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1.在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\sin A=\dfrac{3}{5}$，$BC=6$，则$AB$的长为（
A.4
B.6
C.8
D.10
D
）A.4
B.6
C.8
D.10
答案
D
解析
【分析】
本题是直角三角形中已知锐角正弦值和对边长求斜边长的基础题，解题时首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值。首先确定∠A的对边和斜边，再将已知数值代入正弦公式列等式，最后求解即可得到AB的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正弦函数的定义可得：
$\sin A=\dfrac{∠ A的对边}{斜边}=\dfrac{BC}{AB}$
已知$\sin A=\dfrac{3}{5}$，$BC=6$，代入上式得：
$\dfrac{3}{5}=\dfrac{6}{AB}$
解得$AB=6÷\dfrac{3}{5}=6×\dfrac{5}{3}=10$
【答案】
D
【知识点】
正弦的定义，解直角三角形
【点评】
本题属于基础题型，核心考查锐角正弦函数的基本概念，只要准确区分直角三角形中锐角的对边、斜边，牢记正弦的计算公式即可快速解答。
【难度系数】
0.9
本题是直角三角形中已知锐角正弦值和对边长求斜边长的基础题，解题时首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值。首先确定∠A的对边和斜边，再将已知数值代入正弦公式列等式，最后求解即可得到AB的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正弦函数的定义可得：
$\sin A=\dfrac{∠ A的对边}{斜边}=\dfrac{BC}{AB}$
已知$\sin A=\dfrac{3}{5}$，$BC=6$，代入上式得：
$\dfrac{3}{5}=\dfrac{6}{AB}$
解得$AB=6÷\dfrac{3}{5}=6×\dfrac{5}{3}=10$
【答案】
D
【知识点】
正弦的定义，解直角三角形
【点评】
本题属于基础题型，核心考查锐角正弦函数的基本概念，只要准确区分直角三角形中锐角的对边、斜边，牢记正弦的计算公式即可快速解答。
【难度系数】
0.9
2.为了解决楼房之间的采光问题,某市有关部门规定:两幢楼房之间的最小距离要使中午12时不能遮光.如图,旧楼的一楼窗台高1米,现计划在旧楼右侧50米处再建一幢新楼.若该市冬天中午12时太阳照射的光线与水平线的夹角最小为α度,则新楼最高可建 （
A.$50\tanα$米
B.$\frac{50}{\tanα}$米
C.$(50\tanα +1)$米
D.$(\frac{50}{\tanα}+1)$米
C
）A.$50\tanα$米
B.$\frac{50}{\tanα}$米
C.$(50\tanα +1)$米
D.$(\frac{50}{\tanα}+1)$米
答案
C
解析
【分析】
我们可将实际采光问题转化为解直角三角形的数学问题：观察图形可知，太阳光线、两楼的水平连线、新楼高出旧楼窗台的部分刚好构成直角三角形，已知两楼水平距离为50m，光线与水平线夹角为$α$，我们可以先通过正切的定义求出新楼比旧楼窗台高出的高度，再加上旧楼窗台的1米高度，即可得到新楼的最大高度。
【解析】
设新楼高出旧楼窗台的部分高度为$h$米，
在光线、水平距离、高出部分构成的直角三角形中：
锐角$α$的对边为$h$，邻边为两楼的水平距离50m，
根据正切的定义$\tanα=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}$，可得$\tanα=\frac{h}{50}$，
解得$h=50\tanα$。
已知旧楼窗台高1米，因此新楼的最高总高度为$(50\tanα +1)$米。
综上本题选C。
【答案】
C
【知识点】
正切的定义；解直角三角形的实际应用
【点评】
本题是解直角三角形在生活中的典型应用，解题核心是从实际场景中抽象出直角三角形模型，准确匹配锐角对应的对边和邻边，结合三角函数定义列式计算即可，解题时注意不要遗漏窗台的1米高度，避免误选A选项。
【难度系数】
0.7
我们可将实际采光问题转化为解直角三角形的数学问题：观察图形可知，太阳光线、两楼的水平连线、新楼高出旧楼窗台的部分刚好构成直角三角形，已知两楼水平距离为50m，光线与水平线夹角为$α$，我们可以先通过正切的定义求出新楼比旧楼窗台高出的高度，再加上旧楼窗台的1米高度，即可得到新楼的最大高度。
【解析】
设新楼高出旧楼窗台的部分高度为$h$米，
在光线、水平距离、高出部分构成的直角三角形中：
锐角$α$的对边为$h$，邻边为两楼的水平距离50m，
根据正切的定义$\tanα=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}$，可得$\tanα=\frac{h}{50}$，
解得$h=50\tanα$。
已知旧楼窗台高1米，因此新楼的最高总高度为$(50\tanα +1)$米。
综上本题选C。
【答案】
C
【知识点】
正切的定义；解直角三角形的实际应用
【点评】
本题是解直角三角形在生活中的典型应用，解题核心是从实际场景中抽象出直角三角形模型，准确匹配锐角对应的对边和邻边，结合三角函数定义列式计算即可，解题时注意不要遗漏窗台的1米高度，避免误选A选项。
【难度系数】
0.7
3.在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=2\sqrt{7}$，$AC=\sqrt{21}$，则$∠ A=$（
A.$75°$
B.$60°$
C.$45°$
D.$30°$
D
）A.$75°$
B.$60°$
C.$45°$
D.$30°$
答案
D
解析
【分析】
本题是直角三角形中求角度的问题，解题思路如下：首先明确直角三角形中锐角三角函数的定义，已知∠C为直角，AB是斜边，AC是∠A的邻边，因此选择余弦函数计算∠A的三角函数值，再结合特殊角的三角函数值即可确定∠A的度数。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据余弦的定义可得：
$\cos A=\frac{∠ A的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}$
将$AB=2\sqrt{7}$，$AC=\sqrt{21}$代入得：
$\cos A=\frac{\sqrt{21}}{2\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}×\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
因为$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$∠ A=30°$。
【答案】
D
【知识点】
余弦的定义；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题，主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义以及特殊角的三角函数值是快速解题的核心。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形中求角度的问题，解题思路如下：首先明确直角三角形中锐角三角函数的定义，已知∠C为直角，AB是斜边，AC是∠A的邻边，因此选择余弦函数计算∠A的三角函数值，再结合特殊角的三角函数值即可确定∠A的度数。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据余弦的定义可得：
$\cos A=\frac{∠ A的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}$
将$AB=2\sqrt{7}$，$AC=\sqrt{21}$代入得：
$\cos A=\frac{\sqrt{21}}{2\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}×\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
因为$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$∠ A=30°$。
【答案】
D
【知识点】
余弦的定义；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题，主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义以及特殊角的三角函数值是快速解题的核心。
【难度系数】
0.8
4.如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，∠ABC=27°，BC=44 cm，则高AD约为（参考数据：$\sin27°\approx0.45$，$\cos27°\approx0.89$，$\tan27°\approx0.51$）（
A.9.90 cm
B.11.22 cm
C.19.58 cm
D.22.44 cm
B
）A.9.90 cm
B.11.22 cm
C.19.58 cm
D.22.44 cm
答案
B
解析
【分析】
首先明确衣架对应的等腰三角形ABC中AD是底边BC的高，解题分两步思考：第一步，利用等腰三角形“三线合一”的性质，求出底边一半BD的长度；第二步，在Rt△ABD中，已知锐角∠B的度数和邻边BD的长度，要求对边AD，选择正切三角函数建立等量关系，代入参考数据计算即可得到结果。
【解析】
∵$AB=AC$，$AD⊥ BC$，$BC=44\ \mathrm{cm}$，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，得$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×44=22\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ADB=90°$，$∠ ABC=27°$，
由正切的定义可得：$\tan∠ ABC=\frac{AD}{BD}$，
∴$AD=BD·\tan27°$，
代入$BD=22\ \mathrm{cm}$，$\tan27°\approx0.51$，得：
$AD\approx22×0.51=11.22\ \mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，解直角三角形
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，解题核心是熟练运用等腰三角形性质得到直角三角形的边长，再结合锐角三角函数列式计算，属于基础应用型习题。
【难度系数】
0.8
首先明确衣架对应的等腰三角形ABC中AD是底边BC的高，解题分两步思考：第一步，利用等腰三角形“三线合一”的性质，求出底边一半BD的长度；第二步，在Rt△ABD中，已知锐角∠B的度数和邻边BD的长度，要求对边AD，选择正切三角函数建立等量关系，代入参考数据计算即可得到结果。
【解析】
∵$AB=AC$，$AD⊥ BC$，$BC=44\ \mathrm{cm}$，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，得$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×44=22\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ADB=90°$，$∠ ABC=27°$，
由正切的定义可得：$\tan∠ ABC=\frac{AD}{BD}$，
∴$AD=BD·\tan27°$，
代入$BD=22\ \mathrm{cm}$，$\tan27°\approx0.51$，得：
$AD\approx22×0.51=11.22\ \mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，解直角三角形
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，解题核心是熟练运用等腰三角形性质得到直角三角形的边长，再结合锐角三角函数列式计算，属于基础应用型习题。
【难度系数】
0.8
5.在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$a$，$b$，$c$分别为$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的对边，$c=10$，$∠ A=45°$，则$a=\_\_\_\_\_\_$，$b=\_\_\_\_\_\_$，$∠ B=\_\_\_\_\_\_°$。
答案
$5\sqrt{2}$，$5\sqrt{2}$，$45$
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，本题给出直角三角形，已知直角、一个锐角和斜边长，第一步可利用直角三角形两锐角互余求出∠B的度数；算出∠B后可发现∠A和∠B相等，即可判定该三角形是等腰直角三角形，两条直角边a=b；接下来可利用特殊角45°的三角函数值，结合正弦的定义$\sin A=\frac{对边}{斜边}=\frac{a}{c}$，代入已知的斜边c的值即可求出a的长度，进而得到b的长度，也可结合勾股定理和a=b的关系计算边长。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
1. 求$∠ B$：根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ B=90°-∠ A=90°-45°=45°$；
2. 判定边的关系：因为$∠ A=∠ B=45°$，所以$a=b$，该三角形为等腰直角三角形；
3. 求边长$a$：根据锐角三角函数的定义，$\sin A=\frac{a}{c}$，已知$c=10$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，代入得：
$a=c·\sin A=10×\frac{\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}$，因此$b=a=5\sqrt{2}$。
【答案】
$5\sqrt{2}$，$5\sqrt{2}$，$45$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；锐角三角函数；等腰直角三角形性质
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，重点考查直角三角形的基本性质和特殊角的三角函数值的应用，熟练掌握特殊角的三角函数值和直角三角形边角关系是解题的关键。
【难度系数】
0.85
解题时先从已知条件入手，本题给出直角三角形，已知直角、一个锐角和斜边长，第一步可利用直角三角形两锐角互余求出∠B的度数；算出∠B后可发现∠A和∠B相等，即可判定该三角形是等腰直角三角形，两条直角边a=b；接下来可利用特殊角45°的三角函数值，结合正弦的定义$\sin A=\frac{对边}{斜边}=\frac{a}{c}$，代入已知的斜边c的值即可求出a的长度，进而得到b的长度，也可结合勾股定理和a=b的关系计算边长。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
1. 求$∠ B$：根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ B=90°-∠ A=90°-45°=45°$；
2. 判定边的关系：因为$∠ A=∠ B=45°$，所以$a=b$，该三角形为等腰直角三角形；
3. 求边长$a$：根据锐角三角函数的定义，$\sin A=\frac{a}{c}$，已知$c=10$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，代入得：
$a=c·\sin A=10×\frac{\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}$，因此$b=a=5\sqrt{2}$。
【答案】
$5\sqrt{2}$，$5\sqrt{2}$，$45$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；锐角三角函数；等腰直角三角形性质
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，重点考查直角三角形的基本性质和特殊角的三角函数值的应用，熟练掌握特殊角的三角函数值和直角三角形边角关系是解题的关键。
【难度系数】
0.85
6.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=BC=3$,点$D$在边$AC$上,且$AD=2CD$,$DE⊥ AB$,垂足为$E$,连结$CE$,求:
(1)线段$BE$的长.
(2)$∠ ECB$的正切值.
(1)线段$BE$的长.
(2)$∠ ECB$的正切值.
答案
(1)在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°,AC=BC=3$，
$\therefore ∠ A=∠ B=45°,AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=3\sqrt{2}$，
$\because DE⊥ AB,\therefore ∠ AED=90°,∠ ADE=∠ A=45°$，
$\therefore AE=AD· \cos45°=\sqrt{2},\therefore BE=AB-AE=2\sqrt{2}$。
(2)过点$E$作$EH⊥ BC$，垂足为点$H$，
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ BEH$中，$∠ EHB=90°,∠ B=45°$，
$\therefore EH=BH=BE· \cos45°=2,\because BC=3$，
$\therefore CH=1$，
在$\mathrm{Rt}△ CHE$中，$\tan∠ ECB=\frac{EH}{CH}=2$。
解析
【分析】
(1) 求BE的长可通过AB的长度减去AE的长度得到。首先根据等腰直角△ABC的边长先算出AB长度和∠A的度数，再结合AD的长度，利用DE⊥AB得到的等腰直角△ADE求出AE的长度，两者作差即可得到BE的长。
(2) 求∠ECB的正切值，需将该角放在直角三角形中计算，因此过E作EH⊥BC构造Rt△CHE，先利用等腰直角△BEH求出EH、BH的长度，再算出CH的长度，最后根据正切的定义计算比值即可。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=BC=3$，
$\therefore ∠ A=∠ B=45°$，$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，
$\because AD=2CD$，$AC=3$，$\therefore AD=2$，
$\because DE⊥ AB$，$\therefore ∠ AED=90°$，$△ ADE$为等腰直角三角形，
$\therefore AE=AD· \cos45°=2×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，
$\therefore BE=AB-AE=3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。
(2) 过点$E$作$EH⊥ BC$，垂足为点$H$，
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ BEH$中，$∠ EHB=90°$，$∠ B=45°$，
$\therefore EH=BH=BE· \cos45°=2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=2$，
$\because BC=3$，$\therefore CH=BC-BH=3-2=1$，
在$\mathrm{Rt}△ CHE$中，$\tan∠ ECB=\frac{EH}{CH}=\frac{2}{1}=2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2\sqrt{2}}$
(2) 过点$E$作$EH⊥ BC$，垂足为点$H$，，$\boldsymbol{2}$
【知识点】
等腰直角三角形的性质，解直角三角形，锐角三角函数定义
【点评】
本题考查解直角三角形的相关应用，解题时需要结合等腰直角三角形的性质，通过作辅助线构造直角三角形将所求角转化为直角三角形的内角求解，要求学生熟练掌握特殊角的三角函数值，具备基础的辅助线构造能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求BE的长可通过AB的长度减去AE的长度得到。首先根据等腰直角△ABC的边长先算出AB长度和∠A的度数，再结合AD的长度，利用DE⊥AB得到的等腰直角△ADE求出AE的长度，两者作差即可得到BE的长。
(2) 求∠ECB的正切值，需将该角放在直角三角形中计算，因此过E作EH⊥BC构造Rt△CHE，先利用等腰直角△BEH求出EH、BH的长度，再算出CH的长度，最后根据正切的定义计算比值即可。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=BC=3$，
$\therefore ∠ A=∠ B=45°$，$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，
$\because AD=2CD$，$AC=3$，$\therefore AD=2$，
$\because DE⊥ AB$，$\therefore ∠ AED=90°$，$△ ADE$为等腰直角三角形，
$\therefore AE=AD· \cos45°=2×\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，
$\therefore BE=AB-AE=3\sqrt{2}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}$。
(2) 过点$E$作$EH⊥ BC$，垂足为点$H$，
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ BEH$中，$∠ EHB=90°$，$∠ B=45°$，
$\therefore EH=BH=BE· \cos45°=2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=2$，
$\because BC=3$，$\therefore CH=BC-BH=3-2=1$，
在$\mathrm{Rt}△ CHE$中，$\tan∠ ECB=\frac{EH}{CH}=\frac{2}{1}=2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2\sqrt{2}}$
(2) 过点$E$作$EH⊥ BC$，垂足为点$H$，
，$\boldsymbol{2}$【知识点】
等腰直角三角形的性质，解直角三角形，锐角三角函数定义
【点评】
本题考查解直角三角形的相关应用，解题时需要结合等腰直角三角形的性质，通过作辅助线构造直角三角形将所求角转化为直角三角形的内角求解，要求学生熟练掌握特殊角的三角函数值，具备基础的辅助线构造能力。
【难度系数】
0.7
