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例2 (1)当$a=-3,b=-1$时,代数式$\frac{a^2+4b}{2}$的值是 (
A. $\frac{13}{2}$
B. $-\frac{13}{2}$
C. $-\frac{5}{2}$
D. $\frac{5}{2}$
(2)已知代数式$m^2-4m-2$的值为2,那么代数式$-2+2m^2-8m$的值为
(3)如图,在一块长为$a$米,宽为$b$米的长方形绿地上有一条弯曲的小路,小路的左边线向右平移1米就是它的右边线。长方形绿地除小路外其余部分都是草地。
①用含$a,b$的式子表示草地的面积;
②当$a=30$米,$b=20$米时,草地的面积是多少平方米?
(提示:小路的面积等于一条边长为1米,另一边长为$b$米的小长方形面积)
【反思】求代数式值的过程中有时要用到整体思想。
D
)A. $\frac{13}{2}$
B. $-\frac{13}{2}$
C. $-\frac{5}{2}$
D. $\frac{5}{2}$
(2)已知代数式$m^2-4m-2$的值为2,那么代数式$-2+2m^2-8m$的值为
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。(3)如图,在一块长为$a$米,宽为$b$米的长方形绿地上有一条弯曲的小路,小路的左边线向右平移1米就是它的右边线。长方形绿地除小路外其余部分都是草地。
①用含$a,b$的式子表示草地的面积;
②当$a=30$米,$b=20$米时,草地的面积是多少平方米?
(提示:小路的面积等于一条边长为1米,另一边长为$b$米的小长方形面积)
【反思】求代数式值的过程中有时要用到整体思想。
答案
例2 (1)D
(2)6
(3)①$(ab - b)$平方米;②将$a=30,b=20$代入,$ab - b=30×20-20=580$(平方米)。
(2)6
(3)①$(ab - b)$平方米;②将$a=30,b=20$代入,$ab - b=30×20-20=580$(平方米)。
解析
【分析】
(1) 本题为直接代入求代数式的值，解题时先将a、b的取值代入代数式，再按有理数运算顺序计算即可，需注意负数平方的运算符号不要出错。
(2) 本题考查整体代入思想，先根据已知代数式的值得出$m^2-4m$的整体值，再将所求代数式变形为含有$m^2-4m$的形式，最后整体代入计算，无需单独求解m的值，可简化运算。
(3) ① 求草地面积可采用“总面积减小路面积”的思路：长方形绿地总面积为$ab$，根据提示小路面积等于长1米、宽b米的长方形面积即$b$，二者相减即可得到草地面积；也可采用拼接法，将两块草地拼接为长$(a-1)$米、宽b米的长方形，直接计算面积。② 将a、b的取值代入①得到的代数式计算即可。
【解析】
(1) 将$a=-3$，$b=-1$代入$\frac{a^2+4b}{2}$得：
原式=$\frac{(-3)^2 + 4×(-1)}{2}=\frac{9 - 4}{2}=\frac{5}{2}$，因此选D。
(2) 由题意得$m^2 - 4m - 2 = 2$，移项可得$m^2 - 4m = 4$。
所求代数式$-2 + 2m^2 - 8m$可变形为$-2 + 2(m^2 - 4m)$，将$m^2 - 4m=4$代入得：
原式=$-2 + 2×4 = -2 + 8 = 6$。
(3) ① 长方形绿地的总面积为$a×b=ab$平方米，小路的面积为$1×b=b$平方米，因此草地面积=长方形总面积-小路面积=$(ab - b)$平方米。
② 把$a=30$，$b=20$代入$ab - b$得：
$30×20 - 20 = 600 - 20 = 580$（平方米）。
【答案】
(1)D；(2)6；(3)①$(ab - b)$平方米；②580平方米
【知识点】
代数式求值，整体代入思想，列代数式
【点评】
本题围绕代数式的应用展开，涵盖直接代入求值、整体代入求值、图形类列代数式三类基础题型，解题时要注意运算准确性，灵活运用整体思想可简化运算，图形类问题可通过割补法降低解题难度。
【难度系数】
0.85
(1) 本题为直接代入求代数式的值，解题时先将a、b的取值代入代数式，再按有理数运算顺序计算即可，需注意负数平方的运算符号不要出错。
(2) 本题考查整体代入思想，先根据已知代数式的值得出$m^2-4m$的整体值，再将所求代数式变形为含有$m^2-4m$的形式，最后整体代入计算，无需单独求解m的值，可简化运算。
(3) ① 求草地面积可采用“总面积减小路面积”的思路：长方形绿地总面积为$ab$，根据提示小路面积等于长1米、宽b米的长方形面积即$b$，二者相减即可得到草地面积；也可采用拼接法，将两块草地拼接为长$(a-1)$米、宽b米的长方形，直接计算面积。② 将a、b的取值代入①得到的代数式计算即可。
【解析】
(1) 将$a=-3$，$b=-1$代入$\frac{a^2+4b}{2}$得：
原式=$\frac{(-3)^2 + 4×(-1)}{2}=\frac{9 - 4}{2}=\frac{5}{2}$，因此选D。
(2) 由题意得$m^2 - 4m - 2 = 2$，移项可得$m^2 - 4m = 4$。
所求代数式$-2 + 2m^2 - 8m$可变形为$-2 + 2(m^2 - 4m)$，将$m^2 - 4m=4$代入得：
原式=$-2 + 2×4 = -2 + 8 = 6$。
(3) ① 长方形绿地的总面积为$a×b=ab$平方米，小路的面积为$1×b=b$平方米，因此草地面积=长方形总面积-小路面积=$(ab - b)$平方米。
② 把$a=30$，$b=20$代入$ab - b$得：
$30×20 - 20 = 600 - 20 = 580$（平方米）。
【答案】
(1)D；(2)6；(3)①$(ab - b)$平方米；②580平方米
【知识点】
代数式求值，整体代入思想，列代数式
【点评】
本题围绕代数式的应用展开，涵盖直接代入求值、整体代入求值、图形类列代数式三类基础题型，解题时要注意运算准确性，灵活运用整体思想可简化运算，图形类问题可通过割补法降低解题难度。
【难度系数】
0.85
例3 (1)下列说法正确的是(
A. 7是多项式$-4a^2b +5ab -7$的常数项
B. $-\dfrac{3a^2}{4}$的系数是$-\dfrac{3}{4}$
C. 单项式$3^2a^2b^3$的次数是7
D. $\dfrac{3-2a}{5}$是二次二项式
(2)下列叙述中，正确的是 (
A. 8是单项式
B. 单项式$2^3xy$的次数是5
C. 单项式$-\dfrac{2x^2y}{5}$的系数是-2
D. $a^3 +2a^2 -1$是五次多项式
防范点:区分单项式次数和多项式次数的概念,单项式次数是所有字母的指数和,而多项式次数是次数最高的项的次数,指数不用求和。
B
)A. 7是多项式$-4a^2b +5ab -7$的常数项
B. $-\dfrac{3a^2}{4}$的系数是$-\dfrac{3}{4}$
C. 单项式$3^2a^2b^3$的次数是7
D. $\dfrac{3-2a}{5}$是二次二项式
(2)下列叙述中，正确的是 (
A
)A. 8是单项式
B. 单项式$2^3xy$的次数是5
C. 单项式$-\dfrac{2x^2y}{5}$的系数是-2
D. $a^3 +2a^2 -1$是五次多项式
防范点:区分单项式次数和多项式次数的概念,单项式次数是所有字母的指数和,而多项式次数是次数最高的项的次数,指数不用求和。
答案
例3 (1)B (2)A
解析
【分析】
本题是整式相关概念的辨析题，解题核心是熟练掌握单项式、多项式的各类定义，按选项逐一验证判断即可：①先回忆常数项、单项式系数、单项式次数、多项式次数与项数的定义；②逐个对应选项中的代数式，根据定义判断正误，排除错误选项后得到正确答案。
【解析】
(1) 对各选项逐一分析：
A. 多项式的常数项是不含字母的项，需保留符号，$-4a^2b +5ab -7$的常数项是-7，不是7，故A错误；
B. 单项式的系数是字母前的数字因数，$-\dfrac{3a^2}{4}$可变形为$-\dfrac{3}{4}a^2$，系数为$-\dfrac{3}{4}$，故B正确；
C. 单项式的次数是所有字母的指数和，数字的指数不计入，$3^2a^2b^3$中字母a的指数为2、b的指数为3，次数为$2+3=5$，不是7，故C错误；
D. $\dfrac{3-2a}{5}$可变形为$\dfrac{3}{5}-\dfrac{2}{5}a$，最高次项的次数为1，是一次二项式，不是二次二项式，故D错误。
(2) 对各选项逐一分析：
A. 单独的一个数或一个字母是单项式，8是单独的数字，属于单项式，故A正确；
B. $2^3xy$中字母x、y的指数均为1，次数为$1+1=2$，数字的指数不计入单项式次数，故B错误；
C. $-\dfrac{2x^2y}{5}$可变形为$-\dfrac{2}{5}x^2y$，系数为$-\dfrac{2}{5}$，不是-2，故C错误；
D. 多项式的次数是次数最高的项的次数，$a^3 +2a^2 -1$中最高次项为$a^3$，次数为3，是三次多项式，故D错误。
【答案】
(1)B (2)A
【知识点】
单项式的系数与次数，多项式的项与次数，单项式的定义
【点评】
本题属于整式基础概念考查题，易错点为容易将数字的指数计入单项式次数、忽略常数项的符号、混淆多项式次数的判断规则，只要牢记对应定义逐项排查即可得分。
【难度系数】
0.8
本题是整式相关概念的辨析题，解题核心是熟练掌握单项式、多项式的各类定义，按选项逐一验证判断即可：①先回忆常数项、单项式系数、单项式次数、多项式次数与项数的定义；②逐个对应选项中的代数式，根据定义判断正误，排除错误选项后得到正确答案。
【解析】
(1) 对各选项逐一分析：
A. 多项式的常数项是不含字母的项，需保留符号，$-4a^2b +5ab -7$的常数项是-7，不是7，故A错误；
B. 单项式的系数是字母前的数字因数，$-\dfrac{3a^2}{4}$可变形为$-\dfrac{3}{4}a^2$，系数为$-\dfrac{3}{4}$，故B正确；
C. 单项式的次数是所有字母的指数和，数字的指数不计入，$3^2a^2b^3$中字母a的指数为2、b的指数为3，次数为$2+3=5$，不是7，故C错误；
D. $\dfrac{3-2a}{5}$可变形为$\dfrac{3}{5}-\dfrac{2}{5}a$，最高次项的次数为1，是一次二项式，不是二次二项式，故D错误。
(2) 对各选项逐一分析：
A. 单独的一个数或一个字母是单项式，8是单独的数字，属于单项式，故A正确；
B. $2^3xy$中字母x、y的指数均为1，次数为$1+1=2$，数字的指数不计入单项式次数，故B错误；
C. $-\dfrac{2x^2y}{5}$可变形为$-\dfrac{2}{5}x^2y$，系数为$-\dfrac{2}{5}$，不是-2，故C错误；
D. 多项式的次数是次数最高的项的次数，$a^3 +2a^2 -1$中最高次项为$a^3$，次数为3，是三次多项式，故D错误。
【答案】
(1)B (2)A
【知识点】
单项式的系数与次数，多项式的项与次数，单项式的定义
【点评】
本题属于整式基础概念考查题，易错点为容易将数字的指数计入单项式次数、忽略常数项的符号、混淆多项式次数的判断规则，只要牢记对应定义逐项排查即可得分。
【难度系数】
0.8
