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6.某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼BC的高度.如图所示,其中观景平台斜坡DE的长是20米,坡角为$37°$,斜坡DE底部D与大楼底端C的距离CD为74米,与地面CD垂直的路灯AE的高度是3米,从楼顶B测得路灯AE顶端A处的俯角是$42.6°$.试求大楼BC的高度.
(参考数据:$\sin 37°\approx\frac{3}{5},\cos 37°\approx\frac{4}{5},\tan 37°\approx\frac{3}{4},\sin 42.6°\approx\frac{17}{25},\cos 42.6°\approx\frac{33}{45},\tan 42.6°\approx\frac{9}{10}$)
(参考数据:$\sin 37°\approx\frac{3}{5},\cos 37°\approx\frac{4}{5},\tan 37°\approx\frac{3}{4},\sin 42.6°\approx\frac{17}{25},\cos 42.6°\approx\frac{33}{45},\tan 42.6°\approx\frac{9}{10}$)
答案
6.解:延长 AE 交 CD 的延长线于 M，
过 A 作 AN⊥BC 于 N,如图所示，
则四边形 AMCN 是矩形，
∴NC=AM,AN=MC，
在 Rt△EMD 中,∠EDM=37°，
$EM=ED×\sin37°≈20×\frac{3}{5}=12$(米)，
$DM=ED×\cos37°≈20×\frac{4}{5}=16$(米)，
∴AN=MC=CD+DM=74+16=90(米)，
在 Rt△ANB 中,∠BAN=42.6°，
$BN=AN×\tan42.6°≈90×\frac{9}{10}=81$(米)，
∴BC=BN+AE+EM=81+3+12=96(米)，
答:大楼 BC 的高度约为 96 米.
解析
【分析】
这是一道解直角三角形的实际应用题，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将分散的已知条件整合到规则图形中求解。首先我们需要作辅助线：延长AE交CD的延长线于M，过A作AN⊥BC于N，得到矩形AMCN，实现边的等量转化；接着先处理斜坡DE的相关计算，在Rt△EMD中利用坡角37°和DE的长度，通过三角函数求出EM、DM的长，进而得到水平边AN的长度；再处理俯角相关的计算，在Rt△ANB中利用俯角42.6°和AN的长度，通过正切函数求出竖直边BN的长度；最后将各段竖直高度相加即可得到大楼BC的总高度。
【解析】
延长 AE 交 CD 的延长线于 M，过 A 作 AN⊥BC 于 N，如图所示，
则四边形 AMCN 是矩形，
∴NC=AM，AN=MC，
在 Rt△EMD 中，∠EDM=37°，
$EM=ED×\sin37°≈20×\frac{3}{5}=12$(米)，
$DM=ED×\cos37°≈20×\frac{4}{5}=16$(米)，
∴AN=MC=CD+DM=74+16=90(米)，
在 Rt△ANB 中，∠BAN=42.6°，
$BN=AN×\tan42.6°≈90×\frac{9}{10}=81$(米)，
∴BC=BN+AE+EM=81+3+12=96(米)
【答案】
大楼BC的高度约为96米。
【知识点】
解直角三角形的应用、矩形的性质、坡角与俯角
【点评】
本题结合生活中的测量场景考查解直角三角形的应用，解题关键是合理构造辅助线，将实际问题转化为几何边角计算问题，需要熟练掌握三角函数的定义，结合已知条件选择合适的三角函数完成计算。
【难度系数】
0.7
这是一道解直角三角形的实际应用题，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将分散的已知条件整合到规则图形中求解。首先我们需要作辅助线：延长AE交CD的延长线于M，过A作AN⊥BC于N，得到矩形AMCN，实现边的等量转化；接着先处理斜坡DE的相关计算，在Rt△EMD中利用坡角37°和DE的长度，通过三角函数求出EM、DM的长，进而得到水平边AN的长度；再处理俯角相关的计算，在Rt△ANB中利用俯角42.6°和AN的长度，通过正切函数求出竖直边BN的长度；最后将各段竖直高度相加即可得到大楼BC的总高度。
【解析】
延长 AE 交 CD 的延长线于 M，过 A 作 AN⊥BC 于 N，如图所示，
则四边形 AMCN 是矩形，
∴NC=AM，AN=MC，
在 Rt△EMD 中，∠EDM=37°，
$EM=ED×\sin37°≈20×\frac{3}{5}=12$(米)，
$DM=ED×\cos37°≈20×\frac{4}{5}=16$(米)，
∴AN=MC=CD+DM=74+16=90(米)，
在 Rt△ANB 中，∠BAN=42.6°，
$BN=AN×\tan42.6°≈90×\frac{9}{10}=81$(米)，
∴BC=BN+AE+EM=81+3+12=96(米)
【答案】
大楼BC的高度约为96米。
【知识点】
解直角三角形的应用、矩形的性质、坡角与俯角
【点评】
本题结合生活中的测量场景考查解直角三角形的应用，解题关键是合理构造辅助线，将实际问题转化为几何边角计算问题，需要熟练掌握三角函数的定义，结合已知条件选择合适的三角函数完成计算。
【难度系数】
0.7
7.如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上.为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C.求货轮从A到B航行的距离.（结果精确到0.1海里，参考数据：$\sin 50° \approx 0.766$，$\cos 50° \approx 0.643$，$\tan 50° \approx 1.192$）
答案
7.解:过 B 作 BD⊥AC 于 D,由题意可知:
∠ABE=30°,∠BAC=30°，
则∠C=180°-30°-30°-70°=50°，
在 Rt△BCD 中,∠C=50°,BC=20(海里)，
∴BD=BCsin50°≈20×0.766=15.32(海里)，
在 Rt△ABD 中,∠BAD=30°,BD=15.32(海里)，
∴AB=2BD=30.64≈30.6(海里).
答:货轮从 A 到 B 航行的距离约为 30.6 海里.
解析
【分析】
本题是解直角三角形的实际应用类问题，解题思路可分为三步：第一步，根据方位角的定义和正北方向线互相平行的性质，推导△ABC的各个内角；第二步，由于△ABC是斜三角形，无法直接计算边长，因此过B作BD⊥AC构造两个直角三角形，把问题转化为解直角三角形问题；第三步，先在已知边长BC的Rt△BCD中用正弦函数求出公共边BD的长，再利用Rt△ABD中30°角对的直角边等于斜边一半的性质，即可求出AB的长度。
【解析】
解：过B作BD⊥AC于D，由题意可知：
A、B两点的正北方向线互相平行，故∠ABE=∠BAC=30°，
∠ABC=30°+70°=100°，
∴∠C=180°-∠BAC-∠ABC=180°-30°-100°=50°，
在Rt△BCD中，∠C=50°，BC=20海里，
∴BD=BC·sin50°≈20×0.766=15.32（海里），
在Rt△ABD中，∠BAD=30°，∠ADB=90°，
∴AB=2BD≈2×15.32=30.64≈30.6（海里）。
【答案】
货轮从A到B航行的距离约为30.6海里。
【知识点】
方位角的应用，解直角三角形，直角三角形的性质
【点评】
本题考查了解直角三角形在实际航行问题中的应用，解题的关键是正确理解方位角的含义，通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为解直角三角形的问题求解，注重对基础转化方法的考查。
【难度系数】
0.7
本题是解直角三角形的实际应用类问题，解题思路可分为三步：第一步，根据方位角的定义和正北方向线互相平行的性质，推导△ABC的各个内角；第二步，由于△ABC是斜三角形，无法直接计算边长，因此过B作BD⊥AC构造两个直角三角形，把问题转化为解直角三角形问题；第三步，先在已知边长BC的Rt△BCD中用正弦函数求出公共边BD的长，再利用Rt△ABD中30°角对的直角边等于斜边一半的性质，即可求出AB的长度。
【解析】
解：过B作BD⊥AC于D，由题意可知：
A、B两点的正北方向线互相平行，故∠ABE=∠BAC=30°，
∠ABC=30°+70°=100°，
∴∠C=180°-∠BAC-∠ABC=180°-30°-100°=50°，
在Rt△BCD中，∠C=50°，BC=20海里，
∴BD=BC·sin50°≈20×0.766=15.32（海里），
在Rt△ABD中，∠BAD=30°，∠ADB=90°，
∴AB=2BD≈2×15.32=30.64≈30.6（海里）。
【答案】
货轮从A到B航行的距离约为30.6海里。
【知识点】
方位角的应用，解直角三角形，直角三角形的性质
【点评】
本题考查了解直角三角形在实际航行问题中的应用，解题的关键是正确理解方位角的含义，通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为解直角三角形的问题求解，注重对基础转化方法的考查。
【难度系数】
0.7
