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4. 如图，AB // CD，BE 平分∠ABC，CE 平分∠BCD，点 E 在 AD 上，求证：BC=AB+CD.
方法一:截长法(在长边上截取一部分等于一短边,证剩下的部分等于另一短边)
方法二:补短法(延长其中一短边使延长线等于另一短边,证延长之后的边等于长边)
方法一:截长法(在长边上截取一部分等于一短边,证剩下的部分等于另一短边)
方法二:补短法(延长其中一短边使延长线等于另一短边,证延长之后的边等于长边)
答案
证明：
方法一：截长法
在BC上截取$BF=AB$，连接EF。
∵BE平分$∠ ABC$，CE平分$∠ BCD$，
∴$∠ ABE=∠ FBE$，$∠ BCE=∠ DCE$。
在$△ ABE$和$△ FBE$中：
$\begin{cases}AB=FB \\∠ ABE=∠ FBE \\BE=BE\end{cases}$
∴$△ ABE ≌ △ FBE$（SAS），
∴$∠ A=∠ BFE$。
∵$AB// CD$，
∴$∠ A+∠ D=180°$。
又∵$∠ BFE+∠ CFE=180°$，
∴$∠ D=∠ CFE$。
在$△ CFE$和$△ CDE$中：
$\begin{cases}∠ CFE=∠ D \\∠ FCE=∠ DCE \\CE=CE\end{cases}$
∴$△ CFE ≌ △ CDE$（AAS），
∴$CF=CD$。
∵$BC=BF+CF$，
∴$BC=AB+CD$。
---
方法二：补短法
延长BA，交CE的延长线于点F。
∵$AB// CD$，
∴$∠ ABC+∠ BCD=180°$，$∠ F=∠ DCE$。
∵BE平分$∠ ABC$，CE平分$∠ BCD$，
∴$∠ EBC+∠ ECB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ BCD)=90°$，$∠ BCE=∠ DCE$，
∴$∠ BEC=90°$，$∠ F=∠ BCE$，
∴$BF=BC$，$BE⊥ CF$。
在$△ FBE$和$△ CBE$中：
$\begin{cases}∠ FBE=∠ CBE \\BE=BE \\∠ FEB=∠ CEB=90°\end{cases}$
∴$△ FBE ≌ △ CBE$（ASA），
∴$EF=EC$。
在$△ AEF$和$△ DEC$中：
$\begin{cases}∠ F=∠ DCE \\∠ AEF=∠ DEC \\EF=EC\end{cases}$
∴$△ AEF ≌ △ DEC$（AAS），
∴$AF=CD$。
∵$BF=AB+AF$，
∴$BF=AB+CD$，
又∵$BF=BC$，
∴$BC=AB+CD$。
方法一：截长法
在BC上截取$BF=AB$，连接EF。
∵BE平分$∠ ABC$，CE平分$∠ BCD$，
∴$∠ ABE=∠ FBE$，$∠ BCE=∠ DCE$。
在$△ ABE$和$△ FBE$中：
$\begin{cases}AB=FB \\∠ ABE=∠ FBE \\BE=BE\end{cases}$
∴$△ ABE ≌ △ FBE$（SAS），
∴$∠ A=∠ BFE$。
∵$AB// CD$，
∴$∠ A+∠ D=180°$。
又∵$∠ BFE+∠ CFE=180°$，
∴$∠ D=∠ CFE$。
在$△ CFE$和$△ CDE$中：
$\begin{cases}∠ CFE=∠ D \\∠ FCE=∠ DCE \\CE=CE\end{cases}$
∴$△ CFE ≌ △ CDE$（AAS），
∴$CF=CD$。
∵$BC=BF+CF$，
∴$BC=AB+CD$。
---
方法二：补短法
延长BA，交CE的延长线于点F。
∵$AB// CD$，
∴$∠ ABC+∠ BCD=180°$，$∠ F=∠ DCE$。
∵BE平分$∠ ABC$，CE平分$∠ BCD$，
∴$∠ EBC+∠ ECB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ BCD)=90°$，$∠ BCE=∠ DCE$，
∴$∠ BEC=90°$，$∠ F=∠ BCE$，
∴$BF=BC$，$BE⊥ CF$。
在$△ FBE$和$△ CBE$中：
$\begin{cases}∠ FBE=∠ CBE \\BE=BE \\∠ FEB=∠ CEB=90°\end{cases}$
∴$△ FBE ≌ △ CBE$（ASA），
∴$EF=EC$。
在$△ AEF$和$△ DEC$中：
$\begin{cases}∠ F=∠ DCE \\∠ AEF=∠ DEC \\EF=EC\end{cases}$
∴$△ AEF ≌ △ DEC$（AAS），
∴$AF=CD$。
∵$BF=AB+AF$，
∴$BF=AB+CD$，
又∵$BF=BC$，
∴$BC=AB+CD$。
解析
【分析】
要证明一条线段等于两条线段的和，通常采用截长补短的辅助线构造思路：
①截长法：在较长的BC边上截取BF=AB，只需证明剩余的CF=CD即可。结合题中角平分线的条件，可先证△ABE≌△FBE，再利用平行线的性质推导角的等量关系，证明△CFE≌△CDE，得到CF=CD，即可完成结论推导。
②补短法：延长短边BA，将CD补在BA的延长线上，只需证明延长后的总线段等于BC即可。先结合平行线、角平分线的性质推出△BFC为等腰三角形，得到BF=BC，再通过两次全等证明AF=CD，通过线段代换即可证得结论。
【解析】
方法一：截长法
在BC上截取$BF=AB$，连接EF。
∵BE平分$∠ ABC$，CE平分$∠ BCD$，
∴$∠ ABE=∠ FBE$，$∠ BCE=∠ DCE$。
在$△ ABE$和$△ FBE$中：
$\begin{cases}AB=FB \\∠ ABE=∠ FBE \\BE=BE\end{cases}$
∴$△ ABE ≌ △ FBE$（SAS），
∴$∠ A=∠ BFE$。
∵$AB// CD$，
∴$∠ A+∠ D=180°$。
又
∵$∠ BFE+∠ CFE=180°$，
∴$∠ D=∠ CFE$。
在$△ CFE$和$△ CDE$中：
$\begin{cases}∠ CFE=∠ D \\∠ FCE=∠ DCE \\CE=CE\end{cases}$
∴$△ CFE ≌ △ CDE$（AAS），
∴$CF=CD$。
∵$BC=BF+CF$，
∴$BC=AB+CD$。
---
方法二：补短法
延长BA，交CE的延长线于点F。
∵$AB// CD$，
∴$∠ ABC+∠ BCD=180°$，$∠ F=∠ DCE$。
∵BE平分$∠ ABC$，CE平分$∠ BCD$，
∴$∠ EBC+∠ ECB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ BCD)=90°$，$∠ BCE=∠ DCE$，
∴$∠ BEC=90°$，$∠ F=∠ BCE$，
∴$BF=BC$，$BE⊥ CF$。
在$△ FBE$和$△ CBE$中：
$\begin{cases}∠ FBE=∠ CBE \\BE=BE \\∠ FEB=∠ CEB=90°\end{cases}$
∴$△ FBE ≌ △ CBE$（ASA），
∴$EF=EC$。
在$△ AEF$和$△ DEC$中：
$\begin{cases}∠ F=∠ DCE \\∠ AEF=∠ DEC \\EF=EC\end{cases}$
∴$△ AEF ≌ △ DEC$（AAS），
∴$AF=CD$。
∵$BF=AB+AF$，
∴$BF=AB+CD$，
又
∵$BF=BC$，
∴$BC=AB+CD$。
【答案】
$BC=AB+CD$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质
【点评】
本题是线段和差证明的典型题型，核心考查截长补短的辅助线构造方法，通过构造全等三角形实现线段的等量代换，熟练掌握该类辅助线的构造思路可高效解决同类型几何证明问题。
【难度系数】
0.6
要证明一条线段等于两条线段的和，通常采用截长补短的辅助线构造思路：
①截长法：在较长的BC边上截取BF=AB，只需证明剩余的CF=CD即可。结合题中角平分线的条件，可先证△ABE≌△FBE，再利用平行线的性质推导角的等量关系，证明△CFE≌△CDE，得到CF=CD，即可完成结论推导。
②补短法：延长短边BA，将CD补在BA的延长线上，只需证明延长后的总线段等于BC即可。先结合平行线、角平分线的性质推出△BFC为等腰三角形，得到BF=BC，再通过两次全等证明AF=CD，通过线段代换即可证得结论。
【解析】
方法一：截长法
在BC上截取$BF=AB$，连接EF。
∵BE平分$∠ ABC$，CE平分$∠ BCD$，
∴$∠ ABE=∠ FBE$，$∠ BCE=∠ DCE$。
在$△ ABE$和$△ FBE$中：
$\begin{cases}AB=FB \\∠ ABE=∠ FBE \\BE=BE\end{cases}$
∴$△ ABE ≌ △ FBE$（SAS），
∴$∠ A=∠ BFE$。
∵$AB// CD$，
∴$∠ A+∠ D=180°$。
又
∵$∠ BFE+∠ CFE=180°$，
∴$∠ D=∠ CFE$。
在$△ CFE$和$△ CDE$中：
$\begin{cases}∠ CFE=∠ D \\∠ FCE=∠ DCE \\CE=CE\end{cases}$
∴$△ CFE ≌ △ CDE$（AAS），
∴$CF=CD$。
∵$BC=BF+CF$，
∴$BC=AB+CD$。
---
方法二：补短法
延长BA，交CE的延长线于点F。
∵$AB// CD$，
∴$∠ ABC+∠ BCD=180°$，$∠ F=∠ DCE$。
∵BE平分$∠ ABC$，CE平分$∠ BCD$，
∴$∠ EBC+∠ ECB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ BCD)=90°$，$∠ BCE=∠ DCE$，
∴$∠ BEC=90°$，$∠ F=∠ BCE$，
∴$BF=BC$，$BE⊥ CF$。
在$△ FBE$和$△ CBE$中：
$\begin{cases}∠ FBE=∠ CBE \\BE=BE \\∠ FEB=∠ CEB=90°\end{cases}$
∴$△ FBE ≌ △ CBE$（ASA），
∴$EF=EC$。
在$△ AEF$和$△ DEC$中：
$\begin{cases}∠ F=∠ DCE \\∠ AEF=∠ DEC \\EF=EC\end{cases}$
∴$△ AEF ≌ △ DEC$（AAS），
∴$AF=CD$。
∵$BF=AB+AF$，
∴$BF=AB+CD$，
又
∵$BF=BC$，
∴$BC=AB+CD$。
【答案】
$BC=AB+CD$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质
【点评】
本题是线段和差证明的典型题型，核心考查截长补短的辅助线构造方法，通过构造全等三角形实现线段的等量代换，熟练掌握该类辅助线的构造思路可高效解决同类型几何证明问题。
【难度系数】
0.6
5. [2026 北京期末] 如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC$，$BD$平分$∠ ABC$，交$AC$于点$D$，$CE⊥ BD$，$CE$交$BD$的延长线于点$E$，则$CE$与$BD$的数量关系为
BD=2CE
。答案
BD=2CE
解析
【分析】
要探究CE和BD的数量关系，观察到BD是角平分线且CE⊥BD，符合“角平分线+垂直”的特征，可通过延长CE、BA交于点F构造等腰三角形，先证△BCE≌△BFE得到CF=2CE，再证△ABD≌△ACF得到BD=CF，即可推导出两者的数量关系。
【解析】
解：延长CE交BA的延长线于点F。
1. 证明$△ BCE ≌ △ BFE$：
∵BD平分$∠ ABC$，
∴$∠ CBE=∠ FBE$。
∵$CE ⊥ BD$，
∴$∠ BEC=∠ BEF=90°$。
在$△ BCE$和$△ BFE$中：
$\begin{cases}∠ CBE=∠ FBE \\BE=BE \\∠ BEC=∠ BEF\end{cases}$
∴$△ BCE ≌ △ BFE$（ASA），
∴$CE=EF$，即$CF=2CE$。
2. 证明$△ ABD ≌ △ ACF$：
∵$∠ BAC=90°$，$CE ⊥ BD$，
∴$∠ ABD+∠ ADB=90°$，$∠ ACF+∠ CDE=90°$，
又
∵$∠ ADB=∠ CDE$（对顶角相等），
∴$∠ ABD=∠ ACF$。
在$△ ABD$和$△ ACF$中：
$\begin{cases}∠ BAD=∠ CAF=90° \\AB=AC \\∠ ABD=∠ ACF\end{cases}$
∴$△ ABD ≌ △ ACF$（ASA），
∴$BD=CF$。
结合$CF=2CE$，可得$BD=2CE$。
【答案】
$\boldsymbol{BD=2CE}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；角平分线的定义
【点评】
本题是典型的构造全等三角形的题型，当题目中出现角平分线与一边上的垂线共存的条件时，延长垂线与角的另一边相交构造等腰三角形是常用的辅助线作法，通过全等三角形实现线段的等量转化即可求解。
【难度系数】
0.6
要探究CE和BD的数量关系，观察到BD是角平分线且CE⊥BD，符合“角平分线+垂直”的特征，可通过延长CE、BA交于点F构造等腰三角形，先证△BCE≌△BFE得到CF=2CE，再证△ABD≌△ACF得到BD=CF，即可推导出两者的数量关系。
【解析】
解：延长CE交BA的延长线于点F。
1. 证明$△ BCE ≌ △ BFE$：
∵BD平分$∠ ABC$，
∴$∠ CBE=∠ FBE$。
∵$CE ⊥ BD$，
∴$∠ BEC=∠ BEF=90°$。
在$△ BCE$和$△ BFE$中：
$\begin{cases}∠ CBE=∠ FBE \\BE=BE \\∠ BEC=∠ BEF\end{cases}$
∴$△ BCE ≌ △ BFE$（ASA），
∴$CE=EF$，即$CF=2CE$。
2. 证明$△ ABD ≌ △ ACF$：
∵$∠ BAC=90°$，$CE ⊥ BD$，
∴$∠ ABD+∠ ADB=90°$，$∠ ACF+∠ CDE=90°$，
又
∵$∠ ADB=∠ CDE$（对顶角相等），
∴$∠ ABD=∠ ACF$。
在$△ ABD$和$△ ACF$中：
$\begin{cases}∠ BAD=∠ CAF=90° \\AB=AC \\∠ ABD=∠ ACF\end{cases}$
∴$△ ABD ≌ △ ACF$（ASA），
∴$BD=CF$。
结合$CF=2CE$，可得$BD=2CE$。
【答案】
$\boldsymbol{BD=2CE}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；角平分线的定义
【点评】
本题是典型的构造全等三角形的题型，当题目中出现角平分线与一边上的垂线共存的条件时，延长垂线与角的另一边相交构造等腰三角形是常用的辅助线作法，通过全等三角形实现线段的等量转化即可求解。
【难度系数】
0.6
6. [2026合肥期末]如图,点P为∠AOB的平分线上的一个定点,∠MPN的两边分别与OA,OB相交于M,N两点,且∠MPN + ∠AOB=180°,在∠MPN绕点P旋转的过程中,求证:PM=PN.
答案
证明：
过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴∠PEO=∠PFO=90°。
∵OP平分∠AOB，
∴PE=PF。
在四边形OEPF中，∠PEO+∠PFO+∠AOB+∠EPF=360°，
∴∠AOB+∠EPF=180°。
又∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPF - ∠MPF = ∠MPN - ∠MPF，
即∠MPE=∠NPF。
在△MPE和△NPF中，
$\{\begin{array}{l}∠PEM=∠PFN=90° \\PE=PF \\∠MPE=∠NPF\end{array} $
∴△MPE≌△NPF（ASA），
∴PM=PN。
过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴∠PEO=∠PFO=90°。
∵OP平分∠AOB，
∴PE=PF。
在四边形OEPF中，∠PEO+∠PFO+∠AOB+∠EPF=360°，
∴∠AOB+∠EPF=180°。
又∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPF - ∠MPF = ∠MPN - ∠MPF，
即∠MPE=∠NPF。
在△MPE和△NPF中，
$\{\begin{array}{l}∠PEM=∠PFN=90° \\PE=PF \\∠MPE=∠NPF\end{array} $
∴△MPE≌△NPF（ASA），
∴PM=PN。
解析
【分析】要证明PM=PN，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。首先由点P在∠AOB的角平分线上，联想到角平分线的性质，可过P作OA、OB的垂线，构造出两个直角三角形，得到一组相等的垂线段；再结合已知∠MPN+∠AOB=180°，利用四边形内角和推导得到两个直角三角形的一组对应锐角相等，满足ASA全等判定条件，证明三角形全等后即可得到对应边相等。
【解析】
证明：过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴∠PEO=∠PFO=90°。
∵OP平分∠AOB，
∴PE=PF。
在四边形OEPF中，∠PEO+∠PFO+∠AOB+∠EPF=360°，
∴∠AOB+∠EPF=180°。
又
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPF - ∠MPF = ∠MPN - ∠MPF，
即∠MPE=∠NPF。
在△MPE和△NPF中，
$\{\begin{array}{l}∠PEM=∠PFN=90° \\PE=PF \\∠MPE=∠NPF\end{array} $
∴△MPE≌△NPF（ASA），
∴PM=PN。
【答案】PM=PN
【知识点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；四边形内角和
【点评】本题是角平分线相关的典型证明题，解题关键是掌握角平分线类问题的常用辅助线作法：过角平分线上的点向角两边作垂线，构造全等三角形，该辅助线方法在几何证明中应用广泛。
【难度系数】0.7
【解析】
证明：过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴∠PEO=∠PFO=90°。
∵OP平分∠AOB，
∴PE=PF。
在四边形OEPF中，∠PEO+∠PFO+∠AOB+∠EPF=360°，
∴∠AOB+∠EPF=180°。
又
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPF - ∠MPF = ∠MPN - ∠MPF，
即∠MPE=∠NPF。
在△MPE和△NPF中，
$\{\begin{array}{l}∠PEM=∠PFN=90° \\PE=PF \\∠MPE=∠NPF\end{array} $
∴△MPE≌△NPF（ASA），
∴PM=PN。
【答案】PM=PN
【知识点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；四边形内角和
【点评】本题是角平分线相关的典型证明题，解题关键是掌握角平分线类问题的常用辅助线作法：过角平分线上的点向角两边作垂线，构造全等三角形，该辅助线方法在几何证明中应用广泛。
【难度系数】0.7
