三、解答题
7. 如图，直线MN和直线DE分别是线段AB，BC的垂直平分线，且交于点P. 则PA和PC相等吗？试说明理由.

7. 相等.理由：连接PB.
∵ 直线MN是线段AB的垂直平分线，
∴ PA=PB. 又
∵ 直线DE是线段BC的垂直平分线,
∴ PB=PC.
∴ PA=PC

【分析】
要判断PA和PC是否相等，可结合线段垂直平分线的性质推导。观察可知点P同时在AB的垂直平分线MN和BC的垂直平分线DE上，我们可以引入中间线段PB作为等量桥梁：先根据MN是AB的垂直平分线，得到点P到A、B的距离相等，即PA=PB；再根据DE是BC的垂直平分线，得到点P到B、C的距离相等，即PB=PC；最后通过等量代换即可得到PA和PC的数量关系。
【解析】
解：PA和PC相等，理由如下：
连接PB。
∵ 直线MN是线段AB的垂直平分线，点P在MN上，
∴ PA=PB。
又
∵ 直线DE是线段BC的垂直平分线，点P在DE上，
∴ PB=PC。
∴ PA=PC。
【答案】
相等.理由：连接PB.
∵ 直线MN是线段AB的垂直平分线，
∴ PA=PB. 又
∵ 直线DE是线段BC的垂直平分线,
∴ PB=PC.
∴ PA=PC
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等量代换
【点评】
本题属于基础几何题，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质，通过添加辅助线PB搭建相等关系的桥梁，借助等量代换即可得出结论，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8

8. 如图，A，B，C为某公园的三个景点，景点A和景点B之间有一条笔直的小路，现要在小路上建一个凉亭P，使景点B，C到凉亭P的距离之和等于景点B到景点A的距离。请用直尺和圆规在所给的图形中作出点P.(不写作法，保留作图痕迹)

图略.提示：连接AC,作线段AC的垂直平分线交AB于点P,点P即为所求

【分析】
解题时先从题目给出的等量关系入手分析：已知点P在AB上，因此AB可拆分为AP+PB，题目要求PB+PC=AB，将两式联立可得PC=AP，即点P到点A、点C的距离相等。根据线段垂直平分线的判定定理，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此点P在AC的垂直平分线上，又因为P要在AB上，所以AC的垂直平分线与AB的交点即为所求的点P。
【解析】
1. 推导等量关系：
∵ 点P在AB上，
∴ $ AB = AP + PB $
根据题意要求 $ PB + PC = AB $，代入上式可得：
$ AP + PB = PB + PC $，化简得 $ AP = PC $
2. 结合定理确定点P的位置：根据线段垂直平分线的判定，到线段AC两端点A、C距离相等的点在线段AC的垂直平分线上，因此点P是AC的垂直平分线与AB的交点。
3. 作图操作：先用直尺连接AC，再用圆规作线段AC的垂直平分线，该垂直平分线与AB的交点即为所求点P，保留作图痕迹即可。
【答案】
连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AB于点P，点P即为所求（作图痕迹略）。
【知识点】
1. 线段垂直平分线的判定
2. 垂直平分线的尺规作图
【点评】
本题属于基础作图应用题，核心是通过等量转化将距离和的条件转化为点到两点距离相等的条件，再结合线段垂直平分线的判定即可求解，侧重考察学生的条件转化能力和对垂直平分线相关知识的应用能力。
【难度系数】
0.7

9. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=45°$,$∠ BAC=90°$,$AB=AC$,D是边AB的中点,$AE⊥ CD$于点H,交BC于点F,$BE// AC$交AF的延长线于点E,连接DE交BC于点P.
求证:
(1) $AD=BE$;
(2) BC垂直平分DE.

(1) $\because ∠BAC=∠DAH+∠CAH=90°, ∠ACH+∠CAH=90°, \therefore ∠DAH=∠ACH. \because BE // AC, \therefore ∠ABE=90°=∠CAD. 又 \because AB=AC, \therefore △ABE ≌ △CAD. \therefore AD=BE$
（2）由(1)可知$AD=BE. \because AD=BD,\therefore BD=BE. \because ∠BAC=90°, ∠ACB=45°, \therefore ∠ABC=45°. \therefore ∠EBF=45°.$易证$△DBP ≌ △EBP. \therefore DP=EP, ∠BPE=∠BPD=90°. \therefore BC$ 垂直平分DE

【分析】
(1) 要证明$AD=BE$，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。首先由$AE⊥CD$、$∠BAC=90°$，利用同角的余角相等推出$∠DAH=∠ACD$；再结合$BE// AC$可得$∠ABE=∠CAD=90°$，结合已知$AB=AC$，即可证明$△ ABE≌△ CAD$，从而得到$AD=BE$。
(2) 要证明$BC$垂直平分$DE$，可先证$△ BDE$为等腰三角形，再证明$BC$是该等腰三角形顶角的角平分线，结合全等三角形性质推导垂直和平分的关系。首先由$D$是$AB$中点得$AD=BD$，结合(1)的结论推出$BD=BE$；再由已知角度和平行线性质推导得$∠EBC=∠ABC=45°$，结合公共边$BP$证明$△ DBP≌△ EBP$，即可得到$BC$垂直且平分$DE$的结论。
【解析】
(1) 证明：
$\because ∠BAC=∠DAH+∠CAH=90°$，$AE⊥CD$即$∠AHC=90°$，
$\therefore ∠ACH+∠CAH=90°$，
$\therefore ∠DAH=∠ACH$（同角的余角相等）。
$\because BE// AC$，$∠BAC=90°$，
$\therefore ∠ABE+∠BAC=180°$，即$∠ABE=90°=∠CAD$。
在$△ ABE$和$△ CAD$中：
$\begin{cases}∠BAE=∠ACD \\AB=CA \\∠ABE=∠CAD\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ CAD(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AD=BE$。
(2) 证明：
由(1)可知$AD=BE$，
$\because D$是$AB$的中点，
$\therefore AD=BD$，
$\therefore BD=BE$。
$\because ∠BAC=90°$，$∠ACB=45°$，
$\therefore ∠ABC=180°-90°-45°=45°$。
$\because BE// AC$，
$\therefore ∠EBC=∠ACB=45°$，
$\therefore ∠ABC=∠EBC=45°$。
在$△ DBP$和$△ EBP$中：
$\begin{cases}BD=BE \\∠DBP=∠EBP \\BP=BP\end{cases}$
$\therefore △ DBP≌△ EBP(\mathrm{SAS})$，
$\therefore DP=EP$，$∠BPD=∠BPE$。
又$\because ∠BPD+∠BPE=180°$，
$\therefore ∠BPD=∠BPE=90°$，即$BC⊥DE$，
$\therefore BC$垂直平分$DE$。
【答案】
(1) $AD=BE$成立；
(2) $BC$垂直平分$DE$成立。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 平行线的性质
3. 线段垂直平分线的判定
【点评】
本题是常规几何证明题，解题关键是通过角度关系挖掘全等三角形的判定条件，结合等腰三角形的性质推导线段位置与数量关系，侧重考查基础几何推理能力，需要熟练掌握全等判定定理和垂直平分线的判定方法。
【难度系数】
0.7