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7.如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道.已知楼梯共有五级均匀分布的台阶，高$AB=0.75\ \mathrm{m}$，斜坡$AC$的坡比为$1:2$，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边缘离楼梯底部的最短距离$ED=2.55\ \mathrm{m}$.为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于
参考数据表
计算器按键顺序 | 计算结果(已精确到0.001)
--- | ---
$\boxed{2\mathrm{ndF}}\ \tan(1÷5)=$ | $11.310$
$\tan(1÷5)=$ | $0.003$
$\boxed{2\mathrm{ndF}}\ \tan(5÷19)=$ | $14.744$
$\tan(5÷19)=$ | $0.005$
12
度.(结果精确到$1°$)参考数据表
计算器按键顺序 | 计算结果(已精确到0.001)
--- | ---
$\boxed{2\mathrm{ndF}}\ \tan(1÷5)=$ | $11.310$
$\tan(1÷5)=$ | $0.003$
$\boxed{2\mathrm{ndF}}\ \tan(5÷19)=$ | $14.744$
$\tan(5÷19)=$ | $0.005$
答案
12
解析
【分析】
解题思路如下：1. 首先明确坡度（坡比）的定义：坡比是斜坡的垂直高度与水平宽度的比值，可知无障碍通道的垂直高度固定为楼梯总高$AB=0.75\ \mathrm{m}$；2. 要防止通道遮盖井盖，通道的水平投影长度存在最大值，此时对应的坡角为允许的最小坡角（坡角越小，相同高度下斜坡的水平投影越长，越容易遮盖井盖）；3. 计算最小坡角的正切值，结合参考给出的反三角函数计算结果得到角度，注意角度近似需符合实际要求，不能直接四舍五入向下取整，避免坡角过小遮盖井盖。
【解析】
解：由题意得，无障碍通道的垂直高度等于楼梯总高$AB=0.75\ \mathrm{m}$。
要防止通道遮盖井盖，通道水平投影的最大长度为刚好不压住井盖时的长度，此时对应允许的最小坡角$α$：
计算得$\tanα=\frac{垂直高度}{最大水平长度}=\frac{0.75}{3.75}=\frac{1}{5}$，
根据参考数据，$\arctan(\frac{1}{5})=11.310°$，
因坡角需不小于该值才能避免遮盖井盖，精确到1度时需向上取整，得$α≥12°$。
【答案】
12
【知识点】
坡度坡角问题；锐角三角函数计算；解直角三角形的实际应用
【点评】
本题结合生活中的无障碍通道改造场景考查解直角三角形的应用，易错点是角度近似时直接四舍五入取$11°$，忽略了实际问题中坡角过小会导致遮盖井盖的情况，需要结合实际意义进行近似取舍。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：1. 首先明确坡度（坡比）的定义：坡比是斜坡的垂直高度与水平宽度的比值，可知无障碍通道的垂直高度固定为楼梯总高$AB=0.75\ \mathrm{m}$；2. 要防止通道遮盖井盖，通道的水平投影长度存在最大值，此时对应的坡角为允许的最小坡角（坡角越小，相同高度下斜坡的水平投影越长，越容易遮盖井盖）；3. 计算最小坡角的正切值，结合参考给出的反三角函数计算结果得到角度，注意角度近似需符合实际要求，不能直接四舍五入向下取整，避免坡角过小遮盖井盖。
【解析】
解：由题意得，无障碍通道的垂直高度等于楼梯总高$AB=0.75\ \mathrm{m}$。
要防止通道遮盖井盖，通道水平投影的最大长度为刚好不压住井盖时的长度，此时对应允许的最小坡角$α$：
计算得$\tanα=\frac{垂直高度}{最大水平长度}=\frac{0.75}{3.75}=\frac{1}{5}$，
根据参考数据，$\arctan(\frac{1}{5})=11.310°$，
因坡角需不小于该值才能避免遮盖井盖，精确到1度时需向上取整，得$α≥12°$。
【答案】
12
【知识点】
坡度坡角问题；锐角三角函数计算；解直角三角形的实际应用
【点评】
本题结合生活中的无障碍通道改造场景考查解直角三角形的应用，易错点是角度近似时直接四舍五入取$11°$，忽略了实际问题中坡角过小会导致遮盖井盖的情况，需要结合实际意义进行近似取舍。
【难度系数】
0.6
8.知识小提示:要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角α一般要满足$53°≤α≤72°$.如图,现有一架长4 m的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上.
(1)当人安全使用这架梯子时,求梯子顶端A与地面距离的最大值.
(2)当梯子底端B距离墙面1.64 m时,计算$∠ABO$等于多少度?此时人是否能安全使用这架梯子?
(参考数据:$sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33,sin72°≈0.95,cos72°≈0.31,tan72°≈3.08,sin66°≈0.91,cos66°≈0.41,tan66°≈2.25$)
(1)当人安全使用这架梯子时,求梯子顶端A与地面距离的最大值.
(2)当梯子底端B距离墙面1.64 m时,计算$∠ABO$等于多少度?此时人是否能安全使用这架梯子?
(参考数据:$sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33,sin72°≈0.95,cos72°≈0.31,tan72°≈3.08,sin66°≈0.91,cos66°≈0.41,tan66°≈2.25$)
答案
解:(1)$53°≤α≤72°$,当$α=72°$时,AO取最大值,
∴$AO=AB·\sin∠ABO=4×\sin72°=4×0.95=3.8$(米),
∴梯子顶端A与地面的距离的最大值为3.8米.
(2)在$\mathrm{Rt}△AOB$中,$\cos∠ABO=\frac{BO}{AB}=1.64÷4=0.41$,
∵$\cos66°≈0.41$,
∴$∠ABO=66°$,
∵$53°≤α≤72°$,
∴人能安全使用这架梯子.
∴$AO=AB·\sin∠ABO=4×\sin72°=4×0.95=3.8$(米),
∴梯子顶端A与地面的距离的最大值为3.8米.
(2)在$\mathrm{Rt}△AOB$中,$\cos∠ABO=\frac{BO}{AB}=1.64÷4=0.41$,
∵$\cos66°≈0.41$,
∴$∠ABO=66°$,
∵$53°≤α≤72°$,
∴人能安全使用这架梯子.
解析
【分析】
（1）在Rt△AOB中，梯子长度AB为定值，AO=AB·sin∠ABO，锐角的正弦值在0°~90°范围内随角度增大而增大，要得到AO的最大值，只需取梯子与地面夹角的最大值72°，代入计算即可。
（2）已知Rt△AOB中邻边BO和斜边AB的长度，根据余弦定义求出∠ABO的余弦值，对照参考数据得到角度，再和安全角度范围比较，即可判断是否能安全使用。
【解析】
(1) 由题意知梯子与地面的夹角α满足$53°≤α≤72°$，在$Rt△ AOB$中，$∠AOB=90°$，$AB=4m$，
由$\sinα=\frac{AO}{AB}$，得$AO=AB·\sinα$，
∵正弦值在0°~90°间随角度增大而增大，
∴当$α=72°$时AO最大，
代入得$AO=4×\sin72°\approx4×0.95=3.8(m)$。
(2) 在$Rt△ AOB$中，$\cos∠ABO=\frac{BO}{AB}$，将$BO=1.64m$，$AB=4m$代入，
得$\cos∠ABO=\frac{1.64}{4}=0.41$，
结合参考数据$\cos66°≈0.41$，可得$∠ABO=66°$，
∵$53°＜66°＜72°$，符合安全角度要求，
∴此时人能安全使用这架梯子。
【答案】
(1) 3.8米；(2) $∠ABO=66°$，能安全使用。
【知识点】
解直角三角形，锐角三角函数，实际应用
【点评】
本题结合生活实际场景考查锐角三角函数的应用，解题核心是找准直角三角形的边角对应关系，结合给定参考数据求解，侧重对基础知识运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
（1）在Rt△AOB中，梯子长度AB为定值，AO=AB·sin∠ABO，锐角的正弦值在0°~90°范围内随角度增大而增大，要得到AO的最大值，只需取梯子与地面夹角的最大值72°，代入计算即可。
（2）已知Rt△AOB中邻边BO和斜边AB的长度，根据余弦定义求出∠ABO的余弦值，对照参考数据得到角度，再和安全角度范围比较，即可判断是否能安全使用。
【解析】
(1) 由题意知梯子与地面的夹角α满足$53°≤α≤72°$，在$Rt△ AOB$中，$∠AOB=90°$，$AB=4m$，
由$\sinα=\frac{AO}{AB}$，得$AO=AB·\sinα$，
∵正弦值在0°~90°间随角度增大而增大，
∴当$α=72°$时AO最大，
代入得$AO=4×\sin72°\approx4×0.95=3.8(m)$。
(2) 在$Rt△ AOB$中，$\cos∠ABO=\frac{BO}{AB}$，将$BO=1.64m$，$AB=4m$代入，
得$\cos∠ABO=\frac{1.64}{4}=0.41$，
结合参考数据$\cos66°≈0.41$，可得$∠ABO=66°$，
∵$53°＜66°＜72°$，符合安全角度要求，
∴此时人能安全使用这架梯子。
【答案】
(1) 3.8米；(2) $∠ABO=66°$，能安全使用。
【知识点】
解直角三角形，锐角三角函数，实际应用
【点评】
本题结合生活实际场景考查锐角三角函数的应用，解题核心是找准直角三角形的边角对应关系，结合给定参考数据求解，侧重对基础知识运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
9.数学教师布置了这样一个问题:如果α,β都为锐角,且$\tanα=\frac{1}{2}$,$\tanβ=\frac{1}{3}$,求α+β的度数.
甲、乙两位同学想利用正方形网格构图来解决问题,他们分别设计了图1和图2.
(1)请你分别利用图1、图2求出α+β的度数,并说明理由.
(2)请参考以上思考问题的方法,选择一种方法解决下面问题:如果α,β都为锐角,当$\tanα=5$,$\tanβ=\frac{2}{3}$时,在图3的正方形网格中,利用已作出的锐角α,画出∠MON,使得∠MON=α−β,求出α−β的度数,并说明理由.
甲、乙两位同学想利用正方形网格构图来解决问题,他们分别设计了图1和图2.
(1)请你分别利用图1、图2求出α+β的度数,并说明理由.
(2)请参考以上思考问题的方法,选择一种方法解决下面问题:如果α,β都为锐角,当$\tanα=5$,$\tanβ=\frac{2}{3}$时,在图3的正方形网格中,利用已作出的锐角α,画出∠MON,使得∠MON=α−β,求出α−β的度数,并说明理由.
答案
解:(1)①如图1中,
易证△AMC≌△CNB.
∴AC=BC,∠ACM=∠CBN.
∵∠BCN+∠CBN=90°,
∴∠ACM+∠BCN=90°.
∴∠ACB=90°,
∴∠CAB=∠CBA=45°.
∴α+β=45°.
②如图2中,易证△CEB∽△BEA.
∴∠CAB=∠CBE=β.
∴∠BED=∠ECB+∠CBE=α+β.
∵DE=DB,∠D=90°,∠BED=45°,
∴α+β=45°.
(2)如答图中,∠MOE=α,∠NOH=β,∠MON=α−β.
易证△MFN≌△NHO.
∴MN=NO,
∠MNF=∠NOH.
∵∠NOH+∠ONH=90°,
∴∠ONH+∠MNF=90°.
∴∠MNO=90°.
∴∠NOM=∠NMO=45°.
∴α−β=45°.
解析
【分析】
本题是利用网格结合锐角三角函数求两角和、差的度数，解题思路如下：
（1）求α+β的度数时，核心是构造三角形将α和β放在同一个角的组成部分中：
①图1中，先根据$\tanα=\frac{1}{2}$、$\tanβ=\frac{1}{3}$确定两个直角三角形的直角边长度，证明△AMC和△CNB全等，推出△ACB是等腰直角三角形，即可得到α+β等于45°；
②图2中，通过计算各边长度证明△CEB和△BEA相似，将β转化为∠CBE，可得∠BED=α+β，再结合△BDE是等腰直角三角形得到∠BED=45°，即可得α+β的度数。
（2）求α-β的度数时，先根据$\tanα=5$、$\tanβ=\frac{2}{3}$在网格中确定α、β的位置，构造三角形证明△MFN≌△NHO，推出△MNO是等腰直角三角形，即可得到α-β=45°。
【解析】
(1)①如图1，设每个小正方形的边长为1，
在△AMC和△CNB中，$AM=CN=1$，$∠AMC=∠CNB=90°$，$MC=BN=2$，
∴$△ AMC≌△ CNB(\mathrm{SAS})$，
∴$AC=BC$，$∠ACM=∠CBN$，
∵$∠BCN+∠CBN=90°$，
∴$∠ACM+∠BCN=90°$，
∴$∠ACB=180°-90°=90°$，
∴△ACB是等腰直角三角形，$∠CAB=45°$，
由图可知$∠CAB=α+β$，故$α+β=45°$。
②如图2，设每个小正方形的边长为1，
计算得：$BE=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$CE=1$，$AE=2$，
∴$\frac{CE}{BE}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{BE}{AE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{CE}{BE}=\frac{BE}{AE}$，
又
∵$∠CEB=∠BEA$，
∴$△ CEB∽△ BEA(\mathrm{两边对应成比例且夹角相等})$，
∴$∠CAB=∠CBE=β$，
∵∠BED是△BCE的外角，
∴$∠BED=∠ECB+∠CBE=α+β$，
又
∵$DE=DB=1$，$∠D=90°$，
∴△BDE是等腰直角三角形，$∠BED=45°$，
故$α+β=45°$。
(2)如图，$∠MOE=α$，$∠NOH=β$，则$∠MON=α-β$，
设每个小正方形的边长为1，
在△MFN和△NHO中，$MF=NH=2$，$∠MFN=∠NHO=90°$，$FN=HO=3$，
∴$△ MFN≌△ NHO(\mathrm{SAS})$，
∴$MN=NO$，$∠MNF=∠NOH$，
∵$∠NOH+∠ONH=90°$，
∴$∠ONH+∠MNF=90°$，
∴$∠MNO=180°-90°=90°$，
∴△MNO是等腰直角三角形，$∠MON=45°$，
故$α-β=45°$。
【答案】
(1)①图1中$α+β=45°$，理由见解析；②图2中$α+β=45°$，理由见解析；
(2)$α-β=45°$，作图及理由见解析。
【知识点】
锐角三角函数的定义；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题将锐角三角函数与网格构图相结合，通过构造全等、相似三角形以及等腰直角三角形求解两角和差的度数，体现了数形结合的数学思想，解题的关键是利用网格边长的数量关系构造符合要求的三角形，实现角的转化。
【难度系数】
0.6
本题是利用网格结合锐角三角函数求两角和、差的度数，解题思路如下：
（1）求α+β的度数时，核心是构造三角形将α和β放在同一个角的组成部分中：
①图1中，先根据$\tanα=\frac{1}{2}$、$\tanβ=\frac{1}{3}$确定两个直角三角形的直角边长度，证明△AMC和△CNB全等，推出△ACB是等腰直角三角形，即可得到α+β等于45°；
②图2中，通过计算各边长度证明△CEB和△BEA相似，将β转化为∠CBE，可得∠BED=α+β，再结合△BDE是等腰直角三角形得到∠BED=45°，即可得α+β的度数。
（2）求α-β的度数时，先根据$\tanα=5$、$\tanβ=\frac{2}{3}$在网格中确定α、β的位置，构造三角形证明△MFN≌△NHO，推出△MNO是等腰直角三角形，即可得到α-β=45°。
【解析】
(1)①如图1，设每个小正方形的边长为1，
在△AMC和△CNB中，$AM=CN=1$，$∠AMC=∠CNB=90°$，$MC=BN=2$，
∴$△ AMC≌△ CNB(\mathrm{SAS})$，
∴$AC=BC$，$∠ACM=∠CBN$，
∵$∠BCN+∠CBN=90°$，
∴$∠ACM+∠BCN=90°$，
∴$∠ACB=180°-90°=90°$，
∴△ACB是等腰直角三角形，$∠CAB=45°$，
由图可知$∠CAB=α+β$，故$α+β=45°$。
②如图2，设每个小正方形的边长为1，
计算得：$BE=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$CE=1$，$AE=2$，
∴$\frac{CE}{BE}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{BE}{AE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{CE}{BE}=\frac{BE}{AE}$，
又
∵$∠CEB=∠BEA$，
∴$△ CEB∽△ BEA(\mathrm{两边对应成比例且夹角相等})$，
∴$∠CAB=∠CBE=β$，
∵∠BED是△BCE的外角，
∴$∠BED=∠ECB+∠CBE=α+β$，
又
∵$DE=DB=1$，$∠D=90°$，
∴△BDE是等腰直角三角形，$∠BED=45°$，
故$α+β=45°$。
(2)如图，$∠MOE=α$，$∠NOH=β$，则$∠MON=α-β$，
设每个小正方形的边长为1，
在△MFN和△NHO中，$MF=NH=2$，$∠MFN=∠NHO=90°$，$FN=HO=3$，
∴$△ MFN≌△ NHO(\mathrm{SAS})$，
∴$MN=NO$，$∠MNF=∠NOH$，
∵$∠NOH+∠ONH=90°$，
∴$∠ONH+∠MNF=90°$，
∴$∠MNO=180°-90°=90°$，
∴△MNO是等腰直角三角形，$∠MON=45°$，
故$α-β=45°$。
【答案】
(1)①图1中$α+β=45°$，理由见解析；②图2中$α+β=45°$，理由见解析；
(2)$α-β=45°$，作图及理由见解析。
【知识点】
锐角三角函数的定义；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题将锐角三角函数与网格构图相结合，通过构造全等、相似三角形以及等腰直角三角形求解两角和差的度数，体现了数形结合的数学思想，解题的关键是利用网格边长的数量关系构造符合要求的三角形，实现角的转化。
【难度系数】
0.6
