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1.欣赏著名作家巴金在他的作品《海上日出》中对日出状况的描写：“果然，过了一会儿，那里出现了太阳的小半边脸，红是红得很，却没有亮光。”这段文字中，给我们呈现了直线与圆的哪一种位置关系（
A.相离
B.相切
C.相交
D.无法确定
C
）A.相离
B.相切
C.相交
D.无法确定
答案
1.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要把文字描述的实际场景转化为几何模型：我们可以将海平面抽象为一条直线，将太阳抽象为一个圆。接下来回忆直线与圆三种位置关系的判定依据：根据公共点个数区分，无公共点为相离，1个公共点为相切，2个公共点为相交。最后结合文段“出现了太阳的小半边脸”的描述，判断两者的公共点个数，即可对应得到位置关系。
【解析】
解：首先对实际场景做几何抽象：
1. 把海平面看作一条直线，把太阳看作一个圆；
2. 根据文段描述“太阳露出小半边脸”，说明海平面这条直线穿过太阳这个圆，两者共有2个公共点；
3. 结合直线与圆的位置关系判定规则：
直线与圆相离：无公共点；
直线与圆相切：只有1个公共点；
直线与圆相交：有2个公共点。
因此该场景对应的直线与圆的位置关系是相交，故选C。
【答案】
C
【知识点】
直线与圆的位置关系；实际问题几何建模
【点评】
本题将文学描写与几何知识结合，形式新颖，考查学生将实际场景抽象为数学模型的能力，以及对直线与圆位置关系判定规则的掌握情况，引导学生关注生活中的数学现象。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要把文字描述的实际场景转化为几何模型：我们可以将海平面抽象为一条直线，将太阳抽象为一个圆。接下来回忆直线与圆三种位置关系的判定依据：根据公共点个数区分，无公共点为相离，1个公共点为相切，2个公共点为相交。最后结合文段“出现了太阳的小半边脸”的描述，判断两者的公共点个数，即可对应得到位置关系。
【解析】
解：首先对实际场景做几何抽象：
1. 把海平面看作一条直线，把太阳看作一个圆；
2. 根据文段描述“太阳露出小半边脸”，说明海平面这条直线穿过太阳这个圆，两者共有2个公共点；
3. 结合直线与圆的位置关系判定规则：
直线与圆相离：无公共点；
直线与圆相切：只有1个公共点；
直线与圆相交：有2个公共点。
因此该场景对应的直线与圆的位置关系是相交，故选C。
【答案】
C
【知识点】
直线与圆的位置关系；实际问题几何建模
【点评】
本题将文学描写与几何知识结合，形式新颖，考查学生将实际场景抽象为数学模型的能力，以及对直线与圆位置关系判定规则的掌握情况，引导学生关注生活中的数学现象。
【难度系数】
0.8
2.已知$\odot O$的半径为5，圆心O到直线$l$的距离为7，则反映直线$l$与$\odot O$的位置关系的图形是（
D
）答案
2.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确直线与圆三种位置关系的判定规则：通过比较圆心到直线的距离$d$和圆半径$r$的大小判断位置关系。第一步先从题干提取已知条件：$\odot O$的半径$r=5$，圆心到直线$l$的距离$d=7$；第二步比较$d$和$r$的大小，$7＞5$即$d＞r$，此时直线与圆为相离关系，没有公共点；第三步观察四个选项的图形，选出直线和圆无交点的选项即可。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$，圆心$O$到直线$l$的距离为$d$，直线与圆的位置关系判定规则如下：
1. 当$d＜r$时，直线与圆相交，有2个公共点；
2. 当$d=r$时，直线与圆相切，有1个公共点；
3. 当$d＞r$时，直线与圆相离，没有公共点。
由题意得$r=5$，$d=7$，因为$7＞5$，即$d＞r$，所以直线$l$与$\odot O$相离，无公共点。
观察选项：A中直线过圆心，属于相交；B中直线与圆有2个交点，属于相交；C中直线与圆有1个交点，属于相切；D中直线与圆无交点，属于相离，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查直线与圆位置关系的判定方法，只要熟记$d$与$r$的大小关系对应的三种位置特征，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确直线与圆三种位置关系的判定规则：通过比较圆心到直线的距离$d$和圆半径$r$的大小判断位置关系。第一步先从题干提取已知条件：$\odot O$的半径$r=5$，圆心到直线$l$的距离$d=7$；第二步比较$d$和$r$的大小，$7＞5$即$d＞r$，此时直线与圆为相离关系，没有公共点；第三步观察四个选项的图形，选出直线和圆无交点的选项即可。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$，圆心$O$到直线$l$的距离为$d$，直线与圆的位置关系判定规则如下：
1. 当$d＜r$时，直线与圆相交，有2个公共点；
2. 当$d=r$时，直线与圆相切，有1个公共点；
3. 当$d＞r$时，直线与圆相离，没有公共点。
由题意得$r=5$，$d=7$，因为$7＞5$，即$d＞r$，所以直线$l$与$\odot O$相离，无公共点。
观察选项：A中直线过圆心，属于相交；B中直线与圆有2个交点，属于相交；C中直线与圆有1个交点，属于相切；D中直线与圆无交点，属于相离，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查直线与圆位置关系的判定方法，只要熟记$d$与$r$的大小关系对应的三种位置特征，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
3.已知平面内有$\odot O$和点A，B，若$\odot O$半径为2 cm，线段$OA=3$ cm，$OB=2$ cm，则直线AB与$\odot O$的位置关系为 （
A.相离
B.相交
C.相切
D.相交或相切
D
）A.相离
B.相交
C.相切
D.相交或相切
答案
3.D
解析
【分析】
要判断直线AB与$\odot O$的位置关系，首先回忆判定依据：通过比较圆心到直线的距离$d$与圆半径$r$的大小判断，$d＞r$时相离，$d=r$时相切，$d＜r$时相交。先根据$OA$、$OB$的长度判断点A、B和圆的位置关系：$OA=3\mathrm{cm}＞$半径$2\mathrm{cm}$，可知点A在圆外；$OB=2\mathrm{cm}=$半径，可知点B在圆上，因此直线AB一定经过圆上的点B，不可能相离，接下来分类讨论AB与OB的位置关系即可得出结论。
【解析】
已知$\odot O$的半径$r=2\mathrm{cm}$，
$\because OA=3\mathrm{cm}＞2\mathrm{cm}$，$\therefore$点A在$\odot O$外；
$\because OB=2\mathrm{cm}=r$，$\therefore$点B在$\odot O$上，即直线AB经过$\odot O$上的点B。
分两种情况讨论：
① 当$OB⊥ AB$时，圆心O到直线AB的距离$d=OB=2\mathrm{cm}=r$，此时直线AB与$\odot O$相切；
② 当OB与AB不垂直时，根据“垂线段最短”，圆心O到直线AB的距离$d＜OB=2\mathrm{cm}=r$，此时直线AB与$\odot O$相交。
综上，直线AB与$\odot O$的位置关系为相交或相切，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 点与圆的位置关系判定
2. 直线与圆的位置关系判定
3. 垂线段最短性质
【点评】
本题考查直线与圆位置关系的判断，解题关键是先确定点B在圆上，再分类讨论直线AB与OB是否垂直，易错点是遗漏OB垂直AB的特殊情况，误选B选项。
【难度系数】
0.7
要判断直线AB与$\odot O$的位置关系，首先回忆判定依据：通过比较圆心到直线的距离$d$与圆半径$r$的大小判断，$d＞r$时相离，$d=r$时相切，$d＜r$时相交。先根据$OA$、$OB$的长度判断点A、B和圆的位置关系：$OA=3\mathrm{cm}＞$半径$2\mathrm{cm}$，可知点A在圆外；$OB=2\mathrm{cm}=$半径，可知点B在圆上，因此直线AB一定经过圆上的点B，不可能相离，接下来分类讨论AB与OB的位置关系即可得出结论。
【解析】
已知$\odot O$的半径$r=2\mathrm{cm}$，
$\because OA=3\mathrm{cm}＞2\mathrm{cm}$，$\therefore$点A在$\odot O$外；
$\because OB=2\mathrm{cm}=r$，$\therefore$点B在$\odot O$上，即直线AB经过$\odot O$上的点B。
分两种情况讨论：
① 当$OB⊥ AB$时，圆心O到直线AB的距离$d=OB=2\mathrm{cm}=r$，此时直线AB与$\odot O$相切；
② 当OB与AB不垂直时，根据“垂线段最短”，圆心O到直线AB的距离$d＜OB=2\mathrm{cm}=r$，此时直线AB与$\odot O$相交。
综上，直线AB与$\odot O$的位置关系为相交或相切，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 点与圆的位置关系判定
2. 直线与圆的位置关系判定
3. 垂线段最短性质
【点评】
本题考查直线与圆位置关系的判断，解题关键是先确定点B在圆上，再分类讨论直线AB与OB是否垂直，易错点是遗漏OB垂直AB的特殊情况，误选B选项。
【难度系数】
0.7
4.已知在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，圆A的半径为3，则与圆A相切的边是（
A.AB
B.AD
C.BC
D.CD
D
）A.AB
B.AD
C.BC
D.CD
答案
4.D
解析
【分析】
要判断矩形的边与圆A是否相切，依据直线与圆相切的判定规则：当圆心到直线的距离等于圆的半径时，直线与圆相切。解题时可先利用矩形的性质排除明显不符合的边：点A是矩形的顶点，在边AB、AD上，因此这两条边到圆心A的距离为0，小于半径3，不可能相切；只需再计算点A到剩余两条边BC、CD的距离，和半径3对比即可得到结果。
【解析】
结合矩形性质和直线与圆的位置关系判定规则求解：
已知矩形ABCD中四个角均为直角，AB=4，AD=3，圆A半径r=3。
1. 点A在边AB、AD上，因此圆心A到AB、AD的距离均为0，0＜3，故AB、AD与圆A相交，排除A、B选项；
2. 边BC与AD平行，根据矩形对边的性质，点A到BC的距离等于AB的长度4，4＞3，故BC与圆A相离，排除C选项；
3. 边CD与AB平行，点A到CD的距离等于AD的长度3，3=3，满足直线与圆相切的条件，故CD与圆A相切。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；矩形的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查直线与圆相切的判定条件，结合矩形的性质就能快速算出圆心到各边的距离，解题时注意不要混淆矩形两组对边对应的距离即可。
【难度系数】
0.8
要判断矩形的边与圆A是否相切，依据直线与圆相切的判定规则：当圆心到直线的距离等于圆的半径时，直线与圆相切。解题时可先利用矩形的性质排除明显不符合的边：点A是矩形的顶点，在边AB、AD上，因此这两条边到圆心A的距离为0，小于半径3，不可能相切；只需再计算点A到剩余两条边BC、CD的距离，和半径3对比即可得到结果。
【解析】
结合矩形性质和直线与圆的位置关系判定规则求解：
已知矩形ABCD中四个角均为直角，AB=4，AD=3，圆A半径r=3。
1. 点A在边AB、AD上，因此圆心A到AB、AD的距离均为0，0＜3，故AB、AD与圆A相交，排除A、B选项；
2. 边BC与AD平行，根据矩形对边的性质，点A到BC的距离等于AB的长度4，4＞3，故BC与圆A相离，排除C选项；
3. 边CD与AB平行，点A到CD的距离等于AD的长度3，3=3，满足直线与圆相切的条件，故CD与圆A相切。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；矩形的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查直线与圆相切的判定条件，结合矩形的性质就能快速算出圆心到各边的距离，解题时注意不要混淆矩形两组对边对应的距离即可。
【难度系数】
0.8
5.在平面直角坐标系中,以点(2,1)为圆心,半径为1的圆与x轴的位置关系是
相切
.(填“相切”“相离”或“相交”)答案
5.相切
解析
【分析】
要判断圆与x轴的位置关系，需用到直线与圆位置关系的判定方法：先求出圆心到直线的距离d，再将d与圆的半径r比较大小：若d＞r则相离，d=r则相切，d＜r则相交。本题中x轴是直线y=0，平面直角坐标系内点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，因此先计算圆心(2,1)到x轴的距离，再和半径1对比即可得到结论。
【解析】
解：已知圆的圆心坐标为(2,1)，半径r=1。
圆心到x轴的距离d为圆心纵坐标的绝对值，即$d = |1| = 1$。
对比d和r的大小可得$d=r$，因此该圆与x轴的位置关系是相切。
【答案】
相切
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；点到坐标轴的距离计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查直线与圆位置关系的判定逻辑，熟练掌握“比较圆心到直线的距离与半径大小”的判定方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要判断圆与x轴的位置关系，需用到直线与圆位置关系的判定方法：先求出圆心到直线的距离d，再将d与圆的半径r比较大小：若d＞r则相离，d=r则相切，d＜r则相交。本题中x轴是直线y=0，平面直角坐标系内点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，因此先计算圆心(2,1)到x轴的距离，再和半径1对比即可得到结论。
【解析】
解：已知圆的圆心坐标为(2,1)，半径r=1。
圆心到x轴的距离d为圆心纵坐标的绝对值，即$d = |1| = 1$。
对比d和r的大小可得$d=r$，因此该圆与x轴的位置关系是相切。
【答案】
相切
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；点到坐标轴的距离计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查直线与圆位置关系的判定逻辑，熟练掌握“比较圆心到直线的距离与半径大小”的判定方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6.如图，MN表示某输水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东$30°$，M的南偏东$60°$方向上有一点A，以点A为圆心，500 m为半径的圆形区域内为居民区。取MN上另一点B，测得BA方向为南偏东$75°$。已知$MB=400$ m，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区？
答案
6.解:如图,过点 A 作$AC⊥MN$于点C.
$\because ∠ABC=75^{\circ }-30^{\circ }=45^{\circ },AC⊥MN,$
$\therefore AC=BC$.设$AC=x$ m,则$BC=x$ m.
在$Rt△ACM$中,$MC=(400+x)$ m,
$\therefore tan∠AMC=\frac {AC}{MC}$,即$\frac {\sqrt {3}}{3}=\frac {x}{400+x},$
解得$x=200+200\sqrt {3}＞500,$
$\therefore$ 如果不改变方向,输水路线不会穿过居民区.
解析
【分析】
要判断输水路线是否穿过居民区，本质是判断直线MN与以A为圆心、500m为半径的圆的位置关系，只需计算圆心A到直线MN的距离，再和500m比较：若距离大于500m则不穿过，小于则穿过。首先过A作AC⊥MN于C，AC即为所求距离。结合方向角可推出∠AMC=30°，∠ABC=45°，得到△ABC是等腰直角三角形，△ACM是含30°角的直角三角形，设AC=x，利用三角函数列方程求解即可。
【解析】
过点A作$AC⊥MN$于点C。
由方向角的定义可得：
$∠ AMC = 60° - 30° = 30°$，$∠ ABC = 75° - 30° = 45°$。
$\because AC⊥ MN$，$\therefore ∠ ACB=90°$，
$\therefore △ ABC$为等腰直角三角形，即$AC=BC$。
设$AC=x\ \mathrm{m}$，则$BC=x\ \mathrm{m}$，$MC=MB+BC=(400+x)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，$\tan∠ AMC=\frac{AC}{MC}$，
代入$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，得：
$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{x}{400+x}$，
交叉相乘整理得：$3x=\sqrt{3}(400+x)$，
解得$x=200+200\sqrt{3}$。
$\because 200+200\sqrt{3}\approx546.4＞500$，即圆心A到MN的距离大于圆的半径，
$\therefore$ 输水路线不会和居民区相交，即不会穿过居民区。
【答案】
6.解:如图,过点 A 作$AC⊥MN$于点C.
$\because ∠ABC=75^{\circ }-30^{\circ }=45^{\circ },AC⊥MN,$
$\therefore AC=BC$.设$AC=x$ m,则$BC=x$ m.
在$Rt△ACM$中,$MC=(400+x)$ m,
$\therefore tan∠AMC=\frac {AC}{MC}$,即$\frac {\sqrt {3}}{3}=\frac {x}{400+x},$
解得$x=200+200\sqrt {3}＞500,$
$\therefore$ 如果不改变方向,输水路线不会穿过居民区.
【知识点】
方向角的应用；解直角三角形；直线与圆位置关系判定
【点评】
本题属于几何实际应用题，将实际问题转化为直线与圆的位置关系判定问题是解题的切入点，通过作垂线构造直角三角形，结合特殊角的三角函数建立方程求解即可，解题的关键是准确根据方向角得到三角形内的角度值。
【难度系数】
0.6
要判断输水路线是否穿过居民区，本质是判断直线MN与以A为圆心、500m为半径的圆的位置关系，只需计算圆心A到直线MN的距离，再和500m比较：若距离大于500m则不穿过，小于则穿过。首先过A作AC⊥MN于C，AC即为所求距离。结合方向角可推出∠AMC=30°，∠ABC=45°，得到△ABC是等腰直角三角形，△ACM是含30°角的直角三角形，设AC=x，利用三角函数列方程求解即可。
【解析】
过点A作$AC⊥MN$于点C。
由方向角的定义可得：
$∠ AMC = 60° - 30° = 30°$，$∠ ABC = 75° - 30° = 45°$。
$\because AC⊥ MN$，$\therefore ∠ ACB=90°$，
$\therefore △ ABC$为等腰直角三角形，即$AC=BC$。
设$AC=x\ \mathrm{m}$，则$BC=x\ \mathrm{m}$，$MC=MB+BC=(400+x)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACM$中，$\tan∠ AMC=\frac{AC}{MC}$，
代入$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，得：
$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{x}{400+x}$，
交叉相乘整理得：$3x=\sqrt{3}(400+x)$，
解得$x=200+200\sqrt{3}$。
$\because 200+200\sqrt{3}\approx546.4＞500$，即圆心A到MN的距离大于圆的半径，
$\therefore$ 输水路线不会和居民区相交，即不会穿过居民区。
【答案】
6.解:如图,过点 A 作$AC⊥MN$于点C.
$\because ∠ABC=75^{\circ }-30^{\circ }=45^{\circ },AC⊥MN,$
$\therefore AC=BC$.设$AC=x$ m,则$BC=x$ m.
在$Rt△ACM$中,$MC=(400+x)$ m,
$\therefore tan∠AMC=\frac {AC}{MC}$,即$\frac {\sqrt {3}}{3}=\frac {x}{400+x},$
解得$x=200+200\sqrt {3}＞500,$
$\therefore$ 如果不改变方向,输水路线不会穿过居民区.
【知识点】
方向角的应用；解直角三角形；直线与圆位置关系判定
【点评】
本题属于几何实际应用题，将实际问题转化为直线与圆的位置关系判定问题是解题的切入点，通过作垂线构造直角三角形，结合特殊角的三角函数建立方程求解即可，解题的关键是准确根据方向角得到三角形内的角度值。
【难度系数】
0.6
