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7.如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边($OC ⊥ OB$，点A，B，C，D，O在同一平面内)，已知$AB=a$，$AD=b$，$∠ BCO=x$，则点A到OC的距离为（
A.$a\sin x + b\sin x$
B.$a\cos x + b\cos x$
C.$a\sin x + b\cos x$
D.$a\cos x + b\sin x$
D
）A.$a\sin x + b\sin x$
B.$a\cos x + b\cos x$
C.$a\sin x + b\cos x$
D.$a\cos x + b\sin x$
答案
D
解析
【分析】
要计算点A到OC的距离，可通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将所求距离拆分为两段分别求解：首先过点A作OC的垂线，再过点B作该垂线的垂线，同时过点B作OC的垂线，利用矩形的性质得到两段距离的关系，再结合同角的余角相等找到相等的锐角，最后利用解直角三角形的知识分别计算两段长度，相加即可得到结果。
【解析】
过点A作$AE ⊥ OC$于点E，过点B作$BF ⊥ AE$于点F，过点B作$BG ⊥ OC$于点G。
∵ $AE ⊥ OC$，$BG ⊥ OC$，$BF ⊥ AE$，
∴ 四边形BGEF是矩形，
∴ $FE=BG$，$∠ FBG=90°$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠ ABC=90°$，$BC=AD=b$。
∴ $∠ ABF + ∠ FBC = 90°$，又$∠ FBC + ∠ CBG = ∠ FBG=90°$，
∴ $∠ ABF=∠ CBG$。
∵ $BG ⊥ OC$，
∴ $∠ CBG + ∠ BCO=90°$，已知$∠ BCO=x$，
∴ $∠ ABF=∠ BCO=x$。
在$Rt△ ABF$中，$AB=a$，$∠ ABF=x$，
∴ $AF=AB· \cos x = a\cos x$。
在$Rt△ BCG$中，$BC=b$，$∠ BCO=x$，
∴ $BG=BC· \sin x = b\sin x$，即$FE=b\sin x$。
∴ 点A到OC的距离$AE=AF+FE=a\cos x + b\sin x$。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质，解直角三角形，点到直线的距离
【点评】
本题是解直角三角形的典型应用类题目，解题核心是通过添加辅助线将未知的距离转化为两个直角三角形的边长之和，既考查了矩形的基本性质，也考查了锐角三角函数的实际应用，渗透了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
要计算点A到OC的距离，可通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将所求距离拆分为两段分别求解：首先过点A作OC的垂线，再过点B作该垂线的垂线，同时过点B作OC的垂线，利用矩形的性质得到两段距离的关系，再结合同角的余角相等找到相等的锐角，最后利用解直角三角形的知识分别计算两段长度，相加即可得到结果。
【解析】
过点A作$AE ⊥ OC$于点E，过点B作$BF ⊥ AE$于点F，过点B作$BG ⊥ OC$于点G。
∵ $AE ⊥ OC$，$BG ⊥ OC$，$BF ⊥ AE$，
∴ 四边形BGEF是矩形，
∴ $FE=BG$，$∠ FBG=90°$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠ ABC=90°$，$BC=AD=b$。
∴ $∠ ABF + ∠ FBC = 90°$，又$∠ FBC + ∠ CBG = ∠ FBG=90°$，
∴ $∠ ABF=∠ CBG$。
∵ $BG ⊥ OC$，
∴ $∠ CBG + ∠ BCO=90°$，已知$∠ BCO=x$，
∴ $∠ ABF=∠ BCO=x$。
在$Rt△ ABF$中，$AB=a$，$∠ ABF=x$，
∴ $AF=AB· \cos x = a\cos x$。
在$Rt△ BCG$中，$BC=b$，$∠ BCO=x$，
∴ $BG=BC· \sin x = b\sin x$，即$FE=b\sin x$。
∴ 点A到OC的距离$AE=AF+FE=a\cos x + b\sin x$。
【答案】
D
【知识点】
矩形的性质，解直角三角形，点到直线的距离
【点评】
本题是解直角三角形的典型应用类题目，解题核心是通过添加辅助线将未知的距离转化为两个直角三角形的边长之和，既考查了矩形的基本性质，也考查了锐角三角函数的实际应用，渗透了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
8.小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1所示.纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形,其示意图如图2所示.已知AD=BE=10 cm,CD=CE=5 cm,AD⊥CD,BE⊥CE,∠DCE=40°.(结果精确到0.1 cm,参考数据:sin 20°≈0.34,cos 20°≈0.94,tan 20°≈0.36,sin 40°≈0.64,cos 40°≈0.77,tan 40°≈0.84)
(1)连结DE,求线段DE的长.
(2)求点A,B之间的距离.
(1)连结DE,求线段DE的长.
(2)求点A,B之间的距离.
答案
(1)解:如图,过点$C$作$CF⊥ DE$于点$F$,
$DF=CD· \sin20°\approx5×0.34=1.7,\therefore DE=2DF=3.4\ \mathrm{cm}$。
(2)解:如图,连结$AB$.设纸飞机机尾的横截面的对称轴为直线$l$,
则$AB⊥ l,DE⊥ l,\therefore AB// DE$.过点$D$作$DG⊥ AB$于点$G$,
过点$E$作$EH⊥ AB$于点$H$,易证四边形$DGHE$是矩形,
$\therefore DE=HG,\therefore DG// l,EH// l$,
$\therefore ∠ GDC=∠ CEH=\frac{1}{2}∠ DCE=20°$,
$\because AD⊥ CD,BE⊥ CE,\therefore ∠ DAB=∠ GDC=20°$,
$∠ EBH=∠ CEH=20°$,
$\therefore AG=AD· \cos20°\approx10×0.94=9.4$,
$BH=BE· \cos20°\approx10×0.94=9.4$,
$\therefore AB=BH+AG+DE=22.2\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
(1) 求DE长度时，观察到△CDE是等腰三角形，CD=CE且已知顶角∠DCE=40°，可利用等腰三角形三线合一的性质，过C作DE的垂线，将△CDE拆分为两个全等的直角三角形，用锐角三角函数求出DE的一半，即可得到DE总长。
(2) 求AB长度时，结合图形是轴对称图形的性质，可知对称轴同时垂直于AB和DE，可推出AB//DE；通过作DG、EH垂直于AB构造矩形DGHE，将AB拆分为AG、GH、HB三段，其中GH等于DE；再通过角度互推得到∠DAB、∠EBH均为20°，在直角三角形中用三角函数求出AG、BH的长度，三者相加即可得到AB的长度。
【解析】
(1) 过点$C$作$CF⊥ DE$于点$F$，
∵ $CD=CE=5\ \mathrm{cm}$，$∠ DCE=40°$，
∴ CF平分$∠ DCE$，$DF=EF$，即$∠ DCF=20°$。
在$\mathrm{Rt}△ CDF$中，$\sin∠ DCF=\frac{DF}{CD}$，
∴ $DF=CD· \sin20°\approx5×0.34=1.7\ \mathrm{cm}$，
∴ $DE=2DF=2×1.7=3.4\ \mathrm{cm}$。
(2) 连结$AB$，设纸飞机机尾横截面的对称轴为直线$l$，
∵ 图形是轴对称图形，
∴ $AB⊥ l$，$DE⊥ l$，
∴ $AB// DE$。
过点$D$作$DG⊥ AB$于点$G$，过点$E$作$EH⊥ AB$于点$H$，
则$∠ DGH=∠ EHG=90°$，结合$AB// DE$，可证四边形$DGHE$是矩形，
∴ $HG=DE=3.4\ \mathrm{cm}$，且$DG// l$，$EH// l$，
∴ $∠ GDC=\frac{1}{2}∠ DCE=20°$，同理$∠ CEH=20°$。
∵ $AD⊥ CD$，$BE⊥ CE$，
∴ $∠ ADG+∠ GDC=90°$，$∠ DAB+∠ ADG=90°$，
∴ $∠ DAB=∠ GDC=20°$，同理$∠ EBH=∠ CEH=20°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADG$中，$\cos∠ DAB=\frac{AG}{AD}$，
∴ $AG=AD· \cos20°\approx10×0.94=9.4\ \mathrm{cm}$，
同理$BH=BE· \cos20°\approx10×0.94=9.4\ \mathrm{cm}$，
∴ $AB=AG+GH+BH=9.4+3.4+9.4=22.2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1)解:如图,过点$C$作$CF⊥ DE$于点$F$,
$DF=CD· \sin20°\approx5×0.34=1.7,\therefore DE=2DF=3.4\ \mathrm{cm}$。
(2)解:如图,连结$AB$.设纸飞机机尾的横截面的对称轴为直线$l$,
则$AB⊥ l,DE⊥ l,\therefore AB// DE$.过点$D$作$DG⊥ AB$于点$G$,
过点$E$作$EH⊥ AB$于点$H$,易证四边形$DGHE$是矩形,
$\therefore DE=HG,\therefore DG// l,EH// l$,
$\therefore ∠ GDC=∠ CEH=\frac{1}{2}∠ DCE=20°$,
$\because AD⊥ CD,BE⊥ CE,\therefore ∠ DAB=∠ GDC=20°$,
$∠ EBH=∠ CEH=20°$,
$\therefore AG=AD· \cos20°\approx10×0.94=9.4$,
$BH=BE· \cos20°\approx10×0.94=9.4$,
$\therefore AB=BH+AG+DE=22.2\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
解直角三角形；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【点评】
本题以生活中常见的纸飞机为情境，将几何知识与实际问题结合，考查了等腰三角形、轴对称、矩形判定以及解直角三角形的综合运用，解题核心是合理作辅助线构造直角三角形和矩形，将未知线段转化为可通过三角函数计算的线段，能够锻炼学生将实际问题转化为数学问题的应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求DE长度时，观察到△CDE是等腰三角形，CD=CE且已知顶角∠DCE=40°，可利用等腰三角形三线合一的性质，过C作DE的垂线，将△CDE拆分为两个全等的直角三角形，用锐角三角函数求出DE的一半，即可得到DE总长。
(2) 求AB长度时，结合图形是轴对称图形的性质，可知对称轴同时垂直于AB和DE，可推出AB//DE；通过作DG、EH垂直于AB构造矩形DGHE，将AB拆分为AG、GH、HB三段，其中GH等于DE；再通过角度互推得到∠DAB、∠EBH均为20°，在直角三角形中用三角函数求出AG、BH的长度，三者相加即可得到AB的长度。
【解析】
(1) 过点$C$作$CF⊥ DE$于点$F$，
∵ $CD=CE=5\ \mathrm{cm}$，$∠ DCE=40°$，
∴ CF平分$∠ DCE$，$DF=EF$，即$∠ DCF=20°$。
在$\mathrm{Rt}△ CDF$中，$\sin∠ DCF=\frac{DF}{CD}$，
∴ $DF=CD· \sin20°\approx5×0.34=1.7\ \mathrm{cm}$，
∴ $DE=2DF=2×1.7=3.4\ \mathrm{cm}$。
(2) 连结$AB$，设纸飞机机尾横截面的对称轴为直线$l$，
∵ 图形是轴对称图形，
∴ $AB⊥ l$，$DE⊥ l$，
∴ $AB// DE$。
过点$D$作$DG⊥ AB$于点$G$，过点$E$作$EH⊥ AB$于点$H$，
则$∠ DGH=∠ EHG=90°$，结合$AB// DE$，可证四边形$DGHE$是矩形，
∴ $HG=DE=3.4\ \mathrm{cm}$，且$DG// l$，$EH// l$，
∴ $∠ GDC=\frac{1}{2}∠ DCE=20°$，同理$∠ CEH=20°$。
∵ $AD⊥ CD$，$BE⊥ CE$，
∴ $∠ ADG+∠ GDC=90°$，$∠ DAB+∠ ADG=90°$，
∴ $∠ DAB=∠ GDC=20°$，同理$∠ EBH=∠ CEH=20°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADG$中，$\cos∠ DAB=\frac{AG}{AD}$，
∴ $AG=AD· \cos20°\approx10×0.94=9.4\ \mathrm{cm}$，
同理$BH=BE· \cos20°\approx10×0.94=9.4\ \mathrm{cm}$，
∴ $AB=AG+GH+BH=9.4+3.4+9.4=22.2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1)解:如图,过点$C$作$CF⊥ DE$于点$F$,
$DF=CD· \sin20°\approx5×0.34=1.7,\therefore DE=2DF=3.4\ \mathrm{cm}$。
(2)解:如图,连结$AB$.设纸飞机机尾的横截面的对称轴为直线$l$,
则$AB⊥ l,DE⊥ l,\therefore AB// DE$.过点$D$作$DG⊥ AB$于点$G$,
过点$E$作$EH⊥ AB$于点$H$,易证四边形$DGHE$是矩形,
$\therefore DE=HG,\therefore DG// l,EH// l$,
$\therefore ∠ GDC=∠ CEH=\frac{1}{2}∠ DCE=20°$,
$\because AD⊥ CD,BE⊥ CE,\therefore ∠ DAB=∠ GDC=20°$,
$∠ EBH=∠ CEH=20°$,
$\therefore AG=AD· \cos20°\approx10×0.94=9.4$,
$BH=BE· \cos20°\approx10×0.94=9.4$,
$\therefore AB=BH+AG+DE=22.2\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
解直角三角形；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【点评】
本题以生活中常见的纸飞机为情境，将几何知识与实际问题结合，考查了等腰三角形、轴对称、矩形判定以及解直角三角形的综合运用，解题核心是合理作辅助线构造直角三角形和矩形，将未知线段转化为可通过三角函数计算的线段，能够锻炼学生将实际问题转化为数学问题的应用能力。
【难度系数】
0.7
9.探究:已知如图
,在△ABC中,∠A=α(0°＜α＜90°),AB=c,AC=b,试用含b,c,α的式子表示△ABC的面积.
应用:如图
,在ABCD中,对角线AC,BD相交成的锐角为α,若AC=a,BD=b,试用含a,b,α的式子表示ABCD的面积.
,在△ABC中,∠A=α(0°＜α＜90°),AB=c,AC=b,试用含b,c,α的式子表示△ABC的面积.应用:如图
,在ABCD中,对角线AC,BD相交成的锐角为α,若AC=a,BD=b,试用含a,b,α的式子表示ABCD的面积.答案
探究:过点$B$作$BD⊥ AC$,垂足为$D$.$\because AB=c,∠ A=α$,
$\therefore BD=c· \sinα$,
$\therefore S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BD=\frac{1}{2}bc\sinα$。
应用:由探究易知:$S_{△ DOC}=\frac{1}{2}· OD· OC· \sinα$,
而$OC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}a,OD=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}b$,
$\therefore S_{△ DOC}=\frac{1}{8}ab\sinα,S_{□ ABCD}=4S_{△ DOC}=\frac{1}{2}ab\sinα$。
解析
【分析】
探究部分：计算三角形面积需要用到“$\frac{1}{2}×底×高$”的公式，本题已知底$AC=b$，因此只需过点$B$作$AC$的垂线得到对应高，再利用锐角三角函数中正弦的定义求出高的长度，代入面积公式即可得到结果。
应用部分：平行四边形的对角线互相平分，两条对角线将平行四边形分成4个可使用探究结论计算面积的小三角形，先求出单个小三角形的面积，再乘4即可得到平行四边形的总面积。
【解析】
探究：
过点$B$作$BD⊥ AC$，垂足为$D$。
$\because AB=c$，$∠ A=α$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，根据正弦的定义$\sinα=\frac{BD}{AB}$，
$\therefore BD=c· \sinα$，
代入三角形面积公式得：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BD=\frac{1}{2}bc\sinα$。
应用：
根据探究得到的结论，已知两边及夹角的三角形面积为$\frac{1}{2}×两边长度乘积×\sin夹角$。
在$□ ABCD$中，对角线互相平分，因此$OC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}a$，$OD=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}b$，且对角线相交的锐角为$α$，即$∠ DOC=α$，
$\therefore S_{△ DOC}=\frac{1}{2}· OD· OC· \sinα=\frac{1}{8}ab\sinα$，
平行四边形被对角线分成的4个小三角形面积相等，因此$S_{□ ABCD}=4S_{△ DOC}=4×\frac{1}{8}ab\sinα=\frac{1}{2}ab\sinα$。
【答案】
探究：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}bc\sinα$
应用：$S_{□ ABCD}=\frac{1}{2}ab\sinα$
【知识点】
锐角三角函数定义、三角形面积计算、平行四边形性质
【点评】
本题属于探究应用型题目，先通过构造直角三角形推导得到已知两边及夹角的三角形面积公式，再将结论迁移应用到平行四边形面积的求解中，考查了知识的灵活运用和迁移能力。
【难度系数】
0.7
探究部分：计算三角形面积需要用到“$\frac{1}{2}×底×高$”的公式，本题已知底$AC=b$，因此只需过点$B$作$AC$的垂线得到对应高，再利用锐角三角函数中正弦的定义求出高的长度，代入面积公式即可得到结果。
应用部分：平行四边形的对角线互相平分，两条对角线将平行四边形分成4个可使用探究结论计算面积的小三角形，先求出单个小三角形的面积，再乘4即可得到平行四边形的总面积。
【解析】
探究：
过点$B$作$BD⊥ AC$，垂足为$D$。
$\because AB=c$，$∠ A=α$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，根据正弦的定义$\sinα=\frac{BD}{AB}$，
$\therefore BD=c· \sinα$，
代入三角形面积公式得：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BD=\frac{1}{2}bc\sinα$。
应用：
根据探究得到的结论，已知两边及夹角的三角形面积为$\frac{1}{2}×两边长度乘积×\sin夹角$。
在$□ ABCD$中，对角线互相平分，因此$OC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}a$，$OD=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}b$，且对角线相交的锐角为$α$，即$∠ DOC=α$，
$\therefore S_{△ DOC}=\frac{1}{2}· OD· OC· \sinα=\frac{1}{8}ab\sinα$，
平行四边形被对角线分成的4个小三角形面积相等，因此$S_{□ ABCD}=4S_{△ DOC}=4×\frac{1}{8}ab\sinα=\frac{1}{2}ab\sinα$。
【答案】
探究：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}bc\sinα$
应用：$S_{□ ABCD}=\frac{1}{2}ab\sinα$
【知识点】
锐角三角函数定义、三角形面积计算、平行四边形性质
【点评】
本题属于探究应用型题目，先通过构造直角三角形推导得到已知两边及夹角的三角形面积公式，再将结论迁移应用到平行四边形面积的求解中，考查了知识的灵活运用和迁移能力。
【难度系数】
0.7
