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10. 推理能力 绝对值小于4的所有整数有 .
【变式1·最值分析】当$x=$时，$1+|x-2|$有最小值，是；当$y=$时，$-|y-3|$有最大值，是.
【变式2·转化思想】若$|m-1|+|n-3|=0$，则$m=$，$n=$.
【变式3·数形结合思想】如图，数轴的单位长度为1，如果点$R$，$T$表示的数互为相反数，那么图中的4个点中，点表示的数的绝对值最大.
【变式4·分类讨论思想】若$|a|=1$，$|b|=2$，则在数轴上表示$a$，$b$的点之间的距离是.
【变式1·最值分析】当$x=$时，$1+|x-2|$有最小值，是；当$y=$时，$-|y-3|$有最大值，是.
【变式2·转化思想】若$|m-1|+|n-3|=0$，则$m=$，$n=$.
【变式3·数形结合思想】如图，数轴的单位长度为1，如果点$R$，$T$表示的数互为相反数，那么图中的4个点中，点表示的数的绝对值最大.
【变式4·分类讨论思想】若$|a|=1$，$|b|=2$，则在数轴上表示$a$，$b$的点之间的距离是.
答案
$\pm3,\pm2,\pm1,0$；2;1;3;0；1;3；P；3或1
解析
【分析】
1. 求绝对值小于4的整数：结合绝对值的几何意义（数轴上点到原点的距离），找到距离原点小于4个单位长度的整数点即可；
2. 变式1：利用绝对值的非负性（任意数的绝对值≥0），求带绝对值的式子的最值时，让绝对值部分取最小值0，即可算出整个式子的最值及对应的未知数取值；
3. 变式2：两个非负数的和为0，说明每个非负数都为0，据此列方程求解m、n即可；
4. 变式3：互为相反数的两个数在数轴上关于原点对称，先确定原点的位置，再比较四个点到原点的距离，距离越远绝对值越大；
5. 变式4：先根据绝对值的定义求出a、b的所有可能取值，再分情况计算两点间的距离，注意不要漏解。
【解析】
▷ 原题：绝对值小于4即|x|＜4，整数x满足-4＜x＜4，对应的整数为±3、±2、±1、0；
▷ 变式1：
∵|x-2|≥0，
∴1+|x-2|≥1，当|x-2|=0即x=2时，式子取最小值1；
∵|y-3|≥0，
∴-|y-3|≤0，当|y-3|=0即y=3时，式子取最大值0；
▷ 变式2：
∵|m-1|≥0，|n-3|≥0，且二者和为0，
∴|m-1|=0，|n-3|=0，解得m=1，n=3；
▷ 变式3：
∵R、T表示的数互为相反数，
∴R、T的中点是原点，观察数轴可知点P到原点的距离最远，故点P表示的数的绝对值最大；
▷ 变式4：由|a|=1得a=±1，由|b|=2得b=±2：
①a=1，b=2时，距离为|2-1|=1；②a=1，b=-2时，距离为|-2-1|=3；
③a=-1，b=2时，距离为|2-(-1)|=3；④a=-1，b=-2时，距离为|-2-(-1)|=1；
综上，两点距离为1或3。
【答案】
$\pm3,\pm2,\pm1,0$；2;1;3;0；1;3；P；3或1
【知识点】
绝对值的性质；非负数的性质；数轴的应用
【点评】
这组题目围绕绝对值的核心考点，结合多种数学思想，全面考查了绝对值的概念、性质及实际应用，有助于夯实基础，提升数学思维能力。
【难度系数】
0.8
1. 求绝对值小于4的整数：结合绝对值的几何意义（数轴上点到原点的距离），找到距离原点小于4个单位长度的整数点即可；
2. 变式1：利用绝对值的非负性（任意数的绝对值≥0），求带绝对值的式子的最值时，让绝对值部分取最小值0，即可算出整个式子的最值及对应的未知数取值；
3. 变式2：两个非负数的和为0，说明每个非负数都为0，据此列方程求解m、n即可；
4. 变式3：互为相反数的两个数在数轴上关于原点对称，先确定原点的位置，再比较四个点到原点的距离，距离越远绝对值越大；
5. 变式4：先根据绝对值的定义求出a、b的所有可能取值，再分情况计算两点间的距离，注意不要漏解。
【解析】
▷ 原题：绝对值小于4即|x|＜4，整数x满足-4＜x＜4，对应的整数为±3、±2、±1、0；
▷ 变式1：
∵|x-2|≥0，
∴1+|x-2|≥1，当|x-2|=0即x=2时，式子取最小值1；
∵|y-3|≥0，
∴-|y-3|≤0，当|y-3|=0即y=3时，式子取最大值0；
▷ 变式2：
∵|m-1|≥0，|n-3|≥0，且二者和为0，
∴|m-1|=0，|n-3|=0，解得m=1，n=3；
▷ 变式3：
∵R、T表示的数互为相反数，
∴R、T的中点是原点，观察数轴可知点P到原点的距离最远，故点P表示的数的绝对值最大；
▷ 变式4：由|a|=1得a=±1，由|b|=2得b=±2：
①a=1，b=2时，距离为|2-1|=1；②a=1，b=-2时，距离为|-2-1|=3；
③a=-1，b=2时，距离为|2-(-1)|=3；④a=-1，b=-2时，距离为|-2-(-1)|=1；
综上，两点距离为1或3。
【答案】
$\pm3,\pm2,\pm1,0$；2;1;3;0；1;3；P；3或1
【知识点】
绝对值的性质；非负数的性质；数轴的应用
【点评】
这组题目围绕绝对值的核心考点，结合多种数学思想，全面考查了绝对值的概念、性质及实际应用，有助于夯实基础，提升数学思维能力。
【难度系数】
0.8
11. 新情境 世乒赛中用球的质量有严格的规定，下表是6个乒乓球质量检测的结果（单位：g，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数）。
(1)请找出三个误差相对较小的乒乓球，并用绝对值的知识说明；
(2)若规定与标准质量误差不超过0.1 g的为优等品，超过0.1 g但不超过0.3 g的为合格品，其他的均为不合格品，则在这六个乒乓球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？
(1)请找出三个误差相对较小的乒乓球，并用绝对值的知识说明；
(2)若规定与标准质量误差不超过0.1 g的为优等品，超过0.1 g但不超过0.3 g的为合格品，其他的均为不合格品，则在这六个乒乓球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？
答案
解：(1)$|-0.5|=0.5,|0.1|=0.1,$
$|0.2|=0.2,|0|=0,|-0.08|=0.08,|-0.15|=0.15.$
因为$0＜0.08＜0.1＜0.15＜0.2＜0.5$,所以三个误差相对较小的乒乓球为二号球、四号球和五号球.
(2)由(1)可知,在这六个乒乓球中,优等品是二号球、四号球、五号球,共3个;合格品是三号球、六号球,共2个;不合格品是一号球,共1个.
$|0.2|=0.2,|0|=0,|-0.08|=0.08,|-0.15|=0.15.$
因为$0＜0.08＜0.1＜0.15＜0.2＜0.5$,所以三个误差相对较小的乒乓球为二号球、四号球和五号球.
(2)由(1)可知,在这六个乒乓球中,优等品是二号球、四号球、五号球,共3个;合格品是三号球、六号球,共2个;不合格品是一号球,共1个.
解析
【分析】
本题考查绝对值在实际问题中的应用，解题思路如下：
(1) 误差大小指乒乓球实际质量与标准质量的偏差大小，和偏差的正负无关，因此可以通过计算每个检测结果的绝对值判断误差大小：绝对值越小，说明越接近标准质量，误差越小。先计算6个检测结果的绝对值，再比较绝对值的大小，取绝对值最小的三个对应的乒乓球即可。
(2) 根据优等品、合格品、不合格品的划分标准，将第一步算出的绝对值分别和0.1g、0.3g比较，按照分类规则对应到各个乒乓球即可。
【解析】
已知6个乒乓球的检测结果（单位：g）为：一号球-0.5，二号球0.1，三号球0.2，四号球0，五号球-0.08，六号球-0.15。
(1) 分别计算各检测结果的绝对值：
$|-0.5|=0.5$，$|0.1|=0.1$，$|0.2|=0.2$，$|0|=0$，$|-0.08|=0.08$，$|-0.15|=0.15$。
比较绝对值大小可得：$0＜0.08＜0.1＜0.15＜0.2＜0.5$，绝对值越小误差越小，因此误差相对较小的三个乒乓球为二号球、四号球和五号球。
(2) 根据等级划分规则判断：
① 与标准质量误差不超过0.1g（即绝对值≤0.1）为优等品：绝对值为0、0.08、0.1符合要求，对应二号球、四号球、五号球；
② 超过0.1g但不超过0.3g（即$0.1＜绝对值≤0.3$）为合格品：绝对值为0.15、0.2符合要求，对应三号球、六号球；
③ 超过0.3g（即绝对值＞0.3）为不合格品：绝对值为0.5符合要求，对应一号球。
【答案】
(1) 三个误差相对较小的乒乓球是二号球、四号球、五号球；
(2) 优等品：二号球、四号球、五号球；合格品：三号球、六号球；不合格品：一号球。
【知识点】
绝对值的意义；绝对值比较大小；正负数的实际应用
【点评】
本题结合体育赛事用球检测的生活情境，考查绝对值的实际应用，解题核心是理解绝对值可表示实际值与标准值的偏差大小，再结合给定分类标准判断即可，侧重考察基础知识的迁移应用能力。
【难度系数】
0.8
本题考查绝对值在实际问题中的应用，解题思路如下：
(1) 误差大小指乒乓球实际质量与标准质量的偏差大小，和偏差的正负无关，因此可以通过计算每个检测结果的绝对值判断误差大小：绝对值越小，说明越接近标准质量，误差越小。先计算6个检测结果的绝对值，再比较绝对值的大小，取绝对值最小的三个对应的乒乓球即可。
(2) 根据优等品、合格品、不合格品的划分标准，将第一步算出的绝对值分别和0.1g、0.3g比较，按照分类规则对应到各个乒乓球即可。
【解析】
已知6个乒乓球的检测结果（单位：g）为：一号球-0.5，二号球0.1，三号球0.2，四号球0，五号球-0.08，六号球-0.15。
(1) 分别计算各检测结果的绝对值：
$|-0.5|=0.5$，$|0.1|=0.1$，$|0.2|=0.2$，$|0|=0$，$|-0.08|=0.08$，$|-0.15|=0.15$。
比较绝对值大小可得：$0＜0.08＜0.1＜0.15＜0.2＜0.5$，绝对值越小误差越小，因此误差相对较小的三个乒乓球为二号球、四号球和五号球。
(2) 根据等级划分规则判断：
① 与标准质量误差不超过0.1g（即绝对值≤0.1）为优等品：绝对值为0、0.08、0.1符合要求，对应二号球、四号球、五号球；
② 超过0.1g但不超过0.3g（即$0.1＜绝对值≤0.3$）为合格品：绝对值为0.15、0.2符合要求，对应三号球、六号球；
③ 超过0.3g（即绝对值＞0.3）为不合格品：绝对值为0.5符合要求，对应一号球。
【答案】
(1) 三个误差相对较小的乒乓球是二号球、四号球、五号球；
(2) 优等品：二号球、四号球、五号球；合格品：三号球、六号球；不合格品：一号球。
【知识点】
绝对值的意义；绝对值比较大小；正负数的实际应用
【点评】
本题结合体育赛事用球检测的生活情境，考查绝对值的实际应用，解题核心是理解绝对值可表示实际值与标准值的偏差大小，再结合给定分类标准判断即可，侧重考察基础知识的迁移应用能力。
【难度系数】
0.8
12. 中考趋势·阅读理解 阅读下列材料:我们知道$|x|$的几何意义是数轴上数$x$的对应点与原点之间的距离,即$|x|=|x-0|$,也可以说,$|x|$表示数轴上数$x$与数0对应点之间的距离.这个结论可以推广为$|a-b|$表示数轴上数$a$与数$b$对应点之间的距离.
(1)用绝对值表示数轴上−5与3对应点之间的距离.
(2)若$|x-2|=3$,则$x$表示数轴上的哪些数?
(3)若$x$表示一个整数,则$|x-1|+|x-(-6)|$的最小值为
(4)利用数轴找出所有符合条件的整数$x$,使得$|x-3|+|x-(-4)|=7$成立,这样的整数是
(1)用绝对值表示数轴上−5与3对应点之间的距离.
(2)若$|x-2|=3$,则$x$表示数轴上的哪些数?
(3)若$x$表示一个整数,则$|x-1|+|x-(-6)|$的最小值为
7
,此时$x$的所有取值为$-6$或$-5$或$-4$或$-3$或$-2$或$-1$或0或1
.(4)利用数轴找出所有符合条件的整数$x$,使得$|x-3|+|x-(-4)|=7$成立,这样的整数是
$-4$或$-3$或$-2$或$-1$或0或1或2或3
.答案
解：(1)数轴上−5与3对应点之间的距离表示为$|-5-3|.$
(2)$|x-2|=3$表示在数轴上到2所对应的点的距离为3的点,所以$x=-1$或$x=5$,即$x$表示数轴上的数−1或数5.
(3)7;−6或−5或−4或−3或−2或−1或0或1
(4)−4或−3或−2或−1或0或1或2或3
(2)$|x-2|=3$表示在数轴上到2所对应的点的距离为3的点,所以$x=-1$或$x=5$,即$x$表示数轴上的数−1或数5.
(3)7;−6或−5或−4或−3或−2或−1或0或1
(4)−4或−3或−2或−1或0或1或2或3
解析
【分析】
本题核心考查绝对值的几何意义的应用，解题思路围绕“|a-b|表示数轴上数a与数b对应点的距离”展开：
(1) 直接套用两点距离的绝对值表示公式即可求解；
(2) 将|x-2|=3转化为“x到2的距离为3”，分别在2的左右两侧找对应数值；
(3) |x-1|+|x+6|的含义是x到1和x到-6的距离之和，当x落在两个点之间时，距离和最小，最小值就是两点本身的距离，再找出区间内的整数即可；
(4) 先计算3和-4的距离刚好为7，因此x落在两点之间时距离和等于7，找出区间内的整数即可。
【解析】
(1) 根据“|a-b|表示数轴上a、b对应点的距离”，-5与3对应点的距离可表示为$\left|-5-3\right|$（或$\left|3-(-5)\right|$）。
(2) $|x-2|=3$的几何意义是数轴上x对应的点到2对应的点的距离为3：
在2的左侧，距离2为3的数为$2-3=-1$；
在2的右侧，距离2为3的数为$2+3=5$；
因此x表示的数为-1或5。
(3) $|x-1|+|x-(-6)|=|x-1|+|x+6|$，表示x到1和x到-6的距离之和：
首先计算1与-6的距离：$\left|1-(-6)\right|=7$；
当x落在-6和1之间（包含端点）时，距离之和刚好等于两点间的距离7，此时和最小；
x为整数，因此x的取值为-6、-5、-4、-3、-2、-1、0、1。
(4) $|x-3|+|x-(-4)|=|x-3|+|x+4|$，表示x到3和x到-4的距离之和：
计算3与-4的距离：$\left|3-(-4)\right|=7$，刚好等于等式右侧的数值；
因此当x落在-4和3之间（包含端点）时，距离之和为7，符合条件的整数x为-4、-3、-2、-1、0、1、2、3。
【答案】
(1) $\left|-5-3\right|$
(2) $-1$或$5$
(3) $7$；$-6、-5、-4、-3、-2、-1、0、1$
(4) $-4、-3、-2、-1、0、1、2、3$
【知识点】
绝对值的几何意义，数轴两点距离，绝对值方程
【点评】
本题是绝对值应用的典型题型，将抽象的绝对值运算转化为数轴上直观的距离问题，能大幅降低解题难度，体现了数形结合思想的实用性。
【难度系数】
0.7
本题核心考查绝对值的几何意义的应用，解题思路围绕“|a-b|表示数轴上数a与数b对应点的距离”展开：
(1) 直接套用两点距离的绝对值表示公式即可求解；
(2) 将|x-2|=3转化为“x到2的距离为3”，分别在2的左右两侧找对应数值；
(3) |x-1|+|x+6|的含义是x到1和x到-6的距离之和，当x落在两个点之间时，距离和最小，最小值就是两点本身的距离，再找出区间内的整数即可；
(4) 先计算3和-4的距离刚好为7，因此x落在两点之间时距离和等于7，找出区间内的整数即可。
【解析】
(1) 根据“|a-b|表示数轴上a、b对应点的距离”，-5与3对应点的距离可表示为$\left|-5-3\right|$（或$\left|3-(-5)\right|$）。
(2) $|x-2|=3$的几何意义是数轴上x对应的点到2对应的点的距离为3：
在2的左侧，距离2为3的数为$2-3=-1$；
在2的右侧，距离2为3的数为$2+3=5$；
因此x表示的数为-1或5。
(3) $|x-1|+|x-(-6)|=|x-1|+|x+6|$，表示x到1和x到-6的距离之和：
首先计算1与-6的距离：$\left|1-(-6)\right|=7$；
当x落在-6和1之间（包含端点）时，距离之和刚好等于两点间的距离7，此时和最小；
x为整数，因此x的取值为-6、-5、-4、-3、-2、-1、0、1。
(4) $|x-3|+|x-(-4)|=|x-3|+|x+4|$，表示x到3和x到-4的距离之和：
计算3与-4的距离：$\left|3-(-4)\right|=7$，刚好等于等式右侧的数值；
因此当x落在-4和3之间（包含端点）时，距离之和为7，符合条件的整数x为-4、-3、-2、-1、0、1、2、3。
【答案】
(1) $\left|-5-3\right|$
(2) $-1$或$5$
(3) $7$；$-6、-5、-4、-3、-2、-1、0、1$
(4) $-4、-3、-2、-1、0、1、2、3$
【知识点】
绝对值的几何意义，数轴两点距离，绝对值方程
【点评】
本题是绝对值应用的典型题型，将抽象的绝对值运算转化为数轴上直观的距离问题，能大幅降低解题难度，体现了数形结合思想的实用性。
【难度系数】
0.7
