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1.“绿水青山就是金山银山”，希望中学每年都会组织学生进行植树活动.今年该校又买了一批树苗，并组建了植树小组.如果每组植5棵，就会多出6棵树苗；如果每组植6棵，就会缺少9棵树苗.设学校这次共买了$x$棵树苗，则可列出的方程为
$\frac{x-6}{5}=\frac{x+9}{6}$
.答案
1. $\frac{x-6}{5}=\frac{x+9}{6}$
解析
【分析】
列方程解应用题的核心是找到等量关系，本题中学校组建的植树小组的组数是固定不变的，我们可以通过两种分配树苗的方案分别表示出组数，令二者相等即可列出方程。首先分析第一种分配方案：每组植5棵多6棵，说明总树苗数减去多余的6棵，刚好能按每组5棵分完，除以5就能得到组数；再分析第二种分配方案：每组植6棵少9棵，说明总树苗数加上缺少的9棵，刚好能按每组6棵分完，除以6也能得到组数，两个组数相等即可建立等式。
【解析】
解：由题意可知植树小组的数量固定不变。
1. 当每组植5棵时，多6棵树苗，刚好分完的树苗数量为$(x-6)$棵，
此时植树小组的组数为：$\frac{x-6}{5}$；
2. 当每组植6棵时，少9棵树苗，刚好分完需要的树苗数量为$(x+9)$棵，
此时植树小组的组数为：$\frac{x+9}{6}$；
因为两种方案的小组组数相等，因此可列方程：$\frac{x-6}{5}=\frac{x+9}{6}$。
【答案】
$\frac{x-6}{5}=\frac{x+9}{6}$
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 盈亏问题等量关系
3. 找不变量列方程
【点评】
本题是典型的盈亏类列方程问题，解题的关键是准确抓住题目中的不变量作为列方程的依据，熟练掌握找等量关系的方法就能快速解决这类问题。
【难度系数】
0.7
列方程解应用题的核心是找到等量关系，本题中学校组建的植树小组的组数是固定不变的，我们可以通过两种分配树苗的方案分别表示出组数，令二者相等即可列出方程。首先分析第一种分配方案：每组植5棵多6棵，说明总树苗数减去多余的6棵，刚好能按每组5棵分完，除以5就能得到组数；再分析第二种分配方案：每组植6棵少9棵，说明总树苗数加上缺少的9棵，刚好能按每组6棵分完，除以6也能得到组数，两个组数相等即可建立等式。
【解析】
解：由题意可知植树小组的数量固定不变。
1. 当每组植5棵时，多6棵树苗，刚好分完的树苗数量为$(x-6)$棵，
此时植树小组的组数为：$\frac{x-6}{5}$；
2. 当每组植6棵时，少9棵树苗，刚好分完需要的树苗数量为$(x+9)$棵，
此时植树小组的组数为：$\frac{x+9}{6}$；
因为两种方案的小组组数相等，因此可列方程：$\frac{x-6}{5}=\frac{x+9}{6}$。
【答案】
$\frac{x-6}{5}=\frac{x+9}{6}$
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 盈亏问题等量关系
3. 找不变量列方程
【点评】
本题是典型的盈亏类列方程问题，解题的关键是准确抓住题目中的不变量作为列方程的依据，熟练掌握找等量关系的方法就能快速解决这类问题。
【难度系数】
0.7
2. 某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位.设该客车的载客量为x人，则可列出的方程为
$4x+30=5x-10$
.答案
2. $4x+30=5x-10$
解析
【分析】
要列出方程首先需要找到题目中的不变量，本题中七年级学生的总人数是固定不变的。我们可以先分别用含载客量x的式子表示出两种租车方案下的总人数，再根据总人数相等列出等式即可。具体来说，租4辆车时，总人数等于4辆车可载的人数加上没座位的30人；租5辆车时，总人数等于5辆车可载的人数减去空余的10个座位对应的人数。
【解析】
第一步：计算租4辆客车时的总人数：
每辆车载客量为x人，4辆车可载4x人，还剩30人没有座位，因此总人数可表示为$4x+30$。
第二步：计算租5辆客车时的总人数：
5辆车可载5x人，还空10个座位，说明总人数比5辆车载客总量少10人，因此总人数可表示为$5x-10$。
第三步：根据两种租车方案的总人数相等，列出方程：
$4x+30=5x-10$
【答案】
$4x+30=5x-10$
【知识点】
一元一次方程应用，盈亏问题，找等量关系
【点评】
本题是典型的盈亏类列方程题型，解题核心是抓住题目中的不变量，分别表示不同方案下的同一不变量，再建立等式即可，属于方程应用的基础题型，熟练掌握方法后可快速求解。
【难度系数】
0.8
要列出方程首先需要找到题目中的不变量，本题中七年级学生的总人数是固定不变的。我们可以先分别用含载客量x的式子表示出两种租车方案下的总人数，再根据总人数相等列出等式即可。具体来说，租4辆车时，总人数等于4辆车可载的人数加上没座位的30人；租5辆车时，总人数等于5辆车可载的人数减去空余的10个座位对应的人数。
【解析】
第一步：计算租4辆客车时的总人数：
每辆车载客量为x人，4辆车可载4x人，还剩30人没有座位，因此总人数可表示为$4x+30$。
第二步：计算租5辆客车时的总人数：
5辆车可载5x人，还空10个座位，说明总人数比5辆车载客总量少10人，因此总人数可表示为$5x-10$。
第三步：根据两种租车方案的总人数相等，列出方程：
$4x+30=5x-10$
【答案】
$4x+30=5x-10$
【知识点】
一元一次方程应用，盈亏问题，找等量关系
【点评】
本题是典型的盈亏类列方程题型，解题核心是抓住题目中的不变量，分别表示不同方案下的同一不变量，再建立等式即可，属于方程应用的基础题型，熟练掌握方法后可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. NEW 数学文化·《九章算术》《九章算术》中有这样一道题:今有共买羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三,问人数、羊价几何? 这道题的意思是:今有若干人共买一只羊,若每人出5钱,则还差45钱;若每人出7钱,则仍然差3钱. 求买羊的人数及羊价.
(1)设买羊的人数为$x$人,请补全下表:
(2)根据等量关系可列方程为
因此买羊的人数为
(1)设买羊的人数为$x$人,请补全下表:
(2)根据等量关系可列方程为
$5x+45=7x+3$
,解得 $x=21$
.因此买羊的人数为
$21$
人,羊价为 $150$
钱.答案
3. (1)$x$ $5x$ $7x$ $5x+45$ $7x+3$ (2)$5x+45=7x+3$ $x=21$ 21 150
解析
【分析】
首先解决第(1)问补全表格：人数不随每人出钱数变化，始终为x人；出钱总数=每人出钱数×人数，据此可分别计算两种出钱方式下的总出钱数；羊价是固定值，等于总出钱数加上还差的钱数，即可得到两种方式表示的羊价。再解决第(2)问：羊价是固定不变的，因此两种方式表示的羊价相等，据此列出一元一次方程，求解得到人数，再代入任意一个羊价的表达式即可算出羊价。
【解析】
(1) 补全表格相关内容：
人数不随出钱方案改变，因此每人出7钱时人数仍为$x$；
出钱总数=每人出钱数×人数，因此每人出5钱时总出钱数为$5x$，每人出7钱时总出钱数为$7x$；
羊价=总出钱数+差的钱数，因此每人出5钱时羊价为$5x+45$，每人出7钱时羊价为$7x+3$。
(2) 羊价为固定值，因此两种方案表示的羊价相等，列方程为：
$5x+45=7x+3$
移项得：$45-3=7x-5x$
合并同类项得：$42=2x$
系数化为1得：$x=21$
将$x=21$代入$5x+45$，得羊价为$5×21+45=150$（钱）。
【答案】
(1) $x$；$5x$；$7x$；$5x+45$；$7x+3$
(2) $5x+45=7x+3$；$x=21$；$21$；$150$
【知识点】
一元一次方程的应用；盈亏问题；列代数式
【点评】
本题结合古代数学经典著作《九章算术》的问题背景，考查利用一元一次方程解决实际问题，解题关键是抓住问题中的不变量（羊价）建立等量关系，掌握列方程解应用题的基本步骤即可顺利解决。
【难度系数】
0.8
首先解决第(1)问补全表格：人数不随每人出钱数变化，始终为x人；出钱总数=每人出钱数×人数，据此可分别计算两种出钱方式下的总出钱数；羊价是固定值，等于总出钱数加上还差的钱数，即可得到两种方式表示的羊价。再解决第(2)问：羊价是固定不变的，因此两种方式表示的羊价相等，据此列出一元一次方程，求解得到人数，再代入任意一个羊价的表达式即可算出羊价。
【解析】
(1) 补全表格相关内容：
人数不随出钱方案改变，因此每人出7钱时人数仍为$x$；
出钱总数=每人出钱数×人数，因此每人出5钱时总出钱数为$5x$，每人出7钱时总出钱数为$7x$；
羊价=总出钱数+差的钱数，因此每人出5钱时羊价为$5x+45$，每人出7钱时羊价为$7x+3$。
(2) 羊价为固定值，因此两种方案表示的羊价相等，列方程为：
$5x+45=7x+3$
移项得：$45-3=7x-5x$
合并同类项得：$42=2x$
系数化为1得：$x=21$
将$x=21$代入$5x+45$，得羊价为$5×21+45=150$（钱）。
【答案】
(1) $x$；$5x$；$7x$；$5x+45$；$7x+3$
(2) $5x+45=7x+3$；$x=21$；$21$；$150$
【知识点】
一元一次方程的应用；盈亏问题；列代数式
【点评】
本题结合古代数学经典著作《九章算术》的问题背景，考查利用一元一次方程解决实际问题，解题关键是抓住问题中的不变量（羊价）建立等量关系，掌握列方程解应用题的基本步骤即可顺利解决。
【难度系数】
0.8
4.现有树苗若干棵,计划栽在一段公路的一侧,要求路的两端各栽1棵,并且每2棵树的间隔相等.方案一:若每隔5米栽1棵,则树苗缺21棵;方案二:若每隔5.5米栽1棵,则树苗正好用完.设原有树苗x棵,请根据题意,解答下列问题:
(1)完善表格:
|方案|间隔长/米|应植树数/棵|路长/米|
|----|----|----|----|
|方案一|5|
| |
|方案二|5.5| | |
(2)求x的值及这段路的长度.
(1)完善表格:
|方案|间隔长/米|应植树数/棵|路长/米|
|----|----|----|----|
|方案一|5|
| ||方案二|5.5| | |
(2)求x的值及这段路的长度.
答案
4. 解:(1)$x+21$ $5(x+21-1)$ $x$ $5.5(x-1)$ (2)根据题意,得$5(x+21-1)=5.5(x-1)$,解得$x=211$.$5×(211+21-1)=1\ 155$(米).答:$x$的值为211,这段路的长度为1 155米.
解析
【分析】
本题是植树问题与一元一次方程结合的应用题，解题核心先明确两个关键点：①两端都栽树的数量关系：植树棵数=间隔数+1，即路长=间隔长×(植树棵数-1)；②两个方案的路长度是固定不变的。
解(1)时，先对应两个方案的植树棵数：方案一缺21棵，说明栽满路需要的树苗数=原有树苗数+缺少的21棵；方案二树苗正好用完，说明需要的树苗数就是原有树苗数，再结合路长公式即可补全表格。
解(2)时，利用“路长相等”的等量关系列方程，解方程求出x后代入任意一个路长公式，就能得到路的总长度。
【解析】
(1) 根据两端都栽树的规律：间隔数=植树棵数-1，路长=间隔长×间隔数。
方案一：每隔5米栽1棵，缺21棵，因此应植树数为$\boldsymbol{x+21}$棵，路长为$5×(x+21-1)=\boldsymbol{5(x+21-1)}$米；
方案二：每隔5.5米栽1棵，树苗正好用完，因此应植树数为$\boldsymbol{x}$棵，路长为$5.5×(x-1)=\boldsymbol{5.5(x-1)}$米。
(2) 因为两个方案的路长相等，可列方程：
$\begin{aligned}5(x+21-1)&=5.5(x-1)\\5(x+20)&=5.5x-5.5\\5x+100&=5.5x-5.5\\0.5x&=105.5\\x&=211\end{aligned}$
将$x=211$代入$5.5(x-1)$，得路长为：$5.5×(211-1)=5.5×210=1155$（米）
【答案】
(1) $x+21$；$5(x+21-1)$；$x$；$5.5(x-1)$
(2) $x$的值为$211$，这段路的长度为$1155$米
【知识点】
1. 两端栽树的植树问题
2. 一元一次方程的实际应用
3. 等量关系梳理
【点评】
本题属于方程实际应用的基础题型，解题关键是抓住“路长不变”这个隐含的等量关系，同时要注意两端都栽树时，植树棵数比间隔数多1，避免漏减1导致列式错误，掌握植树问题不同场景的数量关系可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
本题是植树问题与一元一次方程结合的应用题，解题核心先明确两个关键点：①两端都栽树的数量关系：植树棵数=间隔数+1，即路长=间隔长×(植树棵数-1)；②两个方案的路长度是固定不变的。
解(1)时，先对应两个方案的植树棵数：方案一缺21棵，说明栽满路需要的树苗数=原有树苗数+缺少的21棵；方案二树苗正好用完，说明需要的树苗数就是原有树苗数，再结合路长公式即可补全表格。
解(2)时，利用“路长相等”的等量关系列方程，解方程求出x后代入任意一个路长公式，就能得到路的总长度。
【解析】
(1) 根据两端都栽树的规律：间隔数=植树棵数-1，路长=间隔长×间隔数。
方案一：每隔5米栽1棵，缺21棵，因此应植树数为$\boldsymbol{x+21}$棵，路长为$5×(x+21-1)=\boldsymbol{5(x+21-1)}$米；
方案二：每隔5.5米栽1棵，树苗正好用完，因此应植树数为$\boldsymbol{x}$棵，路长为$5.5×(x-1)=\boldsymbol{5.5(x-1)}$米。
(2) 因为两个方案的路长相等，可列方程：
$\begin{aligned}5(x+21-1)&=5.5(x-1)\\5(x+20)&=5.5x-5.5\\5x+100&=5.5x-5.5\\0.5x&=105.5\\x&=211\end{aligned}$
将$x=211$代入$5.5(x-1)$，得路长为：$5.5×(211-1)=5.5×210=1155$（米）
【答案】
(1) $x+21$；$5(x+21-1)$；$x$；$5.5(x-1)$
(2) $x$的值为$211$，这段路的长度为$1155$米
【知识点】
1. 两端栽树的植树问题
2. 一元一次方程的实际应用
3. 等量关系梳理
【点评】
本题属于方程实际应用的基础题型，解题关键是抓住“路长不变”这个隐含的等量关系，同时要注意两端都栽树时，植树棵数比间隔数多1，避免漏减1导致列式错误，掌握植树问题不同场景的数量关系可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
5. 利用方程解应用题:我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗:“庭前孩童闹如簇,不知人数不知梨.每人四梨多十二,每人六梨恰齐足.”其大意是:孩童们在庭院玩耍,不知有多少人和梨子.每人分4个梨,则多12个梨;每人分6个梨,则恰好分完.求孩童的人数和梨子的个数.
(1)设孩童的人数为x人,请根据题意列方程解决问题.
(2)你还有其他设未知量的方法吗?类比上述思路解决问题.
(1)设孩童的人数为x人,请根据题意列方程解决问题.
(2)你还有其他设未知量的方法吗?类比上述思路解决问题.
答案
5. 解:(1)由题意,得$4x+12=6x$,解得$x=6$. $\therefore 6x=36$.答:孩童有6人,梨有36个. (2)设梨子的个数为$y$个.根据题意,得$\frac{y}{6}=\frac{y-12}{4}$,解得$y=36$. $\therefore \frac{y}{6}=6$.答:孩童有6人,梨有36个.
解析
【分析】
本题属于一元一次方程应用中的盈亏问题，解题核心是找准题目中的不变量建立等量关系。(1)设孩童人数为x时，梨的总个数是固定不变的：每人分4个多12个，梨的总数可表示为$4x+12$；每人分6个刚好分完，梨的总数可表示为$6x$，根据梨的总数相等即可列方程求解。(2)若换设梨的个数为未知量，此时孩童人数是固定不变的：梨的总数为y时，每人分6个刚好分完，人数可表示为$\frac{y}{6}$；每人分4个多12个，即分掉的梨为$(y-12)$个，人数可表示为$\frac{y-12}{4}$，根据人数相等即可列方程求解。
【解析】
(1) 设孩童的人数为$x$人，根据梨的总个数不变列方程：
$\begin{aligned}4x + 12 &= 6x \\6x - 4x &= 12 \\2x &= 12 \\x &= 6\end{aligned}$
梨的个数为$6x=6×6=36$（个）
答：孩童有6人，梨有36个。
(2) 设梨子的个数为$y$个，根据孩童的人数不变列方程：
$\begin{aligned}\frac{y}{6} &= \frac{y - 12}{4} \\4y &= 6(y - 12) \\4y &= 6y - 72 \\6y - 4y &= 72 \\2y &= 72 \\y &= 36\end{aligned}$
孩童的人数为$\frac{y}{6}=\frac{36}{6}=6$（人）
答：孩童有6人，梨有36个。
【答案】
(1) 孩童有6人，梨有36个；
(2) 孩童有6人，梨有36个。
【知识点】
一元一次方程的应用；盈亏问题；等量关系确定
【点评】
本题以古代算题为背景，考查一元一次方程的实际应用，解题关键是抓住题目中的不变量建立等量关系，通过一题多解的设置可以拓宽解题思路，提升分析问题的能力。
【难度系数】
0.8
本题属于一元一次方程应用中的盈亏问题，解题核心是找准题目中的不变量建立等量关系。(1)设孩童人数为x时，梨的总个数是固定不变的：每人分4个多12个，梨的总数可表示为$4x+12$；每人分6个刚好分完，梨的总数可表示为$6x$，根据梨的总数相等即可列方程求解。(2)若换设梨的个数为未知量，此时孩童人数是固定不变的：梨的总数为y时，每人分6个刚好分完，人数可表示为$\frac{y}{6}$；每人分4个多12个，即分掉的梨为$(y-12)$个，人数可表示为$\frac{y-12}{4}$，根据人数相等即可列方程求解。
【解析】
(1) 设孩童的人数为$x$人，根据梨的总个数不变列方程：
$\begin{aligned}4x + 12 &= 6x \\6x - 4x &= 12 \\2x &= 12 \\x &= 6\end{aligned}$
梨的个数为$6x=6×6=36$（个）
答：孩童有6人，梨有36个。
(2) 设梨子的个数为$y$个，根据孩童的人数不变列方程：
$\begin{aligned}\frac{y}{6} &= \frac{y - 12}{4} \\4y &= 6(y - 12) \\4y &= 6y - 72 \\6y - 4y &= 72 \\2y &= 72 \\y &= 36\end{aligned}$
孩童的人数为$\frac{y}{6}=\frac{36}{6}=6$（人）
答：孩童有6人，梨有36个。
【答案】
(1) 孩童有6人，梨有36个；
(2) 孩童有6人，梨有36个。
【知识点】
一元一次方程的应用；盈亏问题；等量关系确定
【点评】
本题以古代算题为背景，考查一元一次方程的实际应用，解题关键是抓住题目中的不变量建立等量关系，通过一题多解的设置可以拓宽解题思路，提升分析问题的能力。
【难度系数】
0.8
