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1.一艘海轮位于灯塔P的北偏东$55°$方向，距离灯塔2海里的点A处.如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，那么海轮航行的距离AB是 （
A.2海里
B.$2\sin55°$海里
C.$2\cos55°$海里
D.$2\tan55°$海里
（第1题图）
（第2题图）
（第3题图）
（第4题图）
C
）A.2海里
B.$2\sin55°$海里
C.$2\cos55°$海里
D.$2\tan55°$海里
（第1题图）
（第2题图）
（第3题图）
（第4题图）
答案
1.C
解析
【分析】
这是一道结合方位角的解直角三角形基础题，解题思路如下：第一步先根据题意判断△ABP的形状，海轮沿正南航行到灯塔正东的B点，可知AB为南北方向、PB为东西方向，因此∠ABP=90°，△ABP是直角三角形；第二步确定角的大小，“灯塔P的北偏东55°为点A”，且正北方向与AB（正南方向）平行，根据内错角相等可得∠PAB=55°；第三步结合三角函数定义求AB长，已知斜边AP=2海里，AB是∠PAB的邻边，选用余弦函数即可列式计算。
【解析】
由题意得：∠ABP=90°，AP=2海里，
∵点A在灯塔P的北偏东55°方向，且AB沿正南方向，正北与正南平行，
∴∠PAB=55°，
在Rt△ABP中，根据余弦函数定义：$\cos∠ PAB=\frac{AB}{AP}$，
∴$AB=AP·\cos∠ PAB=2\cos55°$ 海里。
【答案】
C
【知识点】
解直角三角形的应用；方位角；余弦函数定义
【点评】
本题以航海方位为背景考查解直角三角形的应用，解题核心是准确梳理直角三角形中角和边的对应关系，结合三角函数定义列式，难度较低。
【难度系数】
0.8
这是一道结合方位角的解直角三角形基础题，解题思路如下：第一步先根据题意判断△ABP的形状，海轮沿正南航行到灯塔正东的B点，可知AB为南北方向、PB为东西方向，因此∠ABP=90°，△ABP是直角三角形；第二步确定角的大小，“灯塔P的北偏东55°为点A”，且正北方向与AB（正南方向）平行，根据内错角相等可得∠PAB=55°；第三步结合三角函数定义求AB长，已知斜边AP=2海里，AB是∠PAB的邻边，选用余弦函数即可列式计算。
【解析】
由题意得：∠ABP=90°，AP=2海里，
∵点A在灯塔P的北偏东55°方向，且AB沿正南方向，正北与正南平行，
∴∠PAB=55°，
在Rt△ABP中，根据余弦函数定义：$\cos∠ PAB=\frac{AB}{AP}$，
∴$AB=AP·\cos∠ PAB=2\cos55°$ 海里。
【答案】
C
【知识点】
解直角三角形的应用；方位角；余弦函数定义
【点评】
本题以航海方位为背景考查解直角三角形的应用，解题核心是准确梳理直角三角形中角和边的对应关系，结合三角函数定义列式，难度较低。
【难度系数】
0.8
2.如图,在离铁塔150米的A处,用测倾仪测得塔顶的仰角为α,测倾仪高AD为1.5米,则铁塔的高BC为（
A.$(1.5 + 150\tanα)$米
B.$(1.5 + \frac{150}{\tanα})$米
C.$(1.5 + 150\sinα)$米
D.$(1.5 + \frac{150}{\sinα})$米
A
）A.$(1.5 + 150\tanα)$米
B.$(1.5 + \frac{150}{\tanα})$米
C.$(1.5 + 150\sinα)$米
D.$(1.5 + \frac{150}{\sinα})$米
答案
2.A
解析
【分析】
这是一道解直角三角形的实际应用问题，解题思路如下：第一步，过点A作BC的垂线，构造出直角三角形和矩形，利用矩形的性质得到相等的线段：CE等于测倾仪高度AD，AE等于A到铁塔的水平距离150米；第二步，在得到的直角三角形中，结合仰角α，利用正切函数的定义求出塔顶到E点的高度BE；第三步，将BE与CE相加即可得到铁塔的总高度BC。
【解析】
过点A作AE⊥BC，垂足为E，
∵AE⊥BC，CD⊥BC，AD⊥CD，
∴四边形AECD是矩形，
∴CE=AD=1.5米，AE=CD=150米。
在Rt△ABE中，∠BAE=α，
由正切的定义可得：$\tanα=\frac{BE}{AE}$，
∴$BE=AE·\tanα=150\tanα$米，
∴$BC=BE+CE=(1.5+150\tanα)$米。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
解直角三角形的应用-仰角问题，锐角三角函数的定义，矩形的性质
【点评】
本题属于解直角三角形的基础应用类题目，解题的关键是通过作辅助线将实际问题转化为直角三角形的计算问题，熟练掌握锐角三角函数的定义即可快速求解。
【难度系数】
0.8
这是一道解直角三角形的实际应用问题，解题思路如下：第一步，过点A作BC的垂线，构造出直角三角形和矩形，利用矩形的性质得到相等的线段：CE等于测倾仪高度AD，AE等于A到铁塔的水平距离150米；第二步，在得到的直角三角形中，结合仰角α，利用正切函数的定义求出塔顶到E点的高度BE；第三步，将BE与CE相加即可得到铁塔的总高度BC。
【解析】
过点A作AE⊥BC，垂足为E，
∵AE⊥BC，CD⊥BC，AD⊥CD，
∴四边形AECD是矩形，
∴CE=AD=1.5米，AE=CD=150米。
在Rt△ABE中，∠BAE=α，
由正切的定义可得：$\tanα=\frac{BE}{AE}$，
∴$BE=AE·\tanα=150\tanα$米，
∴$BC=BE+CE=(1.5+150\tanα)$米。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
解直角三角形的应用-仰角问题，锐角三角函数的定义，矩形的性质
【点评】
本题属于解直角三角形的基础应用类题目，解题的关键是通过作辅助线将实际问题转化为直角三角形的计算问题，熟练掌握锐角三角函数的定义即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3.如图，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处.灯塔C在海岛A的北偏西$42°$方向上，在海岛B的北偏西$84°$方向上，则海岛B到灯塔C的距离是（
A.15海里
B.20海里
C.30海里
D.60海里
C
）A.15海里
B.20海里
C.30海里
D.60海里
答案
3.C
解析
【分析】
解题时首先根据路程=速度×时间计算出AB的长度；其次结合方向角得到△ABC中两个角的度数，再利用三角形外角的性质求出∠C的度数，可发现∠C和∠CAB相等，最后根据等角对等边即可得到BC与AB的等量关系，进而求出BC的长度。
【解析】
1. 计算AB的长度：
已知船的航行速度为15海里/时，航行时间为2小时，根据路程公式可得：
$AB=15×2=30$（海里）
2. 结合方向角确定已知角度：
由题意得$∠ CAB=42°$，$∠ CBD=84°$。
3. 利用三角形外角性质求∠C：
∵$∠ CBD$是$△ ABC$的外角，三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴$∠ CBD=∠ CAB+∠ C$，
代入角度计算得：$∠ C=84°-42°=42°$。
4. 等角对等边求BC：
∵$∠ C=∠ CAB=42°$，
∴$BC=AB=30$海里。
【答案】
C
【知识点】
方向角识别；三角形外角性质；等腰三角形判定
【点评】
本题属于基础应用题，将方向角和三角形基础性质结合考查，解题关键是通过外角性质推导得到等角，进而转化为边的等量关系，计算量很小。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据路程=速度×时间计算出AB的长度；其次结合方向角得到△ABC中两个角的度数，再利用三角形外角的性质求出∠C的度数，可发现∠C和∠CAB相等，最后根据等角对等边即可得到BC与AB的等量关系，进而求出BC的长度。
【解析】
1. 计算AB的长度：
已知船的航行速度为15海里/时，航行时间为2小时，根据路程公式可得：
$AB=15×2=30$（海里）
2. 结合方向角确定已知角度：
由题意得$∠ CAB=42°$，$∠ CBD=84°$。
3. 利用三角形外角性质求∠C：
∵$∠ CBD$是$△ ABC$的外角，三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴$∠ CBD=∠ CAB+∠ C$，
代入角度计算得：$∠ C=84°-42°=42°$。
4. 等角对等边求BC：
∵$∠ C=∠ CAB=42°$，
∴$BC=AB=30$海里。
【答案】
C
【知识点】
方向角识别；三角形外角性质；等腰三角形判定
【点评】
本题属于基础应用题，将方向角和三角形基础性质结合考查，解题关键是通过外角性质推导得到等角，进而转化为边的等量关系，计算量很小。
【难度系数】
0.7
4.如图,校园内有一株枯死的大树$AB$,距树12米处有一栋教学楼$CD$,为了安全,学校决定砍伐该树.站在楼顶$D$处,测得点$B$的仰角为$45°$,点$A$的俯角为$30°$.小青计算后得到如下结论:①$AB\approx18.8$米;②$CD\approx8.4$米;③若直接从点$A$处砍伐,树干倒向教学楼$CD$方向会对教学楼有影响;④若第一次在距点$A8$米处的树干上砍伐,不会对教学楼$CD$造成危害.其中正确的是
①③④
.(填写序号,参考数据:$\sqrt{3}\approx1.7,\sqrt{2}\approx1.4$)答案
4.①③④
解析
【分析】
本题属于解直角三角形的实际应用问题，解题思路如下：首先通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将已知的仰角、俯角转化为直角三角形的内角，把已知水平距离AC=12米转化为直角三角形的边长；其次分别在两个含特殊角的直角三角形中，利用三角函数求出对应竖直边的长度，即可得到AB、CD的长度；最后结合实际场景，比较树干长度和树与教学楼的距离，判断砍伐后的影响。
【解析】
过点D作$DH⊥ AB$于点H，则四边形ACDH为矩形，因此$DH=AC=12$米，$AH=CD$。
1. 求CD和AB的长度：
在$Rt△ ADH$中，$∠ ADH=30°$，
$\because \tan30°=\frac{AH}{DH}$，
$\therefore AH=DH·\tan30°=12×\frac{\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}\approx4×1.7=6.8$米，
即$CD=AH\approx6.8$米，故结论②错误。
在$Rt△ BDH$中，$∠ BDH=45°$，
$\therefore △ BDH$为等腰直角三角形，$BH=DH=12$米，
$\therefore AB=AH+BH\approx6.8+12=18.8$米，故结论①正确。
2. 判断砍伐影响：
③$\because AB\approx18.8$米$＞12$米，因此直接从A处砍伐，树干倒向教学楼方向时长度超过树与楼的距离，会对教学楼有影响，故③正确。
④若在距A点8米处砍伐，剩余树干长度为$18.8-8=10.8$米，$10.8$米$＜12$米，因此倒向教学楼时不会碰到楼，不会造成危害，故④正确。
综上，正确的结论为①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
解直角三角形应用，仰角俯角问题，矩形的性质
【点评】
本题结合生活实际考查解直角三角形的应用，解题的核心是通过作高构造直角三角形，利用特殊角的三角函数值计算线段长度，再结合实际情况判断结论，要求学生具备将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6
本题属于解直角三角形的实际应用问题，解题思路如下：首先通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将已知的仰角、俯角转化为直角三角形的内角，把已知水平距离AC=12米转化为直角三角形的边长；其次分别在两个含特殊角的直角三角形中，利用三角函数求出对应竖直边的长度，即可得到AB、CD的长度；最后结合实际场景，比较树干长度和树与教学楼的距离，判断砍伐后的影响。
【解析】
过点D作$DH⊥ AB$于点H，则四边形ACDH为矩形，因此$DH=AC=12$米，$AH=CD$。
1. 求CD和AB的长度：
在$Rt△ ADH$中，$∠ ADH=30°$，
$\because \tan30°=\frac{AH}{DH}$，
$\therefore AH=DH·\tan30°=12×\frac{\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}\approx4×1.7=6.8$米，
即$CD=AH\approx6.8$米，故结论②错误。
在$Rt△ BDH$中，$∠ BDH=45°$，
$\therefore △ BDH$为等腰直角三角形，$BH=DH=12$米，
$\therefore AB=AH+BH\approx6.8+12=18.8$米，故结论①正确。
2. 判断砍伐影响：
③$\because AB\approx18.8$米$＞12$米，因此直接从A处砍伐，树干倒向教学楼方向时长度超过树与楼的距离，会对教学楼有影响，故③正确。
④若在距A点8米处砍伐，剩余树干长度为$18.8-8=10.8$米，$10.8$米$＜12$米，因此倒向教学楼时不会碰到楼，不会造成危害，故④正确。
综上，正确的结论为①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
解直角三角形应用，仰角俯角问题，矩形的性质
【点评】
本题结合生活实际考查解直角三角形的应用，解题的核心是通过作高构造直角三角形，利用特殊角的三角函数值计算线段长度，再结合实际情况判断结论，要求学生具备将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.6
5.如图,测得两楼之间的水平距离为32 m,从楼顶点A观测点D的俯角为$45°$,观测点C的俯角为$58°$.分别求这两幢楼的高度.(结果精确到1 m,参考数据:$\sin 58°\approx0.85$,$\cos 58°\approx0.53$,$\tan 58°\approx1.60$)
答案
5.解:如图,过 D 作 DE⊥AB 于 E,
∴∠AED=90°，
∴∠AED=∠EBC=∠DCB=90°，
∴四边形 BCDE 是矩形,
∴DE=BC=32 m,BE=DC,
在 Rt△ABC 中,∠ACB=58°，
∴AB=BCtan∠ACB=32×tan58°≈32×1.60≈51(m)，
∴BE=CD=AB-AE≈51-32=19(m).
答:建筑物 AB 的高约为 51 m,CD 的高约为 19 m.
解析
【分析】
要计算两幢楼的高度，即求AB和CD的长度，可通过构造辅助线转化已知条件求解：①首先过点D作DE⊥AB于点E，可证得四边形BCDE是矩形，得到DE=BC=32m、BE=DC，将求CD的长度转化为求BE的长度；②根据平行线的性质，观测点C的俯角58°对应Rt△ABC中∠ACB=58°，已知BC的长度，结合正切的定义即可求出AB的高度；③观测点D的俯角为45°，可得Rt△ADE是等腰直角三角形，即AE=DE=32m，最后用AB的长度减去AE的长度，即可得到BE也就是CD的长度。
【解析】
解：如图，过 D 作 DE⊥AB 于 E，
∴∠AED=90°，
∵∠AED=∠EBC=∠DCB=90°，
∴四边形 BCDE 是矩形，
∴DE=BC=32 m，BE=DC，
由俯角的性质可得∠ACB=58°，
在 Rt△ABC 中，
$AB=BC· \tan∠ ACB=32×\tan58°\approx32×1.60\approx51(\mathrm{m})$，
由观测点D的俯角为45°，可得Rt△ADE为等腰直角三角形，即$AE=DE=32\mathrm{m}$，
∴$BE=CD=AB-AE\approx51-32=19(\mathrm{m})$。
答：建筑物AB的高约为51m，CD的高约为19m。
【答案】
解:如图,过 D 作 DE⊥AB 于 E,
∴∠AED=90°，
∴∠AED=∠EBC=∠DCB=90°，
∴四边形 BCDE 是矩形,
∴DE=BC=32 m,BE=DC,
在 Rt△ABC 中,∠ACB=58°，
∴AB=BCtan∠ACB=32×tan58°≈32×1.60≈51(m)，
∴BE=CD=AB-AE≈51-32=19(m).
答:建筑物 AB 的高约为 51 m,CD 的高约为 19 m.
【知识点】
俯角的概念，矩形的性质，解直角三角形的应用
【点评】
本题是解直角三角形在实际测量问题中的典型应用，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将实际场景中的角度、距离条件转化为几何图形的边角关系，结合三角函数的定义计算即可，侧重考查学生的建模能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
要计算两幢楼的高度，即求AB和CD的长度，可通过构造辅助线转化已知条件求解：①首先过点D作DE⊥AB于点E，可证得四边形BCDE是矩形，得到DE=BC=32m、BE=DC，将求CD的长度转化为求BE的长度；②根据平行线的性质，观测点C的俯角58°对应Rt△ABC中∠ACB=58°，已知BC的长度，结合正切的定义即可求出AB的高度；③观测点D的俯角为45°，可得Rt△ADE是等腰直角三角形，即AE=DE=32m，最后用AB的长度减去AE的长度，即可得到BE也就是CD的长度。
【解析】
解：如图，过 D 作 DE⊥AB 于 E，
∴∠AED=90°，
∵∠AED=∠EBC=∠DCB=90°，
∴四边形 BCDE 是矩形，
∴DE=BC=32 m，BE=DC，
由俯角的性质可得∠ACB=58°，
在 Rt△ABC 中，
$AB=BC· \tan∠ ACB=32×\tan58°\approx32×1.60\approx51(\mathrm{m})$，
由观测点D的俯角为45°，可得Rt△ADE为等腰直角三角形，即$AE=DE=32\mathrm{m}$，
∴$BE=CD=AB-AE\approx51-32=19(\mathrm{m})$。
答：建筑物AB的高约为51m，CD的高约为19m。
【答案】
解:如图,过 D 作 DE⊥AB 于 E,
∴∠AED=90°，
∴∠AED=∠EBC=∠DCB=90°，
∴四边形 BCDE 是矩形,
∴DE=BC=32 m,BE=DC,
在 Rt△ABC 中,∠ACB=58°，
∴AB=BCtan∠ACB=32×tan58°≈32×1.60≈51(m)，
∴BE=CD=AB-AE≈51-32=19(m).
答:建筑物 AB 的高约为 51 m,CD 的高约为 19 m.
【知识点】
俯角的概念，矩形的性质，解直角三角形的应用
【点评】
本题是解直角三角形在实际测量问题中的典型应用，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将实际场景中的角度、距离条件转化为几何图形的边角关系，结合三角函数的定义计算即可，侧重考查学生的建模能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
