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例4 (1)已知$A=2x^2+y^2-xy$，$B=x^2-y^2$。
①求$A-2B$；
②当$x=5,y=-2$时，求$A-2B$的值。
(2)已知$A=3x+xy-2y$，小明在计算$2A-B$时，误将其按$2A+B$计算，结果得到$7x+4xy-y$。
①求多项式$B$；
②求$2A-B$的正确结果。
(3)试说明代数式$(2a-3b+5)-(2-b+a)-(a-2b-6)$的值与$a,b$的取值无关。
防范点:1. 求代数式值的过程中,当字母表示的数为负数或分数时,注意添加括号。
2. 进行整式加减运算的过程中,往往每个多项式都要添加括号进行加减。
3. 括号前是“-”号,去掉括号和“-”号时,各项都要改变符号,不要遗漏。
【反思】整式加减实质是去括号和合并同类项,去括号时应注意符号的变化。当让你说明某个代数式的值与某个字母无关时,往往是含有该字母的各项在合并后系数为0。
①求$A-2B$；
②当$x=5,y=-2$时，求$A-2B$的值。
(2)已知$A=3x+xy-2y$，小明在计算$2A-B$时，误将其按$2A+B$计算，结果得到$7x+4xy-y$。
①求多项式$B$；
②求$2A-B$的正确结果。
(3)试说明代数式$(2a-3b+5)-(2-b+a)-(a-2b-6)$的值与$a,b$的取值无关。
防范点:1. 求代数式值的过程中,当字母表示的数为负数或分数时,注意添加括号。
2. 进行整式加减运算的过程中,往往每个多项式都要添加括号进行加减。
3. 括号前是“-”号,去掉括号和“-”号时,各项都要改变符号,不要遗漏。
【反思】整式加减实质是去括号和合并同类项,去括号时应注意符号的变化。当让你说明某个代数式的值与某个字母无关时,往往是含有该字母的各项在合并后系数为0。
答案
例4 (1)①因为$A=2x^2+y^2-xy,B=x^2-y^2$,所以$A-2B=2x^2+y^2-xy-2(x^2-y^2)=2x^2+y^2-xy-2x^2+2y^2=3y^2-xy$。
②当$x=5,y=-2$时 ,$A-2B=3×(-2)^2-5×(-2)=12+10=22$。
(2)①$B=(2A+B)-2A=7x+4xy-y-2(3x+xy-2y)=7x+4xy-y-6x-2xy+4y=x+2xy+3y$。
②$2A-B=2(3x+xy-2y)-(x+2xy+3y)=6x+2xy-4y-x-2xy-3y=5x-7y$。
(3)化简结果为9,所以和$a,b$的取值无关。
②当$x=5,y=-2$时 ,$A-2B=3×(-2)^2-5×(-2)=12+10=22$。
(2)①$B=(2A+B)-2A=7x+4xy-y-2(3x+xy-2y)=7x+4xy-y-6x-2xy+4y=x+2xy+3y$。
②$2A-B=2(3x+xy-2y)-(x+2xy+3y)=6x+2xy-4y-x-2xy-3y=5x-7y$。
(3)化简结果为9,所以和$a,b$的取值无关。
解析
【分析】
1. 针对第(1)问：①先将已知的A、B整体代入A-2B，给B乘2时注意带括号，再按去括号法则去括号，最后合并同类项得到化简结果；②将x、y的值代入化简后的式子计算，代入负数时要加括号，避免符号运算错误。
2. 针对第(2)问：①小明误算2A+B得到结果，因此B等于错误结果减去2A，代入A的表达式后去括号、合并同类项即可求出B；②将A和求出的B代入2A-B，按整式加减规则计算得到正确结果。
3. 针对第(3)问：要说明代数式的值与a、b无关，只需对原式去括号、合并同类项，若最终结果为不含a、b的常数，即可证明取值与a、b无关。
【解析】
(1)① 已知$A=2x^2+y^2-xy$，$B=x^2-y^2$，代入得：
$\begin{aligned}A-2B&=(2x^2+y^2-xy)-2(x^2-y^2)\\&=2x^2+y^2-xy-2x^2+2y^2\\&=3y^2-xy\end{aligned}$
② 将$x=5$，$y=-2$代入$3y^2-xy$得：
$\begin{aligned}原式&=3×(-2)^2 - 5×(-2)\\&=3×4 +10\\&=22\end{aligned}$
(2)① 由题意得$2A+B=7x+4xy-y$，因此$B=(7x+4xy-y)-2A$，代入$A=3x+xy-2y$得：
$\begin{aligned}B&=7x+4xy-y -2(3x+xy-2y)\\&=7x+4xy-y -6x-2xy+4y\\&=x+2xy+3y\end{aligned}$
② 代入A、B得：
$\begin{aligned}2A-B&=2(3x+xy-2y)-(x+2xy+3y)\\&=6x+2xy-4y -x-2xy-3y\\&=5x-7y\end{aligned}$
(3) 化简原式：
$\begin{aligned}&(2a-3b+5)-(2-b+a)-(a-2b-6)\\=&2a-3b+5 -2 +b -a -a +2b +6\\=&(2a-a-a)+(-3b+b+2b)+(5-2+6)\\=&9\end{aligned}$
化简结果为常数9，不含a、b，因此原式值与a、b取值无关。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{3y^2-xy}$；②$\boldsymbol{22}$
(2)①$\boldsymbol{x+2xy+3y}$；②$\boldsymbol{5x-7y}$
(3)化简后结果为常数9，故代数式的值与a,b的取值无关。
【知识点】
整式的加减，代数式求值，去括号与合并同类项
【点评】
本题是整式加减的基础综合题，覆盖了整式化简、代入求值、错中求解、无关性判定等常见考点，核心是熟练掌握去括号和合并同类项的规则，计算时要特别注意括号前为负号时各项的符号变化，代入负数求值时记得加括号，减少符号类错误。
【难度系数】
0.8
1. 针对第(1)问：①先将已知的A、B整体代入A-2B，给B乘2时注意带括号，再按去括号法则去括号，最后合并同类项得到化简结果；②将x、y的值代入化简后的式子计算，代入负数时要加括号，避免符号运算错误。
2. 针对第(2)问：①小明误算2A+B得到结果，因此B等于错误结果减去2A，代入A的表达式后去括号、合并同类项即可求出B；②将A和求出的B代入2A-B，按整式加减规则计算得到正确结果。
3. 针对第(3)问：要说明代数式的值与a、b无关，只需对原式去括号、合并同类项，若最终结果为不含a、b的常数，即可证明取值与a、b无关。
【解析】
(1)① 已知$A=2x^2+y^2-xy$，$B=x^2-y^2$，代入得：
$\begin{aligned}A-2B&=(2x^2+y^2-xy)-2(x^2-y^2)\\&=2x^2+y^2-xy-2x^2+2y^2\\&=3y^2-xy\end{aligned}$
② 将$x=5$，$y=-2$代入$3y^2-xy$得：
$\begin{aligned}原式&=3×(-2)^2 - 5×(-2)\\&=3×4 +10\\&=22\end{aligned}$
(2)① 由题意得$2A+B=7x+4xy-y$，因此$B=(7x+4xy-y)-2A$，代入$A=3x+xy-2y$得：
$\begin{aligned}B&=7x+4xy-y -2(3x+xy-2y)\\&=7x+4xy-y -6x-2xy+4y\\&=x+2xy+3y\end{aligned}$
② 代入A、B得：
$\begin{aligned}2A-B&=2(3x+xy-2y)-(x+2xy+3y)\\&=6x+2xy-4y -x-2xy-3y\\&=5x-7y\end{aligned}$
(3) 化简原式：
$\begin{aligned}&(2a-3b+5)-(2-b+a)-(a-2b-6)\\=&2a-3b+5 -2 +b -a -a +2b +6\\=&(2a-a-a)+(-3b+b+2b)+(5-2+6)\\=&9\end{aligned}$
化简结果为常数9，不含a、b，因此原式值与a、b取值无关。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{3y^2-xy}$；②$\boldsymbol{22}$
(2)①$\boldsymbol{x+2xy+3y}$；②$\boldsymbol{5x-7y}$
(3)化简后结果为常数9，故代数式的值与a,b的取值无关。
【知识点】
整式的加减，代数式求值，去括号与合并同类项
【点评】
本题是整式加减的基础综合题，覆盖了整式化简、代入求值、错中求解、无关性判定等常见考点，核心是熟练掌握去括号和合并同类项的规则，计算时要特别注意括号前为负号时各项的符号变化，代入负数求值时记得加括号，减少符号类错误。
【难度系数】
0.8
例5 如图,1925年数学家莫伦发现的世界上第一个完美长方形,它恰能被分割成10个大小不同的正方形,其中标注1,2的正方形边长分别为x,y,请你解答下列问题:
(1)用含x,y的代数式填空:
第3个正方形的边长=
第5个正方形的边长=
(2)当y=3时,求第6个正方形的面积。
【反思】根据图形列代数式,正确理解各个正方形的边长之间的和差关系是解题的关键。
(1)用含x,y的代数式填空:
第3个正方形的边长=
x+y
;第5个正方形的边长=
x+3y
。(2)当y=3时,求第6个正方形的面积。
【反思】根据图形列代数式,正确理解各个正方形的边长之间的和差关系是解题的关键。
答案
例5 (1)因为第1,2的正方形边长分别为x,y,所以第3个正方形的边长是x+y,第4个正方形的边长是x+2y,第5个正方形的边长是x+2y+y=x+3y。故答案为:x+y;x+3y。
(2)由图知第6个正方形的边长是$(x+3y)+(y-x)=4y$,所以当y=3时,第6个正方形的边长为4y=12,所以第6个正方形的面积为12×12=144。
(2)由图知第6个正方形的边长是$(x+3y)+(y-x)=4y$,所以当y=3时,第6个正方形的边长为4y=12,所以第6个正方形的面积为12×12=144。
解析
【分析】
(1) 解决第一问时，先从已知边长的第1、2个正方形出发，观察相邻正方形的边长和差关系：第3个正方形的边长是第1、2个正方形的边长之和，再依次推导第4、5个正方形的边长即可得到对应代数式。
(2) 解决第二问时，先结合图形中第6个正方形和其他正方形的边长关系，推导出第6个正方形的边长表达式，再代入y=3求出边长，最后根据正方形面积公式计算面积即可。
【解析】
(1) 已知第1、2个正方形的边长分别为x、y：
第3个正方形的边长 = 第1个正方形边长 + 第2个正方形边长 = $x+y$；
第4个正方形的边长 = 第3个正方形边长 + 第2个正方形边长 = $(x+y)+y=x+2y$；
第5个正方形的边长 = 第4个正方形边长 + 第2个正方形边长 = $(x+2y)+y=x+3y$。
(2) 观察图形可得，第6个正方形的边长 = 第5个正方形边长 + (第2个正方形边长 - 第1个正方形边长)，代入得：
边长 = $(x+3y)+(y-x)=4y$，
当$y=3$时，第6个正方形的边长为$4×3=12$，
因此第6个正方形的面积 = $12×12=144$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{x+y}$；$\boldsymbol{x+3y}$
(2) $\boldsymbol{144}$
【知识点】
列代数式；整式的加减；正方形面积计算
【点评】
本题是典型的数形结合类题目，解题核心是通过观察图形梳理出不同正方形边长的和差关系，再结合代数式运算规则求解，能有效考查图形观察能力和代数式的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 解决第一问时，先从已知边长的第1、2个正方形出发，观察相邻正方形的边长和差关系：第3个正方形的边长是第1、2个正方形的边长之和，再依次推导第4、5个正方形的边长即可得到对应代数式。
(2) 解决第二问时，先结合图形中第6个正方形和其他正方形的边长关系，推导出第6个正方形的边长表达式，再代入y=3求出边长，最后根据正方形面积公式计算面积即可。
【解析】
(1) 已知第1、2个正方形的边长分别为x、y：
第3个正方形的边长 = 第1个正方形边长 + 第2个正方形边长 = $x+y$；
第4个正方形的边长 = 第3个正方形边长 + 第2个正方形边长 = $(x+y)+y=x+2y$；
第5个正方形的边长 = 第4个正方形边长 + 第2个正方形边长 = $(x+2y)+y=x+3y$。
(2) 观察图形可得，第6个正方形的边长 = 第5个正方形边长 + (第2个正方形边长 - 第1个正方形边长)，代入得：
边长 = $(x+3y)+(y-x)=4y$，
当$y=3$时，第6个正方形的边长为$4×3=12$，
因此第6个正方形的面积 = $12×12=144$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{x+y}$；$\boldsymbol{x+3y}$
(2) $\boldsymbol{144}$
【知识点】
列代数式；整式的加减；正方形面积计算
【点评】
本题是典型的数形结合类题目，解题核心是通过观察图形梳理出不同正方形边长的和差关系，再结合代数式运算规则求解，能有效考查图形观察能力和代数式的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
