6. 如图①、图②均表示三角形的分类,则下列判断正确的是 ()


A.图①对,图②不对
B.图①、图②都对
C.图①、图②都不对
D.图②对,图①不对

6. D
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【分析】
解题时需先明确三角形的两种分类规则：1.按边分类：三角形分为不等边三角形、等腰三角形两类，其中等边三角形是特殊的等腰三角形，归属于等腰三角形范畴，不能与等腰三角形、不等边三角形同级并列；2.按角分类：三角形根据内角特征分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三类，三者为并列关系，无从属关系。分别对照两个图的分类方式即可判断对错。
【解析】
首先判断图①：等边三角形是特殊的等腰三角形，属于等腰三角形的子集，图①将等边三角形与等腰三角形、不等边三角形并列摆放，分类逻辑错误。
再判断图②：三角形按角可分为直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三类，三类是并列互斥的关系，图②的分类符合要求，分类正确。
因此图②对，图①不对。
【答案】
D
【知识点】
三角形按边分类、三角形按角分类
【点评】
本题考查三角形的分类标准，易错点是混淆等边三角形和等腰三角形的从属关系，只要牢记不同分类标准下各类三角形的层级关系即可轻松解题。
【难度系数】
0.7

7. 如图，已知$AB=AC$，$AD=BD=DE=CE=AE$，则图中共有个等腰三角形，有个等边三角形.

7. 4；1
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【分析】
解决本题首先要明确等腰三角形和等边三角形的定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形，三条边都相等的三角形是等边三角形。解题时先列举出图中所有的三角形，再结合题目给出的边相等的条件，逐一判断每个三角形是否符合等腰、等边三角形的定义即可，注意不要漏数也不要多数。
【解析】
首先列出图中所有的三角形：$△ ABD$、$△ ADE$、$△ AEC$、$△ ABC$、$△ ABE$、$△ ADC$。
1. 判定等腰三角形：
$△ ABD$：已知$AD=BD$，符合等腰三角形定义，是等腰三角形；
$△ ADE$：已知$AD=DE=AE$，满足两条边相等，是等腰三角形；
$△ AEC$：已知$AE=CE$，符合等腰三角形定义，是等腰三角形；
$△ ABC$：已知$AB=AC$，符合等腰三角形定义，是等腰三角形；
$△ ABE$、$△ ADC$没有两条相等的边，不属于等腰三角形。
因此等腰三角形共有4个。
2. 判定等边三角形：
只有$△ ADE$满足三条边都相等的条件，其余三角形均不满足，因此等边三角形共有1个。
【答案】
4；1
【知识点】
等腰三角形的判定；等边三角形的判定
【点评】
本题考查等腰和等边三角形的识别，解题时要按顺序枚举所有三角形，结合已知边的关系逐一判断，注意等边三角形属于特殊的等腰三角形，计数等腰三角形时需要将其计入，避免出现漏数的错误。
【难度系数】
0.8

8. 若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有（）


A.2对
B.3对
C.4对
D.6对

8. B
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【分析】
首先明确题目给出的“共边三角形”定义：有一条公共边的两个三角形称为一对共边三角形。本题要求找以BC为公共边的共边三角形，解题思路分为两步：第一步先找出图中所有以BC为边的三角形；第二步将这些三角形两两配对，统计总对数即可得到结果，计数时注意不要重复、不要遗漏。
【解析】
先找出图中所有以BC为边的三角形，分别是：$△ ABC$、$△ EBC$、$△ DBC$，共3个。
每两个以BC为边的三角形都构成一对以BC为公共边的共边三角形，两两配对可得：
1. $△ ABC$和$△ DBC$；
2. $△ ABC$和$△ EBC$；
3. $△ DBC$和$△ EBC$。
总计3对，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形的识别，新定义理解，枚举计数
【点评】
本题属于新定义类基础题，解题核心是先准确理解题干给出的新定义，再按照规则有序计数，避免漏数或重复计数即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7

9. 如图,请写出:
(1)含∠A的所有三角形.
(2)含边BC的所有三角形.
(3)图中共有多少个三角形? 并把它们表示出来.
(4)在△ABC中,AB边所对的角是哪个角?
∠A所对的边是哪条边?

9. (1)含∠A的三角形有3个,它们分别是△ABD,△ACE,△ABC.
(2)含边BC的三角形有4个,它们分别是△PBC,△EBC,△DBC,△ABC.
(3)图中共有8个三角形,它们分别是△PBC,△BEP,△CDP,△EBC,△DBC,△ABD,△ACE,△ABC.
(4)在△ABC中,AB边所对的角为∠ACB,∠A所对的边是BC.
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【分析】
解决本题需紧扣三角形的定义和相关元素的概念：
1. 找含指定角的三角形：只需找所有以该角为内角的三角形，即顶点包含角的顶点，另外两个顶点和角的顶点可构成三角形即可；
2. 找含指定边的三角形：只需找所有以该边为其中一条边的三角形；
3. 数三角形个数时，要按固定顺序（如从小到大、按顶点分类）计数，避免重复或遗漏；
4. 三角形的对边指不与指定角相邻的边，对角指不与指定边相邻的角，单个三角形中边和角一一对应。
【解析】
(1) 找含∠A的三角形：∠A的顶点为A，观察图形，以A为顶点且∠A为内角的三角形有△ABD、△ACE、△ABC，共3个；
(2) 找含边BC的三角形：以BC为公共边，第三个顶点分别为P、E、D、A，对应三角形为△PBC、△EBC、△DBC、△ABC，共4个；
(3) 按从小到大顺序计数：最小的独立三角形有△BEP、△CDP、△PBC，共3个；由两个小图形组成的三角形有△EBC、△DBC，共2个；包含上方四边形的三角形有△ABD、△ACE，共2个；最大的三角形为△ABC，共1个，合计3+2+2+1=8个；
(4) 在△ABC中，AB边的端点为A、B，不相邻的顶点为C，因此AB对的角是∠ACB；∠A的顶点为A，不相邻的两个顶点为B、C，因此∠A对的边是BC。
【答案】
(1)含∠A的三角形有3个,它们分别是△ABD,△ACE,△ABC.
(2)含边BC的三角形有4个,它们分别是△PBC,△EBC,△DBC,△ABC.
(3)图中共有8个三角形,它们分别是△PBC,△BEP,△CDP,△EBC,△DBC,△ABD,△ACE,△ABC.
(4)在△ABC中,AB边所对的角为∠ACB,∠A所对的边是BC.
【知识点】
三角形的概念；三角形的构成元素；对边对角的定义
【点评】
本题是三角形基础概念的常规考查题，重点考查三角形的识别和边角对应关系，解题核心是按顺序计数，避免出现重复或遗漏的情况，有助于巩固三角形的基础认知。
【难度系数】
0.8

10. 在△ABC中，有一点$P_1$，当$P_1,A,B,C$没有任何三点在同一条直线上时，可构成三个不重叠的小三角形（如图①）。当△ABC内点的个数增加时（如图②、图③），若其他条件不变，请探究三角形内互不重叠的小三角形的个数情况，并完成下表：

10. 当△ABC内点的个数为3时,构成不重叠的小三角形的个数为7；
当不重叠的小三角形的个数为1 015时,△ABC内点的个数为507.

【分析】
我们从简单情形入手寻找规律：首先观察已知的内点个数与对应不重叠小三角形个数的关系，当三角形内有1个点时，小三角形共3个；每新增1个内点时，该点会落在某个已有小三角形内，将这个小三角形拆分为3个，相当于总小三角形个数增加2。由此可推导得出内点个数和小三角形个数的通用关系式，再代入数值求解即可。
【解析】
设△ABC内的点的个数为$n$，互不重叠的小三角形的个数为$y$。
1. 推导规律：
当$n=1$时，$y=3=2×1+1$；
当$n=2$时，$y=5=2×2+1$；
由此可得通用关系式：$y=2n+1$。
2. 求内点个数为3时的小三角形个数：
把$n=3$代入$y=2n+1$，得$y=2×3+1=7$。
3. 求小三角形个数为1015时的内点个数：
把$y=1015$代入$y=2n+1$，得方程$2n+1=1015$，解得$n=(1015-1)÷2=507$。
【答案】
当△ABC内点的个数为3时,构成不重叠的小三角形的个数为7；当不重叠的小三角形的个数为1015时,△ABC内点的个数为507。
【知识点】
图形规律探究；一元一次方程的应用
【点评】
本题侧重考查归纳推理能力，解题核心是找到内点个数和小三角形个数的变化规律，再通过代数计算求解对应数值，掌握从特殊到一般的规律探究方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7