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1. 下列说法中，正确的是 （
A.$a^2+2a+3^2$是三次三项式
B.$\frac{xy^2}{4}$的系数是1
C.$\frac{x-3}{2}$的常数项是$-3$
D.0是单项式
D
）A.$a^2+2a+3^2$是三次三项式
B.$\frac{xy^2}{4}$的系数是1
C.$\frac{x-3}{2}$的常数项是$-3$
D.0是单项式
答案
1. D
解析
【分析】
解决这道题需要熟练掌握单项式、多项式的相关定义，依次对每个选项进行判断：首先回忆多项式次数、项数的判断方法，单项式系数的定义，多项式常数项的计算方法，以及单项式的判定规则，逐一排除错误选项，最终得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析各选项：
选项A：多项式的次数是多项式里次数最高项的次数，$a^2+2a+3^2$中最高次项是$a^2$，次数为2，因此是二次三项式，该选项错误。
选项B：单项式的系数是单项式中的数字因数，$\frac{xy^2}{4}=\frac{1}{4}xy^2$，其系数为$\frac{1}{4}$，不是1，该选项错误。
选项C：先将$\frac{x-3}{2}$变形为$\frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$，其中不含字母的常数项是$-\frac{3}{2}$，不是$-3$，该选项错误。
选项D：根据单项式的定义，单独的一个数或一个字母也是单项式，因此0是单项式，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
单项式的概念；多项式的相关概念
【点评】
本题考查代数式的基础概念，解题的关键是准确区分单项式系数、多项式次数、常数项等易混淆的定义，这类题是代数式章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
解决这道题需要熟练掌握单项式、多项式的相关定义，依次对每个选项进行判断：首先回忆多项式次数、项数的判断方法，单项式系数的定义，多项式常数项的计算方法，以及单项式的判定规则，逐一排除错误选项，最终得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析各选项：
选项A：多项式的次数是多项式里次数最高项的次数，$a^2+2a+3^2$中最高次项是$a^2$，次数为2，因此是二次三项式，该选项错误。
选项B：单项式的系数是单项式中的数字因数，$\frac{xy^2}{4}=\frac{1}{4}xy^2$，其系数为$\frac{1}{4}$，不是1，该选项错误。
选项C：先将$\frac{x-3}{2}$变形为$\frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$，其中不含字母的常数项是$-\frac{3}{2}$，不是$-3$，该选项错误。
选项D：根据单项式的定义，单独的一个数或一个字母也是单项式，因此0是单项式，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
单项式的概念；多项式的相关概念
【点评】
本题考查代数式的基础概念，解题的关键是准确区分单项式系数、多项式次数、常数项等易混淆的定义，这类题是代数式章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
2. 若$3x^2+4x+1=0$，则代数式$6x^2+8x+2026$的值是（
A.2023
B.2024
C.2025
D.2026
B
）A.2023
B.2024
C.2025
D.2026
答案
2. B
解析
【分析】
首先观察已知方程和待求代数式的结构，可发现待求式中二次项、一次项的系数分别是已知方程对应项系数的2倍，因此不需要求解x的具体值，只需先从已知方程中求出$3x^2+4x$的值，再用整体代入的方法计算待求式即可，能大幅简化计算步骤。
【解析】
已知$3x^2+4x+1=0$，移项可得：
$3x^2+4x=-1$
对待求代数式变形提取公因式：
$6x^2+8x+2026=2(3x^2+4x)+2026$
将$3x^2+4x=-1$代入上式计算：
$2×(-1)+2026=-2+2026=2024$
因此本题选B选项。
【答案】B
【知识点】
代数式求值；整体代入法
【点评】
本题的解题关键是找到待求代数式与已知条件的系数关联，采用整体代入的方法避免了求解方程，是代数式求值类题目非常常用的简便技巧。
【难度系数】
0.85
首先观察已知方程和待求代数式的结构，可发现待求式中二次项、一次项的系数分别是已知方程对应项系数的2倍，因此不需要求解x的具体值，只需先从已知方程中求出$3x^2+4x$的值，再用整体代入的方法计算待求式即可，能大幅简化计算步骤。
【解析】
已知$3x^2+4x+1=0$，移项可得：
$3x^2+4x=-1$
对待求代数式变形提取公因式：
$6x^2+8x+2026=2(3x^2+4x)+2026$
将$3x^2+4x=-1$代入上式计算：
$2×(-1)+2026=-2+2026=2024$
因此本题选B选项。
【答案】B
【知识点】
代数式求值；整体代入法
【点评】
本题的解题关键是找到待求代数式与已知条件的系数关联，采用整体代入的方法避免了求解方程，是代数式求值类题目非常常用的简便技巧。
【难度系数】
0.85
3. 已知$A=x-5x^2$，$B=x^2-11x+6$，那么化简$2A-B$的结果是
$-11x^2+13x-6$
。答案
3. $-11x^2+13x-6$
解析
【分析】
解题时首先要明确需将A、B代表的多项式整体代入2A-B中，代入时注意给A、B分别加括号，避免符号出错；接下来按照运算顺序，先运用乘法分配律计算2A对应的部分，再根据去括号法则去掉B前面的括号，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
解：已知$A=x-5x^2$，$B=x^2-11x+6$，将其代入$2A-B$可得：
$\begin{aligned}2A-B&=2(x-5x^2)-(x^2-11x+6)\\&=2x-10x^2 -x^2 +11x -6\\&=(-10x^2-x^2)+(2x+11x)-6\\&=-11x^2+13x-6\end{aligned}$
【答案】
$-11x^2+13x-6$
【知识点】
代数式代入、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题属于整式化简的基础题型，核心考查整式运算的基本规则，易错点为代入多项式时未加括号导致符号错误，熟练掌握去括号和合并同类项的方法是解题关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确需将A、B代表的多项式整体代入2A-B中，代入时注意给A、B分别加括号，避免符号出错；接下来按照运算顺序，先运用乘法分配律计算2A对应的部分，再根据去括号法则去掉B前面的括号，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
解：已知$A=x-5x^2$，$B=x^2-11x+6$，将其代入$2A-B$可得：
$\begin{aligned}2A-B&=2(x-5x^2)-(x^2-11x+6)\\&=2x-10x^2 -x^2 +11x -6\\&=(-10x^2-x^2)+(2x+11x)-6\\&=-11x^2+13x-6\end{aligned}$
【答案】
$-11x^2+13x-6$
【知识点】
代数式代入、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题属于整式化简的基础题型，核心考查整式运算的基本规则，易错点为代入多项式时未加括号导致符号错误，熟练掌握去括号和合并同类项的方法是解题关键。
【难度系数】
0.8
4. 当$x=1$时,代数式$x^3 + x + m$的值是7,则当$x=-1$时,这个代数式的值是
3
。答案
4. 3
解析
【分析】
要计算x=-1时代数式的值，首先需要求出代数式中未知参数m的取值。我们可以先利用x=1时代数式的值为7的已知条件，将x=1代入代数式得到关于m的一元一次方程，解出m后，再将x=-1和m的值代入代数式计算即可得到结果。
【解析】
当x=1时，代入代数式$x^3 + x + m$，结合其值为7可得：
$\begin{aligned}1^3 + 1 + m &=7 \\2 + m &=7 \\m &=7-2 \\m &=5\end{aligned}$
再将$x=-1$，$m=5$代入代数式$x^3 + x + m$计算：
$\begin{aligned}(-1)^3 + (-1) +5 &=-1 -1 +5 \\&=3\end{aligned}$
【答案】
3
【知识点】
代数式求值；一元一次方程求解
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，解题关键是先根据已知条件求出未知参数的取值，再代入计算，计算过程中注意负数乘方的符号，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
要计算x=-1时代数式的值，首先需要求出代数式中未知参数m的取值。我们可以先利用x=1时代数式的值为7的已知条件，将x=1代入代数式得到关于m的一元一次方程，解出m后，再将x=-1和m的值代入代数式计算即可得到结果。
【解析】
当x=1时，代入代数式$x^3 + x + m$，结合其值为7可得：
$\begin{aligned}1^3 + 1 + m &=7 \\2 + m &=7 \\m &=7-2 \\m &=5\end{aligned}$
再将$x=-1$，$m=5$代入代数式$x^3 + x + m$计算：
$\begin{aligned}(-1)^3 + (-1) +5 &=-1 -1 +5 \\&=3\end{aligned}$
【答案】
3
【知识点】
代数式求值；一元一次方程求解
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，解题关键是先根据已知条件求出未知参数的取值，再代入计算，计算过程中注意负数乘方的符号，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
5. 如图,有一块长为a米,宽为b米的长方形铁皮,将四个角分别截去半径都是r米的四分之一的圆形。
(1)求阴影部分的面积(用含a,b,r的代数式表示)。
(2)当a=8,b=6,r=2时,剩下铁皮的面积是多少平方米?(结果保留π)
(1)求阴影部分的面积(用含a,b,r的代数式表示)。
(2)当a=8,b=6,r=2时,剩下铁皮的面积是多少平方米?(结果保留π)
答案
5. (1)$S_{阴影}=(ab-π r^2)$平方米。
(2)当$a=8,b=6,r=2$时 ,$S_{阴影}=ab-π r^2=8×6-4π=(48-4π)$平方米。
(2)当$a=8,b=6,r=2$时 ,$S_{阴影}=ab-π r^2=8×6-4π=(48-4π)$平方米。
解析
【分析】
(1) 求阴影部分面积可采用“整体减空白”的思路：首先阴影部分是长方形铁皮截去四个角的图形后得到的，观察四个角的图形都是半径为r的四分之一圆，四个四分之一圆恰好可以拼成1个完整的圆，因此空白部分总面积就是半径为r的圆的面积，用长方形的面积减去空白圆的面积即可得到阴影面积。
(2) 第二问属于代数式求值问题，只需将给定的a、b、r的数值代入第一问得到的代数式，按照运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 长方形铁皮的面积为 $ S_{\mathrm{长方形}} = ab $ 平方米，
四个四分之一圆的总面积为 $ 4×\frac{1}{4}π r^2=π r^2 $ 平方米，
因此阴影部分面积为 $ S_{\mathrm{阴影}}=ab-π r^2 $ 平方米。
(2) 把 $ a=8,b=6,r=2 $ 代入 $ ab-π r^2 $ 得：
$ ab-π r^2=8×6-π×2^2=48-4π $ 平方米。
【答案】
(1) $ (ab-π r^2) $ 平方米
(2) $ (48-4π) $ 平方米
【知识点】
1. 列代数式
2. 代数式求值
3. 组合图形面积计算
【点评】
本题考查割补法求解组合图形的面积，解题核心是将不规则的空白部分转化为规则的整圆计算，同时需要掌握代数式的书写规范和代入求值的运算规则。
【难度系数】
0.85
(1) 求阴影部分面积可采用“整体减空白”的思路：首先阴影部分是长方形铁皮截去四个角的图形后得到的，观察四个角的图形都是半径为r的四分之一圆，四个四分之一圆恰好可以拼成1个完整的圆，因此空白部分总面积就是半径为r的圆的面积，用长方形的面积减去空白圆的面积即可得到阴影面积。
(2) 第二问属于代数式求值问题，只需将给定的a、b、r的数值代入第一问得到的代数式，按照运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 长方形铁皮的面积为 $ S_{\mathrm{长方形}} = ab $ 平方米，
四个四分之一圆的总面积为 $ 4×\frac{1}{4}π r^2=π r^2 $ 平方米，
因此阴影部分面积为 $ S_{\mathrm{阴影}}=ab-π r^2 $ 平方米。
(2) 把 $ a=8,b=6,r=2 $ 代入 $ ab-π r^2 $ 得：
$ ab-π r^2=8×6-π×2^2=48-4π $ 平方米。
【答案】
(1) $ (ab-π r^2) $ 平方米
(2) $ (48-4π) $ 平方米
【知识点】
1. 列代数式
2. 代数式求值
3. 组合图形面积计算
【点评】
本题考查割补法求解组合图形的面积，解题核心是将不规则的空白部分转化为规则的整圆计算，同时需要掌握代数式的书写规范和代入求值的运算规则。
【难度系数】
0.85
6. 某校组织学生到井冈山革命博物馆研学,旅行社报价每人收费 400 元,当研学人数超过 50 人时,旅行社给出两种优惠方案。
方案一:研学团队先交 1500 元后,再每人收费 320 元。
方案二:5 人免费,其余每人收费打九折。
(1)当参加研学的总人数是$x(x＞50)$时,请用含$x$的式子表示。
①用方案一共收费
②用方案二共收费
(2)当参加旅游的总人数是 100 时,采用哪种方案省钱?请判断并说明理由。
方案一:研学团队先交 1500 元后,再每人收费 320 元。
方案二:5 人免费,其余每人收费打九折。
(1)当参加研学的总人数是$x(x＞50)$时,请用含$x$的式子表示。
①用方案一共收费
$(1500+320x)$
元;②用方案二共收费
$(360x-1800)$
元。(2)当参加旅游的总人数是 100 时,采用哪种方案省钱?请判断并说明理由。
答案
6. (1)①$(1500+320x)$ ②$(360x-1800)$
(2)方案一省钱。理由如下:把$x=100$代入$1500+320x$,得$1500+320×100=33500$(元),把$x=100$代入$360x-1800$,得$360×100-1800=34200$(元),因为$33500＜34200$,所以方案一省钱。
(2)方案一省钱。理由如下:把$x=100$代入$1500+320x$,得$1500+320×100=33500$(元),把$x=100$代入$360x-1800$,得$360×100-1800=34200$(元),因为$33500＜34200$,所以方案一省钱。
解析
【分析】
解题思路如下：(1)列代数式需先明确两种优惠方案的收费构成：①方案一的总收费由固定预交的1500元和每人320元的收费两部分组成，将两部分费用相加即可列出对应代数式；②方案二先计算实际付费的人数（总人数减去5个免费名额），再算出打九折后的人均收费（原价400元乘0.9），用实际付费人数乘打折后人均收费，化简后即可得到对应代数式。(2)判断哪种方案省钱，只需将x=100分别代入第(1)问得到的两个代数式，算出两种方案的总费用后比较大小，费用更低的方案更省钱。
【解析】
(1)①方案一总收费=固定预交费用+人均收费×总人数，即$1500+320× x=(1500+320x)$元；
②方案二实际付费人数为$(x-5)$人，打折后人均收费为$400×0.9=360$元，总收费为$360×(x-5)=(360x-1800)$元；
(2)当$x=100$时：
代入方案一的代数式得：$1500+320×100=1500+32000=33500$（元）
代入方案二的代数式得：$360×100-1800=36000-1800=34200$（元）
因为$33500＜34200$，所以方案一更省钱。
【答案】
(1)①$\boxed{(1500+320x)}$；②$\boxed{(360x-1800)}$
(2)方案一省钱，理由：当$x=100$时，方案一收费33500元，方案二收费34200元，33500＜34200，因此方案一省钱。
【知识点】
列代数式；代数式求值；方案优化
【点评】
本题结合生活中的优惠收费场景命题，解题核心是准确读懂两种方案的收费规则，正确列出代数式后代入数值比较即可，能有效考察学生用代数式解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：(1)列代数式需先明确两种优惠方案的收费构成：①方案一的总收费由固定预交的1500元和每人320元的收费两部分组成，将两部分费用相加即可列出对应代数式；②方案二先计算实际付费的人数（总人数减去5个免费名额），再算出打九折后的人均收费（原价400元乘0.9），用实际付费人数乘打折后人均收费，化简后即可得到对应代数式。(2)判断哪种方案省钱，只需将x=100分别代入第(1)问得到的两个代数式，算出两种方案的总费用后比较大小，费用更低的方案更省钱。
【解析】
(1)①方案一总收费=固定预交费用+人均收费×总人数，即$1500+320× x=(1500+320x)$元；
②方案二实际付费人数为$(x-5)$人，打折后人均收费为$400×0.9=360$元，总收费为$360×(x-5)=(360x-1800)$元；
(2)当$x=100$时：
代入方案一的代数式得：$1500+320×100=1500+32000=33500$（元）
代入方案二的代数式得：$360×100-1800=36000-1800=34200$（元）
因为$33500＜34200$，所以方案一更省钱。
【答案】
(1)①$\boxed{(1500+320x)}$；②$\boxed{(360x-1800)}$
(2)方案一省钱，理由：当$x=100$时，方案一收费33500元，方案二收费34200元，33500＜34200，因此方案一省钱。
【知识点】
列代数式；代数式求值；方案优化
【点评】
本题结合生活中的优惠收费场景命题，解题核心是准确读懂两种方案的收费规则，正确列出代数式后代入数值比较即可，能有效考察学生用代数式解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
