概念建构
绝对值
几何意义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的叫作数a的绝对值，记作|a|
代数意义：|a|=｛a, a＞0,
0, a=0,
, a

距离；$-a$

【分析】
本题考查绝对值的基础定义，解题时先回忆绝对值的两类定义：首先思考几何意义，数轴上点到点的量化描述是距离，因此表示数a的点到原点的距离就是|a|的几何含义；再看代数意义的分段规则，已知正数的绝对值是本身、0的绝对值是0，剩下负数的绝对值是它的相反数，当a为负数时，它的相反数可表示为$-a$，据此就能填出两个空缺。
【解析】
1. 填第一个空：根据绝对值的几何意义，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，因此第一个空填“距离”。
2. 填第二个空：根据绝对值的代数意义，负数的绝对值是它的相反数，即当$a＜0$时，$|a|=-a$，因此第二个空填$-a$。
【答案】
距离；$-a$
【知识点】
绝对值的几何意义；绝对值的代数意义
【点评】
本题是对绝对值基础概念的直接考查，难度较低，熟练掌握绝对值的几何和代数定义是解决本题的关键，这类概念题是后续学习绝对值相关运算与化简的核心基础。
【难度系数】
0.9

1.(新知回顾) 在数轴上,表示数10的点到原点的距离是,记作$|10|=$;表示数$-2$的点到原点的距离是,记作$|-2|=$;表示数0的点是原点,故$|0|=$.

10;10;2;2;0

【分析】
解题前先回忆绝对值的定义：数轴上一个数对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，距离始终是非负数。接下来逐个分析每个数：①正数10在原点右侧，到原点的距离就是它本身的大小，对应|10|的取值就是这个距离；②负数-2在原点左侧，到原点的距离是去掉负号后的数值，对应|-2|的取值就是这个距离；③0本身就在原点上，到原点的距离为0，对应|0|的取值就是0，按照这个逻辑就能依次填出所有空。
【解析】
根据绝对值的几何意义：数轴上表示一个数的点到原点的距离就是该数的绝对值。
1. 表示10的点在原点右侧，到原点的距离是10，因此$|10|=10$；
2. 表示-2的点在原点左侧，到原点的距离是2，因此$|-2|=2$；
3. 表示0的点与原点重合，到原点的距离是0，因此$|0|=0$。
【答案】
10;10;2;2;0
【知识点】
绝对值的几何意义；绝对值的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点检验对绝对值核心定义的掌握程度，熟练掌握绝对值的几何含义和代数性质即可快速作答，是绝对值模块的入门必备题型。
【难度系数】
0.9

2. [2026六安期中]如图，下列数轴上的点表示的数中，绝对值相等的是()

A.点A和点E
B.点C和点D
C.点B和点E
D.点B和点D

C

【分析】
要解决这道题，首先回忆绝对值的几何意义：数轴上表示某个数的点到原点的距离，就是这个数的绝对值。所以找绝对值相等的点，本质就是找一组到原点距离相等的点。解题时先确定数轴原点的位置，再逐一判断每个选项里的两个点到原点的距离是否相等即可。
【解析】
根据绝对值的几何意义可知：数轴上两个点表示的数绝对值相等，等价于这两个点到原点的距离相等。
观察数轴逐一判断选项：
A. 点A和点E到原点的距离不相等，因此绝对值不相等，不符合要求；
B. 点C和点D到原点的距离不相等，因此绝对值不相等，不符合要求；
C. 点B和点E分别在原点两侧，且到原点的距离相等，所以表示的数绝对值相等，符合要求；
D. 点B和点D到原点的距离不相等，因此绝对值不相等，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
数轴的认识；绝对值的意义
【点评】
本题结合数轴考查绝对值的相关概念，解题的关键是掌握绝对值的几何意义，能通过观察点到原点的距离快速判断绝对值是否相等，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

3.2的绝对值是 ()

A.$-2$
B.$2$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\pm2$

B

【分析】
解题时首先回忆绝对值的相关性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。首先判断所给数2是正数，所以直接根据正数的绝对值的计算规则求解即可，再对应选项选出正确答案。
【解析】
根据绝对值的性质：
1. 先判断数的正负：2是大于0的正数；
2. 正数的绝对值等于它本身，因此$\left|2\right|=2$。
所以答案选B。
【答案】
B
【知识点】
绝对值的性质
【点评】
本题是基础题型，核心考查对绝对值运算规则的记忆与应用，只要熟练掌握不同类型有理数的绝对值求解方法，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9

【变式1·逆向推理】若$|a|=11$，则$a$的值是()

A.$11$
B.$\pm11$
C.$-11$
D.$\frac{1}{11}$

B

【分析】
解题时首先明确题目要求：已知数a的绝对值，求a的取值。首先回忆绝对值的概念：绝对值是数轴上一个数对应的点到原点的距离，距离是非负的，因此除0之外，绝对值为同一个正数的数有两个，分别位于原点两侧，互为相反数。本题中|a|=11，说明a到原点的距离为11，因此需要考虑原点左右两侧对应的两个数，即可得到a的取值。
【解析】
根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
因为$|11|=11$，$|-11|=11$，
所以满足$|a|=11$的$a$的值为$11$或$-11$，即$\pm11$。
因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
绝对值的性质
【点评】
本题是绝对值的基础考查题型，核心是对绝对值性质的逆向运用，解题时要注意不要遗漏负数的情况，明确绝对值为正数的数对应两个互为相反数的结果。
【难度系数】
0.85

【变式2·正逆双向推理】若$|-x|=\left|-\dfrac{3}{7}\right|$，
则$x=$。
【变式3·一般化】若$|m|=|n|$，则$m,n$()

A.相等
B.互为相反数
C.都是0
D.互为相反数或相等

$\dfrac{3}{7}$或$-\dfrac{3}{7}$；D

【分析】
解题时围绕绝对值的核心性质思考：若两个数的绝对值相等，则这两个数要么相等，要么互为相反数。
对于变式2：先化简等式右侧的绝对值，再将左侧$|-x|$转化为$|x|$，最后根据绝对值的定义求出$x$的所有可能值；
对于变式3：直接利用上述绝对值的性质判断$m$和$n$的关系，逐一排除错误选项即可得到答案。
【解析】
变式2解答：
第一步，化简等式右侧：$\left|-\dfrac{3}{7}\right|=\dfrac{3}{7}$，因此原式变为$|-x|=\dfrac{3}{7}$；
第二步，根据绝对值的性质，$|-x|=|x|$，因此可得$|x|=\dfrac{3}{7}$；
第三步，绝对值等于$\dfrac{3}{7}$的数有两个，分别是$\dfrac{3}{7}$和$-\dfrac{3}{7}$，因此$x=\dfrac{3}{7}$或$x=-\dfrac{3}{7}$。
变式3解答：
根据绝对值的性质：若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数（特殊情况：当两数都为0时也满足该结论）。
选项A、B都只描述了其中一种情况，不全面；选项C只是其中的特殊情况，因此均错误，只有D选项表述完整。
【答案】
$\dfrac{3}{7}$或$-\dfrac{3}{7}$；D
【知识点】
绝对值的性质；绝对值的化简
【点评】
这两道题是绝对值性质的基础应用题型，解题核心是牢记绝对值相等的两个数的关系，避免出现漏解、考虑不全面的问题。
【难度系数】
0.85

4.下列各式正确的是 ()

A.$-(-5)=|-5|$
B.$-(-5)=-5$
C.$|-5|=-5$
D.$-|-5|=5$

A

【分析】
本题主要考查去多重符号的法则和绝对值的性质，解题时可先分别计算每个选项中等式左右两边的结果，再对比两边是否相等，即可判断选项的正误。需要用到两个基础规则：①去多重符号时，负号的个数为偶数时结果为正，负号个数为奇数时结果为负；②正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
【解析】
首先计算相关基础值：
去括号：$-(-5)$有2个负号，负号个数为偶数，故$-(-5)=5$；
化简绝对值：$-5$是负数，故$|-5|=5$。
逐个分析选项：
A选项：左边$-(-5)=5$，右边$|-5|=5$，左右两边相等，该式正确；
B选项：左边$-(-5)=5 ≠ -5$，该式错误；
C选项：$|-5|=5 ≠ -5$，该式错误；
D选项：先算绝对值得$|-5|=5$，再加负号得$-|-5|=-5 ≠ 5$，该式错误。
【答案】
A
【知识点】
去多重符号、绝对值的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对去符号规则和绝对值性质的理解与运用，掌握相关基础定义即可快速解题，是绝对值模块的常见基础题型。
【难度系数】
0.9

5.化简:
(1)$\left| -\dfrac{5}{2} \right| =$ ；
(2)$-\left| -3.8 \right| =$ ；
(3)$\left| -( +\dfrac{2}{3} ) \right| =$ ；
(4)$-\left| +(-7) \right| =$ .

(1)$\dfrac{5}{2}$ (2)$-3.8$ (3)$\dfrac{2}{3}$ (4)$-7$

【分析】
解决这类绝对值化简问题，核心是牢记绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。解题时遵循两步走：第一步先化简绝对值符号内部的多重符号，第二步根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后再处理绝对值符号外面的符号即可。
【解析】
(1) 因为$-\dfrac{5}{2}$是负数，根据负数的绝对值是它的相反数，可得$\left| -\dfrac{5}{2} \right| = \dfrac{5}{2}$；
(2) 先计算绝对值部分：$-3.8$是负数，所以$\left| -3.8 \right| = 3.8$，再加上绝对值外的负号，可得$-\left| -3.8 \right| = -3.8$；
(3) 先化简绝对值内部：$-(+\dfrac{2}{3})=-\dfrac{2}{3}$，$-\dfrac{2}{3}$是负数，所以$\left| -\dfrac{2}{3} \right|=\dfrac{2}{3}$，即$\left| -( +\dfrac{2}{3} ) \right| = \dfrac{2}{3}$；
(4) 先化简绝对值内部：$+(-7)=-7$，$-7$是负数，所以$\left| -7 \right|=7$，再加上绝对值外的负号，可得$-\left| +(-7) \right| = -7$。
【答案】
(1)$\dfrac{5}{2}$ (2)$-3.8$ (3)$\dfrac{2}{3}$ (4)$-7$
【知识点】
绝对值的性质、多重符号化简
【点评】
本题是绝对值化简的基础题型，重点考察对绝对值性质的理解与运用，以及多重符号的化简能力，解题时需注意运算顺序：先处理绝对值内的符号，再去绝对值，最后处理绝对值外的符号，避免因符号混乱出错。
【难度系数】
0.85

6.计算:
(1)$|-18|+|-6|$;
(2)$|-36|-|-24|$;
(3)$|-2.5|÷|0.5|$;
(4)$\left|-3\dfrac{1}{3}\right|×\left|-\dfrac{3}{4}\right|$.

解：(1)原式$=18+6=24.$
(2)原式$=36-24=12.$
(3)原式$=2.5÷0.5=5.$
(4)原式$=\dfrac{10}{3}×\dfrac{3}{4}=\dfrac{5}{2}.$

【分析】
本题是含有绝对值的有理数四则运算题，解题核心思路分两步：第一步先根据绝对值的性质化简每个绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；第二步再按照有理数加减乘除的运算法则计算化简后的式子即可。计算时如果遇到带分数，要先转化为假分数再参与乘除运算，注意约分简化计算。
【解析】
(1) 先化简绝对值：$|-18|=18$，$|-6|=6$，因此原式$=18+6=24$；
(2) 先化简绝对值：$|-36|=36$，$|-24|=24$，因此原式$=36-24=12$；
(3) 先化简绝对值：$|-2.5|=2.5$，$|0.5|=0.5$，因此原式$=2.5÷0.5=5$；
(4) 先化简绝对值：$\left|-3\dfrac{1}{3}\right|=3\dfrac{1}{3}=\dfrac{10}{3}$，$\left|-\dfrac{3}{4}\right|=\dfrac{3}{4}$，因此原式$=\dfrac{10}{3}×\dfrac{3}{4}=\dfrac{5}{2}$。
【答案】
(1)$24$；(2)$12$；(3)$5$；(4)$\dfrac{5}{2}$
【知识点】
绝对值的化简、有理数四则运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查绝对值化简规则和有理数基本运算能力，计算时只要先正确去掉绝对值符号，再按照运算法则认真计算，注意带分数化假分数、约分等细节，即可顺利得分。
【难度系数】
0.9

7.对任意有理数$a$，总有$|a|$$0$；$|a|$的最小值为.填写下表：

$≥$;0;20;a;20;$-a$;0;0

【分析】
解题时首先回忆绝对值的定义：绝对值是数轴上表示数a的点到原点的距离。由于距离不可能为负数，因此可判断|a|与0的大小关系，进而得到|a|的最小值。后续填表时，按照绝对值的化简规则：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，分别计算对应结果即可。
【解析】
1. 由绝对值的几何意义可知，数轴上表示任意有理数a的点到原点的距离一定是非负的，因此对任意有理数a，总有$\vert a\vert ≥ 0$；当a=0时，$\vert a\vert$取到最小的距离0，因此$\vert a\vert$的最小值为0。
2. 根据绝对值的化简规则计算：
20是正数，正数的绝对值是它本身，因此$\vert 20\vert =20$；当a为正数时，$\vert a\vert =a$；
-20是负数，负数的绝对值是它的相反数，因此$\vert -20\vert =20$；当a为负数时，$\vert a\vert =-a$；
0的绝对值是0，因此$\vert 0\vert =0$。
【答案】
$≥$;0;20;a;20;$-a$;0;0
【知识点】
绝对值的定义；绝对值的性质；绝对值化简
【点评】
本题属于绝对值章节的基础题，主要考查绝对值的非负性和基础化简规则，熟练掌握本题涉及的知识点是后续解决绝对值相关题型的核心基础。
【难度系数】
0.85

8.新情境 在航天零件制造中，先进的AI算法的应用，极大地提高了零件的制造精度.下面是某航天零件制造车间四台运用AI算法的机床生产的火箭发动机零件的误差数据，其中精确程度最高的是()

A.$+0.05\ \mathrm{mm}$
B.$-0.03\ \mathrm{mm}$
C.$+0.02\ \mathrm{mm}$
D.$-0.01\ \mathrm{mm}$

D

【分析】解题时首先要理解误差中正负数的含义：正号表示零件尺寸比标准尺寸大，负号表示比标准尺寸小，零件的精确程度仅和与标准尺寸的偏离幅度有关，和偏离方向无关，因此需要通过比较各误差的绝对值大小判断精确程度，绝对值越小，精确程度越高。
【解析】误差的正负仅代表与标准尺寸的偏差方向，精确程度由误差的绝对值决定，绝对值越小，精确程度越高。
分别计算各选项误差的绝对值：
选项A：$\left|+0.05\ \mathrm{mm}\right|=0.05\ \mathrm{mm}$
选项B：$\left|-0.03\ \mathrm{mm}\right|=0.03\ \mathrm{mm}$
选项C：$\left|+0.02\ \mathrm{mm}\right|=0.02\ \mathrm{mm}$
选项D：$\left|-0.01\ \mathrm{mm}\right|=0.01\ \mathrm{mm}$
比较绝对值大小：$0.01＜0.02＜0.03＜0.05$，因此$-0.01\ \mathrm{mm}$对应的机床生产的零件精确程度最高。
【答案】D
【知识点】绝对值的意义；正负数的实际应用
【点评】本题结合航天制造的生活新情境考查数学知识的应用，解题的关键是明确精确程度由误差的绝对值大小决定，与正负无关，能很好地体现数学在实际生产中的应用价值。
【难度系数】0.9

9.若$|a|=-a$，则$a$一定是 ()

A.正数
B.负数
C.非正数
D.非负数

C

【分析】
解题时首先回忆绝对值的代数意义，再分别对a为正数、0、负数三种情况讨论，判断哪种情况满足|a|=-a的条件，最后结合选项选出正确答案，注意不要遗漏特殊值0的情况。
【解析】
根据绝对值的代数意义：
1. 当a是正数时，正数的绝对值是它本身，即|a|=a，不符合|a|=-a的条件；
2. 当a是0时，|0|=0，且-0=0，因此|a|=-a成立；
3. 当a是负数时，负数的绝对值是它的相反数，即|a|=-a，符合条件。
综上，满足|a|=-a的数a是负数或0，也就是非正数，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
绝对值的性质；相反数的概念
【点评】
本题是绝对值性质的常规基础题，易错点是忽略0也满足|a|=-a的条件，误选B选项，解题时要注意考虑特殊值0，分类讨论要全面。
【难度系数】
0.7