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6. 如图，在$△ ABC$中，$AC=8$，$BC=5$，$AB$的垂直平分线$DE$交$AB$于点$D$，交$AC$于点$E$，则$△ BCE$的周长为。
答案
$\boldsymbol{13}$
解析
【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。观察图形可知点E在AB的垂直平分线DE上，因此可得AE=BE。接下来求△BCE的周长，其周长为BE+EC+BC，将BE替换为AE后，可将周长转化为AE+EC+BC，而AE+EC正好是AC的长度，代入已知的AC、BC长度即可算出结果。
【解析】
解：
∵DE是AB的垂直平分线，点E在DE上
∴根据线段垂直平分线的性质，可得$AE = BE$
$△ BCE$的周长$= BE + EC + BC$
将$BE$替换为$AE$，得：
$△ BCE$的周长$= AE + EC + BC$
又
∵$AE + EC = AC$，且已知$AC=8$，$BC=5$
∴$△ BCE$的周长$= AC + BC = 8 + 5 = 13$
【答案】
$13$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是基础类题目，解题的核心是利用线段垂直平分线的性质实现线段的等量转化，将未知的周长边转化为已知长度的线段，从而简化计算，熟练掌握线段垂直平分线的性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。观察图形可知点E在AB的垂直平分线DE上，因此可得AE=BE。接下来求△BCE的周长，其周长为BE+EC+BC，将BE替换为AE后，可将周长转化为AE+EC+BC，而AE+EC正好是AC的长度，代入已知的AC、BC长度即可算出结果。
【解析】
解：
∵DE是AB的垂直平分线，点E在DE上
∴根据线段垂直平分线的性质，可得$AE = BE$
$△ BCE$的周长$= BE + EC + BC$
将$BE$替换为$AE$，得：
$△ BCE$的周长$= AE + EC + BC$
又
∵$AE + EC = AC$，且已知$AC=8$，$BC=5$
∴$△ BCE$的周长$= AC + BC = 8 + 5 = 13$
【答案】
$13$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是基础类题目，解题的核心是利用线段垂直平分线的性质实现线段的等量转化，将未知的周长边转化为已知长度的线段，从而简化计算，熟练掌握线段垂直平分线的性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.85
三、解答题
7. 如图，一张纸上有线段AB.
（1）请用尺规作图，作出线段AB的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若不用尺规作图，你还有其他办法吗？请说明作法.
7. 如图，一张纸上有线段AB.
（1）请用尺规作图，作出线段AB的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若不用尺规作图，你还有其他办法吗？请说明作法.
答案
解：
（1）分别以点A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧在线段AB的两侧各交于一点，过这两个交点作直线，该直线即为线段AB的垂直平分线，保留所有画弧的痕迹即可。
（2）有其他办法，作法示例：
方法一：将纸张沿适当位置对折，使点A与点B完全重合，展开纸片后，折痕所在的直线就是线段AB的垂直平分线。
方法二：使用刻度尺量出线段AB的长度，确定线段AB的中点，再将三角板的一条直角边与线段AB重合，使三角板的直角顶点落在AB的中点处，沿三角板的另一条直角边画出直线，该直线即为线段AB的垂直平分线。
（1）分别以点A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧在线段AB的两侧各交于一点，过这两个交点作直线，该直线即为线段AB的垂直平分线，保留所有画弧的痕迹即可。
（2）有其他办法，作法示例：
方法一：将纸张沿适当位置对折，使点A与点B完全重合，展开纸片后，折痕所在的直线就是线段AB的垂直平分线。
方法二：使用刻度尺量出线段AB的长度，确定线段AB的中点，再将三角板的一条直角边与线段AB重合，使三角板的直角顶点落在AB的中点处，沿三角板的另一条直角边画出直线，该直线即为线段AB的垂直平分线。
解析
【分析】
本题考查线段垂直平分线的作法，分为两个小问，思考路径如下：
（1）尺规作图的核心依据是“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，我们只需找到两个到A、B距离相等的点，两点确定一条直线，就能得到垂直平分线；作图时要注意画弧的半径必须大于$\frac{1}{2}AB$，否则两弧无法相交，得不到交点。
（2）不用尺规时可从两个方向思考：一是利用轴对称性质，线段是轴对称图形，它的对称轴就是垂直平分线，通过对折重合即可得到；二是结合垂直平分线的定义，先找到AB的中点，再过中点作AB的垂线即可。
【解析】
（1）尺规作图操作：分别以点A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧在线段AB的两侧各交于一点，过这两个交点作直线，该直线即为线段AB的垂直平分线，保留所有画弧痕迹即可。
（2）有其他办法，示例作法如下：
方法一：折纸法：将纸张沿适当位置对折，使点A与点B完全重合，展开纸片后，折痕所在的直线就是线段AB的垂直平分线。
方法二：测量作图法：使用刻度尺量出线段AB的长度，确定线段AB的中点，再将三角板的一条直角边与线段AB重合，使三角板的直角顶点落在AB的中点处，沿三角板的另一条直角边画出直线，该直线即为线段AB的垂直平分线。
【答案】
（1）按上述尺规作图方法作出图形，保留作图痕迹即可；
（2）方法不唯一，可选择对折法、测量作中垂线法等，作法参照上述解析即可。
【知识点】
垂直平分线尺规作图、垂直平分线判定、轴对称性质
【点评】
本题既考查了基础的尺规作图操作技能，也引导学生结合实际操作、工具使用拓展解题思路，注重对作图原理的理解，属于基础操作类题目。
【难度系数】
0.9
本题考查线段垂直平分线的作法，分为两个小问，思考路径如下：
（1）尺规作图的核心依据是“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，我们只需找到两个到A、B距离相等的点，两点确定一条直线，就能得到垂直平分线；作图时要注意画弧的半径必须大于$\frac{1}{2}AB$，否则两弧无法相交，得不到交点。
（2）不用尺规时可从两个方向思考：一是利用轴对称性质，线段是轴对称图形，它的对称轴就是垂直平分线，通过对折重合即可得到；二是结合垂直平分线的定义，先找到AB的中点，再过中点作AB的垂线即可。
【解析】
（1）尺规作图操作：分别以点A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧在线段AB的两侧各交于一点，过这两个交点作直线，该直线即为线段AB的垂直平分线，保留所有画弧痕迹即可。
（2）有其他办法，示例作法如下：
方法一：折纸法：将纸张沿适当位置对折，使点A与点B完全重合，展开纸片后，折痕所在的直线就是线段AB的垂直平分线。
方法二：测量作图法：使用刻度尺量出线段AB的长度，确定线段AB的中点，再将三角板的一条直角边与线段AB重合，使三角板的直角顶点落在AB的中点处，沿三角板的另一条直角边画出直线，该直线即为线段AB的垂直平分线。
【答案】
（1）按上述尺规作图方法作出图形，保留作图痕迹即可；
（2）方法不唯一，可选择对折法、测量作中垂线法等，作法参照上述解析即可。
【知识点】
垂直平分线尺规作图、垂直平分线判定、轴对称性质
【点评】
本题既考查了基础的尺规作图操作技能，也引导学生结合实际操作、工具使用拓展解题思路，注重对作图原理的理解，属于基础操作类题目。
【难度系数】
0.9
8. 如图，一辆汽车在笔直的公路AB上行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄.当汽车行驶到位置C时，与村庄M，N的距离相等，请你确定C的位置.（保留作图痕迹，不写作法）
答案
解：
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，连接M、N两点，作线段MN的垂直平分线，该垂直平分线与直线AB的交点即为所求的点C，按尺规作图要求保留画弧的对应痕迹，点C即为满足到村庄M、N距离相等的汽车位置。
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，连接M、N两点，作线段MN的垂直平分线，该垂直平分线与直线AB的交点即为所求的点C，按尺规作图要求保留画弧的对应痕迹，点C即为满足到村庄M、N距离相等的汽车位置。
解析
【分析】
要找到公路AB上到村庄M、N距离相等的点C，首先明确点C需要满足的条件：CM=CN。结合所学的线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，可知点C一定在线段MN的垂直平分线上；同时点C又在直线AB上，因此两条直线的交点就是所求的点C，只需作出MN的垂直平分线，找到其与AB的交点即可。
【解析】
根据线段垂直平分线的判定性质，推导作图逻辑：
到线段MN两端点M、N距离相等的点都在MN的垂直平分线上，因此我们只需作出线段MN的垂直平分线，该垂直平分线与直线AB的公共交点就同时满足“在AB上”和“到M、N距离相等”两个要求，就是所求的点C，作图时保留尺规作垂直平分线的弧线痕迹即可。
【答案】
连接M、N，作线段MN的垂直平分线，该垂直平分线与直线AB的交点即为点C，保留尺规作图的弧线痕迹即可。
【知识点】
线段垂直平分线的判定；尺规作图
【点评】
本题是结合生活场景的几何作图题，核心考查线段垂直平分线判定的实际应用，需要学生将文字描述的条件转化为对应的几何作图方法，掌握线段垂直平分线的性质与作图方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要找到公路AB上到村庄M、N距离相等的点C，首先明确点C需要满足的条件：CM=CN。结合所学的线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，可知点C一定在线段MN的垂直平分线上；同时点C又在直线AB上，因此两条直线的交点就是所求的点C，只需作出MN的垂直平分线，找到其与AB的交点即可。
【解析】
根据线段垂直平分线的判定性质，推导作图逻辑：
到线段MN两端点M、N距离相等的点都在MN的垂直平分线上，因此我们只需作出线段MN的垂直平分线，该垂直平分线与直线AB的公共交点就同时满足“在AB上”和“到M、N距离相等”两个要求，就是所求的点C，作图时保留尺规作垂直平分线的弧线痕迹即可。
【答案】
连接M、N，作线段MN的垂直平分线，该垂直平分线与直线AB的交点即为点C，保留尺规作图的弧线痕迹即可。
【知识点】
线段垂直平分线的判定；尺规作图
【点评】
本题是结合生活场景的几何作图题，核心考查线段垂直平分线判定的实际应用，需要学生将文字描述的条件转化为对应的几何作图方法，掌握线段垂直平分线的性质与作图方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
9. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,线段AB的垂直平分线DE交BC于点D,垂足为点E,且$∠ CAD:∠ CAB=1:3$.求$∠ B$的度数.
答案
解：
∵ DE是线段AB的垂直平分线，
∴ AD = BD，
∴ ∠B = ∠DAB。
设∠CAD = x，由∠CAD:∠CAB = 1:3，得∠CAB = 3x，
∴ ∠DAB = ∠CAB - ∠CAD = 3x - x = 2x，
∴ ∠B = 2x。
在Rt△ABC中，∠C = 90°，
∴ ∠B + ∠CAB = 90°，
即 2x + 3x = 90°，
解得x = 18°，
∴ ∠B = 2x = 36°。
∵ DE是线段AB的垂直平分线，
∴ AD = BD，
∴ ∠B = ∠DAB。
设∠CAD = x，由∠CAD:∠CAB = 1:3，得∠CAB = 3x，
∴ ∠DAB = ∠CAB - ∠CAD = 3x - x = 2x，
∴ ∠B = 2x。
在Rt△ABC中，∠C = 90°，
∴ ∠B + ∠CAB = 90°，
即 2x + 3x = 90°，
解得x = 18°，
∴ ∠B = 2x = 36°。
解析
【分析】
解题时首先利用线段垂直平分线的性质得到AD=BD，进而推出∠B=∠DAB；再根据已知的角度比例关系设未知数表示出各相关角的度数；最后利用直角三角形两锐角互余的性质列方程求解，即可得到∠B的度数。
【解析】
∵ DE是线段AB的垂直平分线，
∴ AD = BD，
∴ ∠B = ∠DAB。
设∠CAD = x，由∠CAD:∠CAB = 1:3，得∠CAB = 3x，
∴ ∠DAB = ∠CAB - ∠CAD = 3x - x = 2x，
∴ ∠B = 2x。
在Rt△ABC中，∠C = 90°，
∴ ∠B + ∠CAB = 90°，
即 2x + 3x = 90°，
解得x = 18°，
∴ ∠B = 2x = 36°。
【答案】
$36°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；直角三角形两锐角互余；等边对等角
【点评】
本题是角度计算的典型几何题，将线段垂直平分线性质、等腰三角形性质和直角三角形内角性质相结合，解题时运用方程思想可简化求解过程，需熟练掌握相关性质并灵活运用方程思想解决几何计算问题。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用线段垂直平分线的性质得到AD=BD，进而推出∠B=∠DAB；再根据已知的角度比例关系设未知数表示出各相关角的度数；最后利用直角三角形两锐角互余的性质列方程求解，即可得到∠B的度数。
【解析】
∵ DE是线段AB的垂直平分线，
∴ AD = BD，
∴ ∠B = ∠DAB。
设∠CAD = x，由∠CAD:∠CAB = 1:3，得∠CAB = 3x，
∴ ∠DAB = ∠CAB - ∠CAD = 3x - x = 2x，
∴ ∠B = 2x。
在Rt△ABC中，∠C = 90°，
∴ ∠B + ∠CAB = 90°，
即 2x + 3x = 90°，
解得x = 18°，
∴ ∠B = 2x = 36°。
【答案】
$36°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；直角三角形两锐角互余；等边对等角
【点评】
本题是角度计算的典型几何题，将线段垂直平分线性质、等腰三角形性质和直角三角形内角性质相结合，解题时运用方程思想可简化求解过程，需熟练掌握相关性质并灵活运用方程思想解决几何计算问题。
【难度系数】
0.7
