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10.好朋友给小亮过生日，如图，现有底面直径为16 cm，高为30 cm的圆柱形容器，里面装满了果汁，小亮要把果汁分装到底面直径为8 cm的10个小圆柱形杯子里（每个杯子刚好装满），与好友分享，则杯子的高度为
12
cm.答案
10.12
解析
【分析】
本题属于形积类应用题，解题核心是抓住果汁总体积不变的等量关系：大圆柱形容器的容积=10个小圆柱形杯子的总容积。解题思路如下：1. 回忆圆柱体积公式：圆柱体积=底面积×高，即$V=π r^2h$（$r$为底面半径，$h$为高）；2. 分别计算大容器的体积、表示出10个小杯子的总体积；3. 根据体积相等列方程求解小杯子的高度。
【解析】
设小杯子的高度为$x$ cm。
1. 计算大圆柱参数及体积：
大圆柱底面半径：$16÷2=8\ \mathrm{cm}$
大圆柱容积（果汁总体积）：$V_{\mathrm{大}}=π×8^2×30$
2. 计算小圆柱参数及总容积：
小杯子底面半径：$8÷2=4\ \mathrm{cm}$
10个小杯子总容积：$V_{\mathrm{总}}=10×π×4^2× x$
3. 列方程求解：
根据果汁体积不变，可得$π×8^2×30=10×π×4^2× x$
两边同时约去$π$，计算得：
$64×30=10×16× x$
$1920=160x$
解得$x=12$
【答案】
12
【知识点】
圆柱体积计算；一元一次方程的应用；形积问题
【点评】
本题考查形积问题的求解，关键是抓住“形变体积不变”的规律，利用圆柱体积公式建立等量关系列方程解答，属于基础题型，熟练掌握体积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题属于形积类应用题，解题核心是抓住果汁总体积不变的等量关系：大圆柱形容器的容积=10个小圆柱形杯子的总容积。解题思路如下：1. 回忆圆柱体积公式：圆柱体积=底面积×高，即$V=π r^2h$（$r$为底面半径，$h$为高）；2. 分别计算大容器的体积、表示出10个小杯子的总体积；3. 根据体积相等列方程求解小杯子的高度。
【解析】
设小杯子的高度为$x$ cm。
1. 计算大圆柱参数及体积：
大圆柱底面半径：$16÷2=8\ \mathrm{cm}$
大圆柱容积（果汁总体积）：$V_{\mathrm{大}}=π×8^2×30$
2. 计算小圆柱参数及总容积：
小杯子底面半径：$8÷2=4\ \mathrm{cm}$
10个小杯子总容积：$V_{\mathrm{总}}=10×π×4^2× x$
3. 列方程求解：
根据果汁体积不变，可得$π×8^2×30=10×π×4^2× x$
两边同时约去$π$，计算得：
$64×30=10×16× x$
$1920=160x$
解得$x=12$
【答案】
12
【知识点】
圆柱体积计算；一元一次方程的应用；形积问题
【点评】
本题考查形积问题的求解，关键是抓住“形变体积不变”的规律，利用圆柱体积公式建立等量关系列方程解答，属于基础题型，熟练掌握体积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
11.如果一个长方形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美长方形”.如图所示，“优美长方形”ABCD的周长为26，则正方形b的边长为
1
.答案
11.1
解析
【分析】
本题属于形积类的一元一次方程应用题，解题思路如下：第一步，设正方形b的边长为未知数x；第二步，根据图形中正方形无缝隙拼接的特点，依次推导其他正方形的边长用x表示的形式：两个正方形b上下拼接，高度等于2x，因此正方形a的边长为2x；正方形c的边长等于a的边长加b的边长，即3x；正方形d的边长等于大长方形的竖直边长，也就是a的边长加c的边长，即5x；第三步，推导大长方形的长和宽：长为c的边长加d的边长=8x，宽为d的边长=5x；第四步，结合长方形周长公式列方程求解即可得到x的值。
【解析】
设正方形b的边长为$ x $。
根据图形拼接关系可得：
正方形a的边长为$ 2x $，
正方形c的边长为$ 2x + x = 3x $，
正方形d的边长为$ 2x + 3x = 5x $，
因此大长方形ABCD的长为$ 3x + 5x = 8x $，宽为$ 5x $。
已知长方形周长为26，根据长方形周长公式$ 周长=2×(长+宽) $，列方程：
$ 2×(8x + 5x) = 26 $
化简得：$ 2×13x = 26 $
即：$ 26x = 26 $
解得：$ x = 1 $
【答案】
1
【知识点】
一元一次方程的应用，长方形周长公式，正方形的性质
【点评】
本题是典型的图形拼接类方程应用题，解题核心是通过观察图形拼接特征，准确梳理出各正方形边长之间的数量关系，再结合已知的周长条件列方程求解，需要具备一定的图形观察能力和等量关系梳理能力。
【难度系数】
0.7
本题属于形积类的一元一次方程应用题，解题思路如下：第一步，设正方形b的边长为未知数x；第二步，根据图形中正方形无缝隙拼接的特点，依次推导其他正方形的边长用x表示的形式：两个正方形b上下拼接，高度等于2x，因此正方形a的边长为2x；正方形c的边长等于a的边长加b的边长，即3x；正方形d的边长等于大长方形的竖直边长，也就是a的边长加c的边长，即5x；第三步，推导大长方形的长和宽：长为c的边长加d的边长=8x，宽为d的边长=5x；第四步，结合长方形周长公式列方程求解即可得到x的值。
【解析】
设正方形b的边长为$ x $。
根据图形拼接关系可得：
正方形a的边长为$ 2x $，
正方形c的边长为$ 2x + x = 3x $，
正方形d的边长为$ 2x + 3x = 5x $，
因此大长方形ABCD的长为$ 3x + 5x = 8x $，宽为$ 5x $。
已知长方形周长为26，根据长方形周长公式$ 周长=2×(长+宽) $，列方程：
$ 2×(8x + 5x) = 26 $
化简得：$ 2×13x = 26 $
即：$ 26x = 26 $
解得：$ x = 1 $
【答案】
1
【知识点】
一元一次方程的应用，长方形周长公式，正方形的性质
【点评】
本题是典型的图形拼接类方程应用题，解题核心是通过观察图形拼接特征，准确梳理出各正方形边长之间的数量关系，再结合已知的周长条件列方程求解，需要具备一定的图形观察能力和等量关系梳理能力。
【难度系数】
0.7
12.（教材P154习题T1变式）在一个底面直径为5 cm，高为18 cm的圆柱形空瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个底面直径为6 cm，高为10 cm的圆柱形空玻璃杯中，能否完全装下？若装不下，则瓶内水还剩多高？若装得下，求杯内水面离杯口的距离。
答案
12. 解:$\because π×(\frac{5}{2})^2×18=112.5π(\mathrm{cm}^3),π×(\frac{6}{2})^2×10=90π(\mathrm{cm}^3)$,且$112.5π＞90π$,$\therefore$不能完全装下. 设瓶内水还剩 y cm 高. 根据题意,得 $112.5π=π×(\frac{5}{2})^2 y+90π$,解得 $y=3.6$. 答:装不下,且瓶内水还剩 3.6 cm 高.
解析
【分析】
要判断水能否完全装下，首先需分别计算出圆柱形瓶内水的总体积和玻璃杯的容积，比较两者大小：若水的总体积小于等于玻璃杯容积则能装下，反之装不下。若装不下，可依据“总水体积=玻璃杯容积+瓶内剩余水体积”的等量关系，结合圆柱体积公式设未知数列方程求解剩余水的高度。
【解析】
解：先计算两个圆柱形容器的体积：
1. 原圆柱形瓶内水的总体积：
根据圆柱体积公式$V=π r^2 h$，原瓶底面半径为$\frac{5}{2}\mathrm{cm}$，高为$18\mathrm{cm}$，
$V_{\mathrm{水}}=π×(\frac{5}{2})^2×18=112.5π(\mathrm{cm}^3)$
2. 玻璃杯的容积：
玻璃杯底面半径为$\frac{6}{2}=3\mathrm{cm}$，高为$10\mathrm{cm}$，
$V_{\mathrm{杯}}=π×3^2×10=90π(\mathrm{cm}^3)$
因为$112.5π＞90π$，所以水不能完全装下。
设瓶内水还剩$y\mathrm{cm}$高，剩余水的体积为$π×(\frac{5}{2})^2 y$，根据总水体积不变列方程：
$112.5π=π×(\frac{5}{2})^2 y+90π$
两边同时消去$π$，解得：
$112.5=\frac{25}{4}y+90$
$\frac{25}{4}y=22.5$
$y=3.6$
【答案】
不能完全装下，瓶内水还剩3.6 cm高。
【知识点】
圆柱体积计算，一元一次方程应用，形积问题
【点评】
本题是典型的形积类实际应用题，解题核心是抓住水的总体积不变的等量关系，先通过容积大小比较判断装水情况，再结合体积公式建立方程求解，解题时要注意区分直径和半径，避免代入公式出错。
【难度系数】
0.7
要判断水能否完全装下，首先需分别计算出圆柱形瓶内水的总体积和玻璃杯的容积，比较两者大小：若水的总体积小于等于玻璃杯容积则能装下，反之装不下。若装不下，可依据“总水体积=玻璃杯容积+瓶内剩余水体积”的等量关系，结合圆柱体积公式设未知数列方程求解剩余水的高度。
【解析】
解：先计算两个圆柱形容器的体积：
1. 原圆柱形瓶内水的总体积：
根据圆柱体积公式$V=π r^2 h$，原瓶底面半径为$\frac{5}{2}\mathrm{cm}$，高为$18\mathrm{cm}$，
$V_{\mathrm{水}}=π×(\frac{5}{2})^2×18=112.5π(\mathrm{cm}^3)$
2. 玻璃杯的容积：
玻璃杯底面半径为$\frac{6}{2}=3\mathrm{cm}$，高为$10\mathrm{cm}$，
$V_{\mathrm{杯}}=π×3^2×10=90π(\mathrm{cm}^3)$
因为$112.5π＞90π$，所以水不能完全装下。
设瓶内水还剩$y\mathrm{cm}$高，剩余水的体积为$π×(\frac{5}{2})^2 y$，根据总水体积不变列方程：
$112.5π=π×(\frac{5}{2})^2 y+90π$
两边同时消去$π$，解得：
$112.5=\frac{25}{4}y+90$
$\frac{25}{4}y=22.5$
$y=3.6$
【答案】
不能完全装下，瓶内水还剩3.6 cm高。
【知识点】
圆柱体积计算，一元一次方程应用，形积问题
【点评】
本题是典型的形积类实际应用题，解题核心是抓住水的总体积不变的等量关系，先通过容积大小比较判断装水情况，再结合体积公式建立方程求解，解题时要注意区分直径和半径，避免代入公式出错。
【难度系数】
0.7
13.如图,小王计划利用长为 42 m 的竹篱笆围成一个长边靠墙的长方形菜园 ABCD,并在边 CD 上留一个宽为 1 m 的门,已知墙的长度为 18 m.现有下列两个方案:
方案一:围成的菜园的长比宽多 7 m;
方案二:围成的菜园的长比宽多 4 m.
请问:这两个方案哪个能实现?如果能实现,那么这个长方形菜园的面积是多少?
方案一:围成的菜园的长比宽多 7 m;
方案二:围成的菜园的长比宽多 4 m.
请问:这两个方案哪个能实现?如果能实现,那么这个长方形菜园的面积是多少?
答案
13. 解:方案一,设围成的菜园的宽为 x m,则长为(42+1-2x)m. 根据题意,得 42+1-2x-x=7,解得 x=12. 则 42+1-2x=19＞18,不合题意.
∴方案一不能实现. 方案二,设围成的菜园的宽为 y m,则长为(42+1-2y)m. 根据题意,得 42+1-2y-y=4,解得 y=13. 则 42+1-2y=17＜18,符合题意.
∴方案二能实现,则 17×13=221($\mathrm{m}^2$). 答:方案二能实现,这个长方形菜园的面积是 221 $\mathrm{m}^2$.
∴方案一不能实现. 方案二,设围成的菜园的宽为 y m,则长为(42+1-2y)m. 根据题意,得 42+1-2y-y=4,解得 y=13. 则 42+1-2y=17＜18,符合题意.
∴方案二能实现,则 17×13=221($\mathrm{m}^2$). 答:方案二能实现,这个长方形菜园的面积是 221 $\mathrm{m}^2$.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确篱笆与长方形边长的关系：长边靠墙，CD处1m宽的门不需要篱笆，因此“2个宽的长度+长的长度=篱笆总长度+门的宽度（1m）”。接下来分别对两个方案分析：先设宽为未知数，根据“长比宽多的长度”列一元一次方程，求解后得到的长需要和墙长18m比较，若长≤18m则方案可行，反之不可行，可行的方案再计算长方形面积即可。
【解析】
验证方案一：
设方案一中菜园的宽为$x\ \mathrm{m}$，则长为$(42+1-2x)\ \mathrm{m}$即$(43-2x)\ \mathrm{m}$。
根据“长比宽多7m”列方程：
$43-2x -x=7$
整理得$3x=36$，解得$x=12$。
此时长为$43-2×12=19\ \mathrm{m}$，$19＞18$，超过墙的最大长度，不符合实际，因此方案一不能实现。
验证方案二：
设方案二中菜园的宽为$y\ \mathrm{m}$，则长为$(43-2y)\ \mathrm{m}$。
根据“长比宽多4m”列方程：
$43-2y -y=4$
整理得$3y=39$，解得$y=13$。
此时长为$43-2×13=17\ \mathrm{m}$，$17＜18$，符合墙长限制，方案二能实现。
菜园面积为$17×13=221\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
方案二能实现，这个长方形菜园的面积是$221\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
一元一次方程应用，长方形周长计算，实际问题合理性检验
【点评】
本题结合生活场景出题，核心考察列一元一次方程解决形积问题的能力，易错点有两个：一是忽略门不需要篱笆，计算边长关系时漏加门宽；二是得到方程的解后没有结合墙长限制判断结果是否符合实际。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确篱笆与长方形边长的关系：长边靠墙，CD处1m宽的门不需要篱笆，因此“2个宽的长度+长的长度=篱笆总长度+门的宽度（1m）”。接下来分别对两个方案分析：先设宽为未知数，根据“长比宽多的长度”列一元一次方程，求解后得到的长需要和墙长18m比较，若长≤18m则方案可行，反之不可行，可行的方案再计算长方形面积即可。
【解析】
验证方案一：
设方案一中菜园的宽为$x\ \mathrm{m}$，则长为$(42+1-2x)\ \mathrm{m}$即$(43-2x)\ \mathrm{m}$。
根据“长比宽多7m”列方程：
$43-2x -x=7$
整理得$3x=36$，解得$x=12$。
此时长为$43-2×12=19\ \mathrm{m}$，$19＞18$，超过墙的最大长度，不符合实际，因此方案一不能实现。
验证方案二：
设方案二中菜园的宽为$y\ \mathrm{m}$，则长为$(43-2y)\ \mathrm{m}$。
根据“长比宽多4m”列方程：
$43-2y -y=4$
整理得$3y=39$，解得$y=13$。
此时长为$43-2×13=17\ \mathrm{m}$，$17＜18$，符合墙长限制，方案二能实现。
菜园面积为$17×13=221\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
方案二能实现，这个长方形菜园的面积是$221\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
一元一次方程应用，长方形周长计算，实际问题合理性检验
【点评】
本题结合生活场景出题，核心考察列一元一次方程解决形积问题的能力，易错点有两个：一是忽略门不需要篱笆，计算边长关系时漏加门宽；二是得到方程的解后没有结合墙长限制判断结果是否符合实际。
【难度系数】
0.7
14.对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边.一般情况下，天头长与地头长的比是6：4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的$\frac{1}{10}$.某人要装裱一副对联，对联的长为100 cm，宽为27 cm.若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长.
答案
14. 解:设天头长为6x cm,地头长为4x cm,则左、右边的宽为x cm. 根据题意,得 100+(6x+4x)=4×(27+2x),解得 x=4. 则 6x=24. 答:边的宽为 4 cm,天头长为 24 cm.
解析
【分析】
解题时先根据天头长与地头长的比例关系，采用设参数的方式表示两个量，再根据边宽和天头、地头长度和的关系表示出边宽；接下来分别写出装裱后的长、宽的表达式，再根据“装裱后的长是装裱后的宽的4倍”这一等量关系列一元一次方程，解方程求出参数的值后，即可求出边的宽和天头长。
【解析】
解：设天头长为$6x$ cm，地头长为$4x$ cm，
则左、右边的宽为$\frac{1}{10}(6x+4x)=x$ cm。
根据题意列方程：
$100+6x+4x=4×(27+2x)$
整理得：$100+10x=108+8x$
移项计算得：$2x=8$
解得$x=4$
则边的宽为$x=4$ cm，天头长为$6x=6×4=24$ cm。
【答案】
边的宽为4 cm，天头长为24 cm
【知识点】
一元一次方程应用；比例问题；列方程解应用题
【点评】
本题结合传统对联装裱的生活场景，考查学生利用比例设元、寻找等量关系解决实际问题的能力，解题的关键是正确表示出装裱后长和宽的代数式，理清两者的数量关系。
【难度系数】
0.7
解题时先根据天头长与地头长的比例关系，采用设参数的方式表示两个量，再根据边宽和天头、地头长度和的关系表示出边宽；接下来分别写出装裱后的长、宽的表达式，再根据“装裱后的长是装裱后的宽的4倍”这一等量关系列一元一次方程，解方程求出参数的值后，即可求出边的宽和天头长。
【解析】
解：设天头长为$6x$ cm，地头长为$4x$ cm，
则左、右边的宽为$\frac{1}{10}(6x+4x)=x$ cm。
根据题意列方程：
$100+6x+4x=4×(27+2x)$
整理得：$100+10x=108+8x$
移项计算得：$2x=8$
解得$x=4$
则边的宽为$x=4$ cm，天头长为$6x=6×4=24$ cm。
【答案】
边的宽为4 cm，天头长为24 cm
【知识点】
一元一次方程应用；比例问题；列方程解应用题
【点评】
本题结合传统对联装裱的生活场景，考查学生利用比例设元、寻找等量关系解决实际问题的能力，解题的关键是正确表示出装裱后长和宽的代数式，理清两者的数量关系。
【难度系数】
0.7
