1.如图，已知$AD=BC$，$AC=BD$.请探究：$OA$与$OB$是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由.

AO=BO，证明略.

【分析】
要判断OA与OB是否相等，常用方法是证明两条线段所在的三角形全等。观察图形可知OA在△AOD中，OB在△BOC中，已知AD=BC，且∠AOD与∠BOC是对顶角相等，还缺少一组角相等的条件，因此需要先推导得出这组等角。结合已知AC=BD，我们可以连接公共边AB，先通过SSS证明△ABD和△BAC全等，得到∠D=∠C，再证明△AOD和△BOC全等，即可推出OA=OB。
【解析】
OA与OB相等，证明如下：
1. 连接辅助线AB。
2. 在$△ ABD$和$△ BAC$中：
$\{\begin{array}{l}AD=BC(\mathrm{已知})\\BD=AC(\mathrm{已知})\\AB=BA(\mathrm{公共边相等})\end{array} $
$\therefore △ ABD≌△ BAC(\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ D=∠ C$（全等三角形的对应角相等）。
3. 在$△ AOD$和$△ BOC$中：
$\{\begin{array}{l}∠ D=∠ C(\mathrm{已证})\\∠ AOD=∠ BOC(\mathrm{对顶角相等})\\AD=BC(\mathrm{已知})\end{array} $
$\therefore △ AOD≌△ BOC(\mathrm{AAS})$
$\therefore OA=OB$（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
$OA=OB$，二者相等。
【知识点】
全等三角形的判定、全等三角形的性质、对顶角的性质
【点评】
本题是构造全等三角形证明线段相等的典型题型，解题核心是通过连接公共边作辅助线，先证明大三角形全等得到对应角相等，为后续证明小三角形全等创造条件，熟练掌握常见的构造全等的辅助线作法可以快速梳理解题思路。
【难度系数】
0.7

2. [2026 亳州期中] 如图，点 C，E 分别为△ABD 的边 BD，AB 上的点，且 AE=AD，CE=CD，∠D=70°，∠ECD=150°，求∠B 的度数.

∠B=40°.

【分析】
观察已知条件存在两组相等的边：AE=AD，CE=CD，若连接公共边AC，可通过SSS判定定理证明△AEC≌△ADC，即可得到∠AEC与∠D相等；再结合∠ECD的度数求出其邻补角∠BCE的度数，最后利用三角形外角的性质即可求出∠B的度数。
【解析】
连接AC，
在$△ AEC$和$△ ADC$中：
$\begin{cases}AE=AD（已知）\\CE=CD（已知）\\AC=AC（公共边）\end{cases}$
$\therefore △ AEC ≌ △ ADC$（SSS）
$\therefore ∠ AEC=∠ D=70°$（全等三角形对应角相等）
$\because$ 点B、C、D共线，$∠ ECD=150°$
$\therefore ∠ BCE=180°-∠ ECD=180°-150°=30°$
$\because ∠ AEC$是$△ BEC$的外角，根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
$\therefore ∠ AEC=∠ B+∠ BCE$
$\therefore ∠ B=∠ AEC-∠ BCE=70°-30°=40°$
【答案】
$∠ B=40°$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，邻补角的计算
【点评】
本题属于几何基础常考题，解题的关键是通过连接AC构造全等三角形，将已知角的条件进行转化，再结合三角形外角的性质即可求解，掌握构造全等三角形的常见辅助线作法是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.7

3. 能力训练点·探究建模 (1)【探究发现】如图①，在$△ ABC$中，AD是边BC上的中线. 求证：$AB+AC＞2AD$.
(2)【初步应用】在(1)的条件下，若$AB=16$，$AC=12$，则AD的取值范围为.
(3)【探究提升】如图②，$∠ BAC=∠ BCA$，AD为$△ ABC$中边BC上的中线，延长BC至点E，使$CE=AB$，连接AE. 求证：$∠ CAD=∠ CAE$.

(1)证明：略.
(2)2＜AD＜14
(3)证明：略.

【分析】
(1) 要证明$AB+AC＞2AD$，遇中线相关的线段不等式优先用倍长中线法构造全等，将分散线段转移到同一个三角形中：延长$AD$到点$E$使$DE=AD$，连接$BE$，先证$△ ADC≌△ EDB$把$AC$转化为$BE$，再用三角形三边关系即可得证。
(2) 结合(1)的结论，再利用三角形两边之差小于第三边得到$|AB-AC|＜2AD＜AB+AC$，代入已知边长计算即可得$AD$的取值范围。
(3) 要证$∠ CAD=∠ CAE$，沿用倍长中线思路：延长$AD$到点$F$使$DF=AD$，连接$CF$，先证$△ ABD≌△ FCD$得到$AB=CF$、$∠ B=∠ FCD$，结合已知推出$CF=CE$、$∠ ACF=∠ ACE$，再证$△ ACF≌△ ACE$，利用全等对应角相等即可得证。
【解析】
(1) 证明：延长$AD$至点$E$，使$DE=AD$，连接$BE$。
∵$AD$是$BC$边上的中线，
∴$BD=CD$。
在$△ ADC$和$△ EDB$中：
$\begin{cases} AD=ED \\ ∠ ADC=∠ EDB \\ CD=BD \end{cases}$
∴$△ ADC≌△ EDB(\mathrm{SAS})$，
∴$AC=BE$。
在$△ ABE$中，由三边关系得$AB+BE＞AE$。
∵$AE=AD+DE=2AD$，$BE=AC$，
∴$AB+AC＞2AD$。
(2) 解：由三角形三边关系可得$|AB-AC|＜2AD＜AB+AC$，
代入$AB=16$，$AC=12$得：$|16-12|＜2AD＜16+12$，
即$4＜2AD＜28$，
两边同除以2得：$2＜AD＜14$。
(3) 证明：延长$AD$至点$F$，使$DF=AD$，连接$CF$。
∵$AD$是$BC$边上的中线，
∴$BD=CD$。
在$△ ABD$和$△ FCD$中：
$\begin{cases} AD=FD \\ ∠ ADB=∠ FDC \\ BD=CD \end{cases}$
∴$△ ABD≌△ FCD(\mathrm{SAS})$，
∴$AB=CF$，$∠ B=∠ FCD$。
∵$∠ BAC=∠ BCA$，
∴$AB=BC$，且由三角形外角性质得$∠ ACE=∠ BAC+∠ B$。
又
∵$CE=AB$，
∴$CF=CE$。
∵$∠ ACF=∠ BCA+∠ FCD=∠ BAC+∠ B$，
∴$∠ ACF=∠ ACE$。
在$△ ACF$和$△ ACE$中：
$\begin{cases} CF=CE \\ ∠ ACF=∠ ACE \\ AC=AC \end{cases}$
∴$△ ACF≌△ ACE(\mathrm{SAS})$，
∴$∠ CAD=∠ CAE$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\boxed{2＜AD＜14}$；
(3) 证明见解析。
【知识点】
倍长中线构造全等，三角形三边关系，全等三角形判定与性质
【点评】
本题围绕含中线的几何问题展开，核心考查倍长中线这一经典辅助线的用法，通过构造全等实现线段、角的转移，结合三角形三边关系、外角性质等知识完成证明和计算，熟练掌握该辅助线作法能有效提升这类几何题的解题效率。
【难度系数】
0.6