1. 在同一平面内,下列条件中,不能判定直线$MN$是线段$AB$的垂直平分线的是().

A.$MA=MB$, $NA=NB$
B.$MA=MB$, $MN ⊥ AB$
C.$MA=NA$, $MB=NB$
D.$MA=MB$, 点$M$不在$AB$上, $MN$平分$AB$

1. C

【分析】
要判断哪项不能判定直线MN是线段AB的垂直平分线，首先明确线段垂直平分线的核心判定依据：①到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，两点确定一条直线，若直线上有两个不同的点均在某线段的垂直平分线上，则该直线就是这条线段的垂直平分线；②若一条直线同时满足垂直于线段、且过线段的中点（平分线段），则该直线是线段的垂直平分线。接下来逐一分析每个选项是否符合上述判定依据即可。
【解析】
结合线段垂直平分线的判定规则逐个分析选项：
选项A：$MA=MB$，说明点M在AB的垂直平分线上；$NA=NB$，说明点N在AB的垂直平分线上。两点确定一条直线，因此直线MN就是AB的垂直平分线，该选项可以判定，不符合题意。
选项B：$MA=MB$说明点M在AB的垂直平分线上，又$MN ⊥ AB$，而过点M有且只有一条直线与AB垂直，因此MN就是AB的垂直平分线，该选项可以判定，不符合题意。
选项C：$MA=NA$，说明点A在MN的垂直平分线上；$MB=NB$，说明点B在MN的垂直平分线上，只能推出AB垂直平分MN，无法证明MN垂直且平分AB，因此不能判定MN是AB的垂直平分线，符合题意。
选项D：$MA=MB$说明点M在AB的垂直平分线上，又MN平分AB，即MN过AB的中点，而过点M和AB中点的直线唯一，就是AB的垂直平分线，因此该选项可以判定，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的判定；两点确定一条直线
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题的关键是紧扣线段垂直平分线的判定定理，注意不要混淆“直线是线段的垂直平分线”和“线段是直线的垂直平分线”的对应条件，避免逻辑颠倒。
【难度系数】
0.7

2. 如图，在$△ ABC$中，分别以点$A$，$B$为圆心、大于$\frac{1}{2}AB$长为半径画弧，两弧相交于点$M$，$N$.作直线$MN$，交$BC$于点$D$，连接$AD$.若$△ ADC$的周长为$10$，$AB=7$，则$△ ABC$的周长为().

A.7
B.14
C.17
D.20

2. C

【分析】首先根据题中描述的作图方法，可判断直线MN是线段AB的垂直平分线，依据线段垂直平分线的性质可得AD=BD。再对△ADC的周长做等量代换，求出AC+BC的长度，最后结合AB的长度即可计算出△ABC的周长。
【解析】由作图步骤可知，直线MN是线段AB的垂直平分线。
∵点D在垂直平分线MN上，
∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）。
∵△ADC的周长为10，即$ AC + CD + AD = 10 $，
将AD替换为BD，可得$ AC + CD + BD = AC + BC = 10 $。
又
∵$ AB = 7 $，
∴△ABC的周长为$ AC + BC + AB = 10 + 7 = 17 $。
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】本题考查尺规作图的识别与线段垂直平分线性质的应用，解题核心是通过垂直平分线的性质完成线段等量代换，将未知周长转化为已知条件求解，是基础类常考题。
【难度系数】0.7

3. 如图，$PA=PB$，$QA=QB$，$PQ$与$AB$相交于点$N$.有下列结论：
① $△ APQ ≌ △ BPQ$；② $△ APN ≌ △ BPN$；③ $PQ ⊥ AB$；
④ $PN=QN$.其中正确的是().

A.①②
B.①②③
C.②③④
D.①②③④

3. B

【分析】
解题时可从已知的边相等条件出发，结合全等三角形的判定定理逐步推导各结论是否成立：
1. 首先观察△APQ和△BPQ，两组边分别相等，加上公共边PQ，可先通过SSS判定两三角形全等，判断①是否正确；
2. 由①的全等结论可得对应角相等，再结合PA=PB、公共边PN，可通过SAS判定△APN和△BPN全等，判断②是否正确；
3. 由②的全等结论可得对应角相等，结合平角的定义可推出∠ANP=90°，判断③是否正确；
4. 题干未给出能证明PN=QN的相关条件，无法推导该结论，判断④是否正确，最终选出正确选项。
【解析】
1. 证明①：在$△ APQ$和$△ BPQ$中，
$\begin{cases}PA=PB \\QA=QB \\PQ=PQ（公共边）\end{cases}$
∴$△ APQ ≌ △ BPQ$（SSS），故①正确；
2. 证明②：由$△ APQ ≌ △ BPQ$可得$∠ APN=∠ BPN$，
在$△ APN$和$△ BPN$中，
$\begin{cases}PA=PB \\∠ APN=∠ BPN \\PN=PN（公共边）\end{cases}$
∴$△ APN ≌ △ BPN$（SAS），故②正确；
3. 证明③：由$△ APN ≌ △ BPN$可得$∠ ANP=∠ BNP$，
∵$∠ ANP+∠ BNP=180°$，
∴$∠ ANP=∠ BNP=90°$，即$PQ ⊥ AB$，故③正确；
4. 分析④：题干仅给出$PA=PB$、$QA=QB$，无相关条件可证明$N$是$PQ$的中点，无法推出$PN=QN$，故④错误。
综上，正确的结论是①②③。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定与性质，垂直的判定
【点评】
本题是几何基础题，解题的关键是结合已知条件，合理选用全等三角形的判定定理推导结论，要注意不要主观添加题目未给出的等量关系，本题易误判④正确，需注意PQ是AB的垂直平分线，但AB不一定是PQ的垂直平分线。
【难度系数】
0.7

4. 已知C，D是线段AB外不同的两点，AC=BC，AD=BD，点P在直线CD上，若AP=5，则BP的长为。

4. 5

【分析】
首先观察已知条件：AC=BC、AD=BD，根据线段垂直平分线的判定定理，可推出点C、D均在线段AB的垂直平分线上，结合“两点确定一条直线”即可得到直线CD是线段AB的垂直平分线；再根据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等，已知点P在CD上且AP=5，就能直接求出BP的长度。
【解析】
解：
∵AC=BC，
∴点C在线段AB的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上），
同理，
∵AD=BD，
∴点D在线段AB的垂直平分线上，
∵两点确定一条直线，
∴直线CD是线段AB的垂直平分线，
又
∵点P在直线CD上，
∴BP=AP（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∵AP=5，
∴BP=5。
【答案】
5
【知识点】
线段垂直平分线的判定；线段垂直平分线的性质；两点确定一条直线
【点评】
本题考查线段垂直平分线的判定与性质的综合应用，解题的核心是先根据已知条件确定直线CD是AB的垂直平分线，再利用性质得到AP与BP的等量关系，属于基础常考题，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8

5. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC=3\ \mathrm{cm}$，边AB的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M。若$△ BCN$的周长是5 cm，则BC的长等于cm。

5. 2

【分析】
解题时首先关注题干中的线段垂直平分线条件，根据线段垂直平分线的性质可得到BN=AN；再分析△BCN的周长组成，将BN等量替换为AN后，可把△BCN的周长转化为AC与BC的长度和，最后结合已知的AC长度和△BCN的周长，即可求出BC的长。
【解析】
∵ MN是AB的垂直平分线，点N在MN上，
∴ 由线段垂直平分线的性质可得：$BN=AN$。
已知$△ BCN$的周长是5 cm，即：
$C_{△ BCN}=BC + CN + BN=5\ \mathrm{cm}$，
将$BN=AN$代入上式得：
$BC + CN + AN=5\ \mathrm{cm}$，
又$\because CN + AN=AC=3\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BC + 3=5$，
解得$BC=2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
2
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形周长计算，等量代换
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的基础应用题，解题核心是利用性质对未知线段做等量转化，将分散的线段整合为已知长度的线段，简化计算，这类题型是该知识点的常考基础题型。
【难度系数】
0.8

6. 如图,在四边形ABCD中,AD // BC, E为边DC的中点,连接AE并延长,交BC的延长线于点F.
(1) AD与FC的数量关系是;
(2) 若AD=1 cm, AB=5 cm, 则当BC的长为cm时,点B在线段AF的垂直平分线上.

6. (1) $AD=FC$ （2）4

【分析】
解第(1)问时，先利用AD//BC得到两组内错角相等，结合E是DC中点得到边相等的条件，证明△ADE和△FCE全等，即可推出AD和FC的数量关系；解第(2)问时，根据线段垂直平分线的性质可得AB=BF，再结合BF=BC+CF，且CF等于AD，代入数值计算即可求出BC的长度。
【解析】
(1)
∵AD//BC，
∴∠D=∠ECF，∠DAE=∠F，
∵E为DC的中点，
∴DE=CE，
在$△ ADE$和$△ FCE$中：
$\begin{cases}∠D=∠ECF \\∠DAE=∠F \\DE=CE\end{cases}$
∴$△ ADE≌△ FCE$（AAS），
∴$AD=FC$。
(2) 若点B在线段AF的垂直平分线上，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得$AB=BF$，
已知$AD=1\mathrm{cm}$，故$FC=AD=1\mathrm{cm}$，
又$BF=BC+CF$，$AB=5\mathrm{cm}$，
∴$BC+1=5$，
解得$BC=4\mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $AD=FC$；(2) 4
【知识点】
全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是先通过全等三角形得到AD与CF的等量关系，再结合线段垂直平分线的性质建立等式计算，考查了学生对基础几何定理的应用能力。
【难度系数】
0.75