考查一次函数的应用，解题核心是读懂函数图象特殊点的含义，熟练掌握待定系数法求解一次函数参数，能结合实际场景理解函数系数的意义，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
5.李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度快.在一段时间内，水温$y(°C)$与加热时间$x(s)$之间近似满足一次函数关系，根据记录的数据，画函数图象如图.
(1)加热前水温是
(2)求乙壶中水温$y$关于加热时间$x$的关系式.
(3)当甲壶中水温刚达到$80\ °C$时，乙壶中水温是
(1)加热前水温是
20 ℃
.(2)求乙壶中水温$y$关于加热时间$x$的关系式.
(3)当甲壶中水温刚达到$80\ °C$时，乙壶中水温是
65 ℃
.答案
5.解:(1)20 ℃ (2)设乙壶中水温 y 关于加热时间 x 的关系式为$y=kx+b$.根据题意,得$20=b$,① $80=160k+b$.② 将①代入②,得$k=\frac{3}{8}$. $\therefore$乙壶中水温 y 关于加热时间 x 的关系式为$y=\frac{3}{8}x+20$. (3)65 ℃
解析
【分析】
(1)加热前即加热时间$x=0$时，观察函数图象$x=0$对应的$y$值即可得到初始水温；
(2)乙壶的水温$y$是$x$的一次函数，可用待定系数法求解，先从图象中找到乙壶对应的两个点：初始点$(0,20)$和160s时水温$80°\mathrm{C}$的点$(160,80)$，代入一次函数一般式$y=kx+b$，解方程组即可得到解析式；
(3)先按照待定系数法求出甲壶的水温$y$关于$x$的函数关系式，再令甲的$y=80$求出对应的加热时间$x$，最后将该$x$值代入乙壶的函数关系式，计算得到此时乙壶的水温。
【解析】
(1)加热前加热时间为0，观察图象可知$x=0$时，$y=20°\mathrm{C}$，故加热前水温是$20°\mathrm{C}$；
(2)设乙壶中水温$y$关于加热时间$x$的关系式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
由图象可知，函数图象过点$(0,20)$和$(160,80)$，将两点代入解析式：
把$x=0,y=20$代入得：$b=20$；
把$x=160,y=80,b=20$代入得：$80=160k+20$，解得$k=\frac{3}{8}$。
因此乙壶的水温关系式为$y=\frac{3}{8}x+20$（$x≥0$）；
(3)先求甲壶的水温关系式，设甲的解析式为$y=k_1x+b_1$（$k_1≠0$）。
甲的图象过点$(0,20)$和$(80,60)$，代入得：$b_1=20$，$60=80k_1+20$，解得$k_1=\frac{1}{2}$，即甲的解析式为$y=\frac{1}{2}x+20$。
当甲壶水温达到$80°\mathrm{C}$时，令$y=80$，得$80=\frac{1}{2}x+20$，解得$x=120$。
将$x=120$代入乙的解析式得$y=\frac{3}{8}×120+20=45+20=65$，故此时乙壶水温是$65°\mathrm{C}$。
【答案】
(1)$20{°}\mathrm{C}$；(2)$y=\frac{3}{8}x+20$；(3)$65{°}\mathrm{C}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用，一次函数图象的应用
【点评】
本题结合生活中热水壶加热的实际场景，考查一次函数的相关知识，解题的关键是能从函数图象中准确提取坐标点信息，熟练运用待定系数法求解一次函数解析式，再结合函数关系求解对应问题。
【难度系数】
0.7
(1)加热前即加热时间$x=0$时，观察函数图象$x=0$对应的$y$值即可得到初始水温；
(2)乙壶的水温$y$是$x$的一次函数，可用待定系数法求解，先从图象中找到乙壶对应的两个点：初始点$(0,20)$和160s时水温$80°\mathrm{C}$的点$(160,80)$，代入一次函数一般式$y=kx+b$，解方程组即可得到解析式；
(3)先按照待定系数法求出甲壶的水温$y$关于$x$的函数关系式，再令甲的$y=80$求出对应的加热时间$x$，最后将该$x$值代入乙壶的函数关系式，计算得到此时乙壶的水温。
【解析】
(1)加热前加热时间为0，观察图象可知$x=0$时，$y=20°\mathrm{C}$，故加热前水温是$20°\mathrm{C}$；
(2)设乙壶中水温$y$关于加热时间$x$的关系式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
由图象可知，函数图象过点$(0,20)$和$(160,80)$，将两点代入解析式：
把$x=0,y=20$代入得：$b=20$；
把$x=160,y=80,b=20$代入得：$80=160k+20$，解得$k=\frac{3}{8}$。
因此乙壶的水温关系式为$y=\frac{3}{8}x+20$（$x≥0$）；
(3)先求甲壶的水温关系式，设甲的解析式为$y=k_1x+b_1$（$k_1≠0$）。
甲的图象过点$(0,20)$和$(80,60)$，代入得：$b_1=20$，$60=80k_1+20$，解得$k_1=\frac{1}{2}$，即甲的解析式为$y=\frac{1}{2}x+20$。
当甲壶水温达到$80°\mathrm{C}$时，令$y=80$，得$80=\frac{1}{2}x+20$，解得$x=120$。
将$x=120$代入乙的解析式得$y=\frac{3}{8}×120+20=45+20=65$，故此时乙壶水温是$65°\mathrm{C}$。
【答案】
(1)$20{°}\mathrm{C}$；(2)$y=\frac{3}{8}x+20$；(3)$65{°}\mathrm{C}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用，一次函数图象的应用
【点评】
本题结合生活中热水壶加热的实际场景，考查一次函数的相关知识，解题的关键是能从函数图象中准确提取坐标点信息，熟练运用待定系数法求解一次函数解析式，再结合函数关系求解对应问题。
【难度系数】
0.7
