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1. 数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是(
A.$ac + b ＜ 0$
B.$a + b + c ＜ 0$
C.$abc ＜ 0$
D.$ab + c ＞ 0$
C
).A.$ac + b ＜ 0$
B.$a + b + c ＜ 0$
C.$abc ＜ 0$
D.$ab + c ＞ 0$
答案
1. C
解析
【分析】
首先根据数轴上“右边的数总比左边的数大”的规律，确定a、b、c的正负性，再根据各点到原点的距离判断三者绝对值的大小关系，最后结合有理数的加法、乘法运算法则，逐一判断每个选项的正误，选出错误的结论即可。
【解析】
由数轴可得：$ b ＜ a ＜ 0 ＜ c $，且$ |b| ＞ |a| ＞ |c| $。
选项A：$ a＜0，c＞0 $，因此$ ac ＜ 0 $，又$ b ＜ 0 $，负数加负数仍为负数，故$ ac + b ＜ 0 $，该结论正确，不符合题意。
选项B：$ a＜0，b＜0 $，因此$ a + b ＜ 0 $，且$ |a + b| = |a| + |b| ＞ |c| $，故$ a + b + c ＜ 0 $，该结论正确，不符合题意。
选项C：$ a＜0，b＜0，c＞0 $，根据有理数乘法法则，负负得正，正数乘正数仍为正，因此$ abc ＞ 0 $，故$ abc ＜ 0 $的结论错误，符合题意。
选项D：$ a＜0，b＜0 $，因此$ ab ＞ 0 $，又$ c＞0 $，正数加正数仍为正数，故$ ab + c ＞ 0 $，该结论正确，不符合题意。
综上，结论错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
数轴的应用；有理数乘法法则；有理数加法法则
【点评】
本题解题的核心是先从数轴中准确提取数的正负、绝对值大小等信息，再结合有理数的运算法则判断式子的符号，逐一验证选项即可得出答案。
【难度系数】
0.8
首先根据数轴上“右边的数总比左边的数大”的规律，确定a、b、c的正负性，再根据各点到原点的距离判断三者绝对值的大小关系，最后结合有理数的加法、乘法运算法则，逐一判断每个选项的正误，选出错误的结论即可。
【解析】
由数轴可得：$ b ＜ a ＜ 0 ＜ c $，且$ |b| ＞ |a| ＞ |c| $。
选项A：$ a＜0，c＞0 $，因此$ ac ＜ 0 $，又$ b ＜ 0 $，负数加负数仍为负数，故$ ac + b ＜ 0 $，该结论正确，不符合题意。
选项B：$ a＜0，b＜0 $，因此$ a + b ＜ 0 $，且$ |a + b| = |a| + |b| ＞ |c| $，故$ a + b + c ＜ 0 $，该结论正确，不符合题意。
选项C：$ a＜0，b＜0，c＞0 $，根据有理数乘法法则，负负得正，正数乘正数仍为正，因此$ abc ＞ 0 $，故$ abc ＜ 0 $的结论错误，符合题意。
选项D：$ a＜0，b＜0 $，因此$ ab ＞ 0 $，又$ c＞0 $，正数加正数仍为正数，故$ ab + c ＞ 0 $，该结论正确，不符合题意。
综上，结论错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
数轴的应用；有理数乘法法则；有理数加法法则
【点评】
本题解题的核心是先从数轴中准确提取数的正负、绝对值大小等信息，再结合有理数的运算法则判断式子的符号，逐一验证选项即可得出答案。
【难度系数】
0.8
2. 已知$|x|=3$，$|y|=2$，且$x · y ＜ 0$，则$x + y$的值等于(
A.5或－5
B.1或－1
C.5或－1
D.－5或－1
B
).A.5或－5
B.1或－1
C.5或－1
D.－5或－1
答案
2. B
解析
【分析】
解题时先利用绝对值的性质求出x、y的所有可能取值，再根据有理数乘法的符号规律“两数相乘，同号得正，异号得负”，结合x·y＜0的条件筛选出x、y异号的对应组合，最后分别计算不同组合下x+y的值即可得到结果。
【解析】
1. 由绝对值的性质可得：
∵|x|=3，
∴x的取值为3或-3；
∵|y|=2，
∴y的取值为2或-2。
2. 由x·y＜0可知x、y符号相反，分两种情况计算：
① 当x=3时，y只能取-2，此时x+y=3+(-2)=1；
② 当x=-3时，y只能取2，此时x+y=-3+2=-1。
综上，x+y的值为1或-1。
【答案】
B
【知识点】
绝对值的性质，有理数乘法法则，有理数加法运算
【点评】
本题是绝对值与有理数运算的典型综合题，需要掌握分类讨论的思想，根据乘积的符号准确判断两个数的符号关系，避免漏选或错选情况。
【难度系数】
0.8
解题时先利用绝对值的性质求出x、y的所有可能取值，再根据有理数乘法的符号规律“两数相乘，同号得正，异号得负”，结合x·y＜0的条件筛选出x、y异号的对应组合，最后分别计算不同组合下x+y的值即可得到结果。
【解析】
1. 由绝对值的性质可得：
∵|x|=3，
∴x的取值为3或-3；
∵|y|=2，
∴y的取值为2或-2。
2. 由x·y＜0可知x、y符号相反，分两种情况计算：
① 当x=3时，y只能取-2，此时x+y=3+(-2)=1；
② 当x=-3时，y只能取2，此时x+y=-3+2=-1。
综上，x+y的值为1或-1。
【答案】
B
【知识点】
绝对值的性质，有理数乘法法则，有理数加法运算
【点评】
本题是绝对值与有理数运算的典型综合题，需要掌握分类讨论的思想，根据乘积的符号准确判断两个数的符号关系，避免漏选或错选情况。
【难度系数】
0.8
3. 超市推出如下优惠方案：① 一次性购物不超过100元，不享受优惠；② 一次性购物超过100元，但不超过300元，一律九折；③ 一次性购物超过300元，一律八折. 某人两次购物分别付款80元和252元，如果他将这两次所购商品一次性购买，则应付款（
A.288元
B.332元
C.288元或316元
D.332元或363元
C
）.A.288元
B.332元
C.288元或316元
D.332元或363元
答案
3. C
解析
【分析】
解题时首先要明确优惠的分段规则，先判断两次购物的原价：第一次付款80元，因100元打九折后为90元，80元＜90元，说明第一次购物未享受优惠，原价就是80元；第二次付款252元，可能对应两种优惠区间：要么是100~300元打九折后的价格，要么是超过300元打八折后的价格，需要分两类计算第二次购物的原价，再将两次原价相加，按照超过300元打八折的规则计算合并付款的金额即可。
【解析】
1. 确定第一次购物原价：
已知不超过100元无优惠，100元打九折后为 $100×0.9=90$ 元，付款80元＜90元，因此第一次购物原价为80元，无优惠。
2. 分情况计算第二次购物原价：
情况1：第二次购物原价在100~300元区间，享受九折优惠：
原价 = $252÷0.9=280$ 元，符合100＜280＜300的区间要求。
两次购物总原价 = $80+280=360$ 元，超过300元，享受八折优惠，应付款 $360×0.8=288$ 元。
情况2：第二次购物原价超过300元，享受八折优惠：
原价 = $252÷0.8=315$ 元，符合315＞300的区间要求。
两次购物总原价 = $80+315=395$ 元，超过300元，享受八折优惠，应付款 $395×0.8=316$ 元。
综上，一次性购买应付款为288元或316元。
【答案】
C
【知识点】
打折销售计算、分段计费、分类讨论
【点评】
本题属于生活中常见的促销优惠计算问题，易错点是容易忽略第二次付款对应的原价存在两种优惠区间的可能，解题时要先准确判断各次付款对应的原价区间，分类讨论避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确优惠的分段规则，先判断两次购物的原价：第一次付款80元，因100元打九折后为90元，80元＜90元，说明第一次购物未享受优惠，原价就是80元；第二次付款252元，可能对应两种优惠区间：要么是100~300元打九折后的价格，要么是超过300元打八折后的价格，需要分两类计算第二次购物的原价，再将两次原价相加，按照超过300元打八折的规则计算合并付款的金额即可。
【解析】
1. 确定第一次购物原价：
已知不超过100元无优惠，100元打九折后为 $100×0.9=90$ 元，付款80元＜90元，因此第一次购物原价为80元，无优惠。
2. 分情况计算第二次购物原价：
情况1：第二次购物原价在100~300元区间，享受九折优惠：
原价 = $252÷0.9=280$ 元，符合100＜280＜300的区间要求。
两次购物总原价 = $80+280=360$ 元，超过300元，享受八折优惠，应付款 $360×0.8=288$ 元。
情况2：第二次购物原价超过300元，享受八折优惠：
原价 = $252÷0.8=315$ 元，符合315＞300的区间要求。
两次购物总原价 = $80+315=395$ 元，超过300元，享受八折优惠，应付款 $395×0.8=316$ 元。
综上，一次性购买应付款为288元或316元。
【答案】
C
【知识点】
打折销售计算、分段计费、分类讨论
【点评】
本题属于生活中常见的促销优惠计算问题，易错点是容易忽略第二次付款对应的原价存在两种优惠区间的可能，解题时要先准确判断各次付款对应的原价区间，分类讨论避免漏解。
【难度系数】
0.6
二、填空题
4. 有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是：任取四个1~13之间的自然数，将这四个数（每个数用且只用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24. 例如1，2，3，4，可作如下运算：$(1+2+3)×4=24$[注意上述运算与$4×(2+3+1)$应视作相同方法的运算]. 将上述规则扩展到四个有理数3，4，$-6$，10，写出三种不同方法的运算式，使其结果等于24. 运算式如下：(1)
4. 有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是：任取四个1~13之间的自然数，将这四个数（每个数用且只用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24. 例如1，2，3，4，可作如下运算：$(1+2+3)×4=24$[注意上述运算与$4×(2+3+1)$应视作相同方法的运算]. 将上述规则扩展到四个有理数3，4，$-6$，10，写出三种不同方法的运算式，使其结果等于24. 运算式如下：(1)
$10-4-3×(-6)$
；(2) $4-10×(-6)÷3$
；(3) $3×[10+4+(-6)]$
. 另有四个数3，$-5$，7，$-13$，可通过运算式：(4) $[(-5)×(-13)+7]÷3$
使其结果等于24.答案
4. (1) $10-4-3×(-6)$ (2) $4-10×(-6)÷3$ (3) $3×[10+4+(-6)]$ (4) $[(-5)×(-13)+7]÷3$
解析
【分析】
解决“二十四点”问题的核心思路是结合给定数字，联想结果为24的常见运算形式（如3×8、4×6、加减凑24等），再通过调整四则运算顺序、合理添加括号，保证每个数字只用一次，最终得到结果为24的算式。涉及负数运算时，可利用“负负得正”“减去负数等于加正数”的有理数运算规则凑目标值。
【解析】
我们对两组数字分别尝试组合运算，验证如下：
第一组数字：3、4、$-6$、10
(1) 先算乘法$3×(-6)=-18$，再算$10-4=6$，最后$6-(-18)=24$，对应运算式为$10-4-3×(-6)$。
(2) 先算乘除$10×(-6)÷3=-20$，再算$4-(-20)=24$，对应运算式为$4-10×(-6)÷3$。
(3) 先凑乘数$10+4+(-6)=8$，再算$3×8=24$，对应运算式为$3×[10+4+(-6)]$。
第二组数字：3、$-5$、7、$-13$
先算$(-5)×(-13)=65$，再加7得$65+7=72$，最后$72÷3=24$，对应运算式为$[(-5)×(-13)+7]÷3$。
【答案】
(1) $10-4-3×(-6)$ (2) $4-10×(-6)÷3$ (3) $3×[10+4+(-6)]$ (4) $[(-5)×(-13)+7]÷3$
【知识点】
有理数四则混合运算；运算巧算
【点评】
本题是融合趣味游戏的开放性运算题，解题时需要大胆尝试不同运算组合，熟练掌握有理数运算规则即可快速找到符合要求的算式，能有效锻炼发散思维和运算熟练度。
【难度系数】
0.6
解决“二十四点”问题的核心思路是结合给定数字，联想结果为24的常见运算形式（如3×8、4×6、加减凑24等），再通过调整四则运算顺序、合理添加括号，保证每个数字只用一次，最终得到结果为24的算式。涉及负数运算时，可利用“负负得正”“减去负数等于加正数”的有理数运算规则凑目标值。
【解析】
我们对两组数字分别尝试组合运算，验证如下：
第一组数字：3、4、$-6$、10
(1) 先算乘法$3×(-6)=-18$，再算$10-4=6$，最后$6-(-18)=24$，对应运算式为$10-4-3×(-6)$。
(2) 先算乘除$10×(-6)÷3=-20$，再算$4-(-20)=24$，对应运算式为$4-10×(-6)÷3$。
(3) 先凑乘数$10+4+(-6)=8$，再算$3×8=24$，对应运算式为$3×[10+4+(-6)]$。
第二组数字：3、$-5$、7、$-13$
先算$(-5)×(-13)=65$，再加7得$65+7=72$，最后$72÷3=24$，对应运算式为$[(-5)×(-13)+7]÷3$。
【答案】
(1) $10-4-3×(-6)$ (2) $4-10×(-6)÷3$ (3) $3×[10+4+(-6)]$ (4) $[(-5)×(-13)+7]÷3$
【知识点】
有理数四则混合运算；运算巧算
【点评】
本题是融合趣味游戏的开放性运算题，解题时需要大胆尝试不同运算组合，熟练掌握有理数运算规则即可快速找到符合要求的算式，能有效锻炼发散思维和运算熟练度。
【难度系数】
0.6
5. 规定一种运算：$a△b=3ab$，如$2△4=3×2×4=24$，则$(-4)△5=$
$-60$
。答案
5. $-60$
解析
【分析】
这是一道新定义运算类题目，解题时首先要明确题目给出的运算规则：$a△b$表示的是$a$、$b$两个数乘积的3倍。计算$(-4)△5$时，只需把规则中的$a$替换为$-4$，$b$替换为$5$，再按照有理数乘法的计算法则计算即可，计算过程中要注意负数参与乘法运算的符号判断。
【解析】
根据题目规定的运算规则$a△b=3ab$，将$a=-4$，$b=5$代入公式可得：
$\begin{aligned}(-4)△5&=3×(-4)×5\\&=-12×5\\&=-60\end{aligned}$
【答案】
$-60$
【知识点】
新定义运算，有理数乘法
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是准确理解新运算的规则，找准对应代入的数值，计算时注意符号规则即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
这是一道新定义运算类题目，解题时首先要明确题目给出的运算规则：$a△b$表示的是$a$、$b$两个数乘积的3倍。计算$(-4)△5$时，只需把规则中的$a$替换为$-4$，$b$替换为$5$，再按照有理数乘法的计算法则计算即可，计算过程中要注意负数参与乘法运算的符号判断。
【解析】
根据题目规定的运算规则$a△b=3ab$，将$a=-4$，$b=5$代入公式可得：
$\begin{aligned}(-4)△5&=3×(-4)×5\\&=-12×5\\&=-60\end{aligned}$
【答案】
$-60$
【知识点】
新定义运算，有理数乘法
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是准确理解新运算的规则，找准对应代入的数值，计算时注意符号规则即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
6. 已知有理数$a$，$b$，$c$在数轴上的位置如图所示：
化简：$\dfrac{|abc|}{abc} + \dfrac{a+b+c}{|a+b+c|} - \dfrac{|bc|}{$
$} - \dfrac{c-b}{|c-b|} - \dfrac{a}{|a|} =$
化简：$\dfrac{|abc|}{abc} + \dfrac{a+b+c}{|a+b+c|} - \dfrac{|bc|}{$
$} - \dfrac{c-b}{|c-b|} - \dfrac{a}{|a|} =$ $3$
答案
6. $3$
解析
【分析】
解题时首先根据数轴上“左小右大、负数在原点左侧、正数在原点右侧”的规律，判断出a、b、c的正负性，再依次判断每个分式中涉及的代数式的正负，接着根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，去掉绝对值符号将每个分式化简为1或-1，最后代入计算即可得到结果。
【解析】
根据数轴可知：$a＜0$，$b＜0$，$c＞0$，且$a+b+c＞0$，$c-b＞0$，逐个化简如下：
1. 因为$abc=(-)×(-)×(+)＞0$，所以$|abc|=abc$，则$\dfrac{|abc|}{abc}=\dfrac{abc}{abc}=1$；
2. 因为$a+b+c＞0$，所以$|a+b+c|=a+b+c$，则$\dfrac{a+b+c}{|a+b+c|}=\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=1$；
3. 因为$bc=(-)×(+)＜0$，所以$|bc|=-bc$，则$-\dfrac{|bc|}{bc}=-\dfrac{-bc}{bc}=1$；
4. 因为$c-b＞0$，所以$|c-b|=c-b$，则$-\dfrac{c-b}{|c-b|}=-\dfrac{c-b}{c-b}=-1$；
5. 因为$a＜0$，所以$|a|=-a$，则$-\dfrac{a}{|a|}=-\dfrac{a}{-a}=1$。
将化简结果代入原式计算：$1+1+1-1+1=3$。
【答案】
$3$
【知识点】
绝对值的性质；数轴的应用；有理数符号判断
【点评】
本题是绝对值化简的典型题型，解题核心是先通过数轴确定各代数式的正负，再结合绝对值的性质化简计算，要求学生熟练掌握绝对值的相关性质和有理数运算的符号法则。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据数轴上“左小右大、负数在原点左侧、正数在原点右侧”的规律，判断出a、b、c的正负性，再依次判断每个分式中涉及的代数式的正负，接着根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，去掉绝对值符号将每个分式化简为1或-1，最后代入计算即可得到结果。
【解析】
根据数轴可知：$a＜0$，$b＜0$，$c＞0$，且$a+b+c＞0$，$c-b＞0$，逐个化简如下：
1. 因为$abc=(-)×(-)×(+)＞0$，所以$|abc|=abc$，则$\dfrac{|abc|}{abc}=\dfrac{abc}{abc}=1$；
2. 因为$a+b+c＞0$，所以$|a+b+c|=a+b+c$，则$\dfrac{a+b+c}{|a+b+c|}=\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=1$；
3. 因为$bc=(-)×(+)＜0$，所以$|bc|=-bc$，则$-\dfrac{|bc|}{bc}=-\dfrac{-bc}{bc}=1$；
4. 因为$c-b＞0$，所以$|c-b|=c-b$，则$-\dfrac{c-b}{|c-b|}=-\dfrac{c-b}{c-b}=-1$；
5. 因为$a＜0$，所以$|a|=-a$，则$-\dfrac{a}{|a|}=-\dfrac{a}{-a}=1$。
将化简结果代入原式计算：$1+1+1-1+1=3$。
【答案】
$3$
【知识点】
绝对值的性质；数轴的应用；有理数符号判断
【点评】
本题是绝对值化简的典型题型，解题核心是先通过数轴确定各代数式的正负，再结合绝对值的性质化简计算，要求学生熟练掌握绝对值的相关性质和有理数运算的符号法则。
【难度系数】
0.7
