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1. (★)计算下列多项式的积：
(1)$(m+3)(m-3)$；
(2)$(3x+4)(3x-4)$。
(1)$(m+3)(m-3)$；
(2)$(3x+4)(3x-4)$。
答案
解：
(1) 根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，令$a=m$，$b=3$：
$\begin{aligned}(m+3)(m-3)&=m^2 - 3^2\\&=m^2 -9\end{aligned}$
(2) 根据平方差公式，令$a=3x$，$b=4$：
$\begin{aligned}(3x+4)(3x-4)&=(3x)^2 - 4^2\\&=9x^2 -16\end{aligned}$
(1) 根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，令$a=m$，$b=3$：
$\begin{aligned}(m+3)(m-3)&=m^2 - 3^2\\&=m^2 -9\end{aligned}$
(2) 根据平方差公式，令$a=3x$，$b=4$：
$\begin{aligned}(3x+4)(3x-4)&=(3x)^2 - 4^2\\&=9x^2 -16\end{aligned}$
2. (★)观察第1题中两个式子及运算结果，用式子表示你发现的规律为.也就是说，两个数的和与的积，等于这两个数的平方差.这个公式叫作(乘法的)平方差公式.
答案
解：
$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$
这两个数的差
$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$
这两个数的差
3. (★)直接写出下列多项式的积：
(1)$(\frac{1}{4}a -1)(\frac{1}{4}a +1)=$；
(2)$(-3y + y^2)(y^2 +3y)=$。
(1)$(\frac{1}{4}a -1)(\frac{1}{4}a +1)=$；
(2)$(-3y + y^2)(y^2 +3y)=$。
答案
(1) $\boldsymbol{\frac{1}{16}a^2 - 1}$；
(2) $\boldsymbol{y^4 - 9y^2}$。
(2) $\boldsymbol{y^4 - 9y^2}$。
解析
解：
(1) 由平方差公式可得：
$(\frac{1}{4}a -1)(\frac{1}{4}a +1)=(\frac{1}{4}a)^2 - 1^2 = \frac{1}{16}a^2 -1$
(2) 先将式子变形为$(y^2 - 3y)(y^2 + 3y)$，由平方差公式可得：
$(-3y + y^2)(y^2 + 3y)=(y^2)^2 - (3y)^2 = y^4 - 9y^2$
最终
(1) 由平方差公式可得：
$(\frac{1}{4}a -1)(\frac{1}{4}a +1)=(\frac{1}{4}a)^2 - 1^2 = \frac{1}{16}a^2 -1$
(2) 先将式子变形为$(y^2 - 3y)(y^2 + 3y)$，由平方差公式可得：
$(-3y + y^2)(y^2 + 3y)=(y^2)^2 - (3y)^2 = y^4 - 9y^2$
最终
4. (★)下列各式可以用平方差公式计算的是 【 】
A.$(x+2y)(2x-y)$
B.$(x^2+y)(x^2-y)$
C.$(-x+y)(x-y)$
D.$(x+y)(y+x)$
A.$(x+2y)(2x-y)$
B.$(x^2+y)(x^2-y)$
C.$(-x+y)(x-y)$
D.$(x+y)(y+x)$
答案
B
解析
平方差公式的结构特征为：两个多项式相乘，有一项完全相同，另一项互为相反数，符合该特征的式子可使用平方差公式计算。
选项A：$(x+2y)(2x-y)$不存在完全相同的项和互为相反数的项，不符合平方差公式特征；
选项B：$(x^2+y)(x^2-y)$中完全相同的项是$x^2$，互为相反数的项是$y$和$-y$，符合平方差公式特征；
选项C：$(-x+y)(x-y)=-(x-y)(x-y)$，两项均互为相反数，不符合平方差公式特征；
选项D：$(x+y)(y+x)=(x+y)^2$，两项均完全相同，不符合平方差公式特征。
综上只有选项B符合要求。
选项A：$(x+2y)(2x-y)$不存在完全相同的项和互为相反数的项，不符合平方差公式特征；
选项B：$(x^2+y)(x^2-y)$中完全相同的项是$x^2$，互为相反数的项是$y$和$-y$，符合平方差公式特征；
选项C：$(-x+y)(x-y)=-(x-y)(x-y)$，两项均互为相反数，不符合平方差公式特征；
选项D：$(x+y)(y+x)=(x+y)^2$，两项均完全相同，不符合平方差公式特征。
综上只有选项B符合要求。
5. (★)下列计算正确的是 【 】
A.$(a+3b)(a-3b)=a^2-3b^2$
B.$(-a+3b)(a-3b)=-a^2-9b^2$
C.$(-a-3b)(a-3b)=-a^2+9b^2$
D.$(-a-3b)(a+3b)=a^2-9b^2$
A.$(a+3b)(a-3b)=a^2-3b^2$
B.$(-a+3b)(a-3b)=-a^2-9b^2$
C.$(-a-3b)(a-3b)=-a^2+9b^2$
D.$(-a-3b)(a+3b)=a^2-9b^2$
答案
C
解析
根据平方差公式$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$和完全平方公式$(x\pm y)^2=x^2\pm2xy+y^2$逐一验证：
1. 验证A选项：$(a+3b)(a-3b)=a^2-(3b)^2=a^2-9b^2≠ a^2-3b^2$，A错误；
2. 验证B选项：$(-a+3b)(a-3b)=-(a-3b)^2=-a^2+6ab-9b^2≠ -a^2-9b^2$，B错误；
3. 验证C选项：$(-a-3b)(a-3b)=(-3b-a)(-3b+a)=(-3b)^2-a^2=9b^2-a^2=-a^2+9b^2$，C正确；
4. 验证D选项：$(-a-3b)(a+3b)=-(a+3b)^2=-a^2-6ab-9b^2≠ a^2-9b^2$，D错误。
1. 验证A选项：$(a+3b)(a-3b)=a^2-(3b)^2=a^2-9b^2≠ a^2-3b^2$，A错误；
2. 验证B选项：$(-a+3b)(a-3b)=-(a-3b)^2=-a^2+6ab-9b^2≠ -a^2-9b^2$，B错误；
3. 验证C选项：$(-a-3b)(a-3b)=(-3b-a)(-3b+a)=(-3b)^2-a^2=9b^2-a^2=-a^2+9b^2$，C正确；
4. 验证D选项：$(-a-3b)(a+3b)=-(a+3b)^2=-a^2-6ab-9b^2≠ a^2-9b^2$，D错误。
6. (★)填空：
(1)$(a-5)(a+5)=$ ______；
(2)$(2x+3y)(2x-3y)=$ ______；
(3)$(x+3y)(\_\_\_\_\_\_)=x^2-9y^2$.
(1)$(a-5)(a+5)=$ ______；
(2)$(2x+3y)(2x-3y)=$ ______；
(3)$(x+3y)(\_\_\_\_\_\_)=x^2-9y^2$.
答案
(1) $\boldsymbol{a^2-25}$；(2) $\boldsymbol{4x^2-9y^2}$；(3) $\boldsymbol{x-3y}$
解析
解：
(1) $(a-5)(a+5)=a^2 - 5^2 = a^2 - 25$
(2) $(2x+3y)(2x-3y)=(2x)^2 - (3y)^2 = 4x^2 - 9y^2$
(3) 由平方差公式可得$x^2 - 9y^2 = (x+3y)(x-3y)$，故括号内应填$x-3y$
(1) $(a-5)(a+5)=a^2 - 5^2 = a^2 - 25$
(2) $(2x+3y)(2x-3y)=(2x)^2 - (3y)^2 = 4x^2 - 9y^2$
(3) 由平方差公式可得$x^2 - 9y^2 = (x+3y)(x-3y)$，故括号内应填$x-3y$
7. (★)填空：
(1)$(-3m-n)(3m-n)=$______；
(2)$(-1+2x)(-2x-1)=$______.
(1)$(-3m-n)(3m-n)=$______；
(2)$(-1+2x)(-2x-1)=$______.
答案
(1) $\boldsymbol{n^2-9m^2}$；(2) $\boldsymbol{1-4x^2}$
解析
解：
(1) 原式$=(-n-3m)(-n+3m)$
$=(-n)^2-(3m)^2$
$=n^2-9m^2$
(2) 原式$=(-1+2x)(-1-2x)$
$=(-1)^2-(2x)^2$
$=1-4x^2$
(1) 原式$=(-n-3m)(-n+3m)$
$=(-n)^2-(3m)^2$
$=n^2-9m^2$
(2) 原式$=(-1+2x)(-1-2x)$
$=(-1)^2-(2x)^2$
$=1-4x^2$
8. (★)计算：
(1)
(2) $40\frac{2}{3}×39\frac{1}{3}$
(3) $(2x - 3y)(3y + 2x) - (4y - 3x)(3x + 4y)$
(1)
(2) $40\frac{2}{3}×39\frac{1}{3}$
(3) $(2x - 3y)(3y + 2x) - (4y - 3x)(3x + 4y)$
答案
解：
(1) 原式$=(\frac{1}{2}y - \frac{1}{3}x)(\frac{1}{2}y + \frac{1}{3}x)$
$=(\frac{1}{2}y)^2 - (\frac{1}{3}x)^2$
$=\frac{1}{4}y^2 - \frac{1}{9}x^2$
(2) 原式$=(40 + \frac{2}{3})(40 - \frac{2}{3})$
$=40^2 - (\frac{2}{3})^2$
$=1600 - \frac{4}{9}$
$=1599\frac{5}{9}$
(3) 原式$=(2x-3y)(2x+3y) - (4y-3x)(4y+3x)$
$=(2x)^2 - (3y)^2 - [(4y)^2 - (3x)^2]$
$=4x^2 - 9y^2 - 16y^2 + 9x^2$
$=13x^2 - 25y^2$
(1) 原式$=(\frac{1}{2}y - \frac{1}{3}x)(\frac{1}{2}y + \frac{1}{3}x)$
$=(\frac{1}{2}y)^2 - (\frac{1}{3}x)^2$
$=\frac{1}{4}y^2 - \frac{1}{9}x^2$
(2) 原式$=(40 + \frac{2}{3})(40 - \frac{2}{3})$
$=40^2 - (\frac{2}{3})^2$
$=1600 - \frac{4}{9}$
$=1599\frac{5}{9}$
(3) 原式$=(2x-3y)(2x+3y) - (4y-3x)(4y+3x)$
$=(2x)^2 - (3y)^2 - [(4y)^2 - (3x)^2]$
$=4x^2 - 9y^2 - 16y^2 + 9x^2$
$=13x^2 - 25y^2$
