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三、解答题
7. 形如$\begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix}$的式子叫作二阶行列式，它的运算法则用公式表示为$\begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix}=ad-bc$. 试计算：$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 4 \end{vmatrix} ÷ \begin{vmatrix} -3 & -4 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}$.
7. 形如$\begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix}$的式子叫作二阶行列式，它的运算法则用公式表示为$\begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix}=ad-bc$. 试计算：$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 4 \end{vmatrix} ÷ \begin{vmatrix} -3 & -4 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}$.
答案
7. $-\dfrac{11}{2}$
解析
【分析】
这是一道新定义运算类题目，解题时首先要准确理解二阶行列式的运算规则：$\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix}=ad-bc$，即左上角元素乘右下角元素的积，减去右上角元素乘左下角元素的积。我们可以先分别计算出两个二阶行列式的结果，再按照有理数除法的规则计算最终的商，计算过程中要注意正负号的处理。
【解析】
第一步：计算第一个二阶行列式的值
$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 4 \end{vmatrix} = 2×4 - 1×(-3) = 8 + 3 = 11$
第二步：计算第二个二阶行列式的值
$\begin{vmatrix} -3 & -4 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (-3)×2 - (-4)×1 = -6 + 4 = -2$
第三步：计算两个结果的商
$11 ÷ (-2) = -\dfrac{11}{2}$
【答案】
$-\dfrac{11}{2}$
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算
【点评】
本题考查对新运算规则的阅读理解能力和有理数运算的熟练度，解题核心是准确套用二阶行列式的运算公式，计算时需注意符号问题，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.7
这是一道新定义运算类题目，解题时首先要准确理解二阶行列式的运算规则：$\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix}=ad-bc$，即左上角元素乘右下角元素的积，减去右上角元素乘左下角元素的积。我们可以先分别计算出两个二阶行列式的结果，再按照有理数除法的规则计算最终的商，计算过程中要注意正负号的处理。
【解析】
第一步：计算第一个二阶行列式的值
$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 4 \end{vmatrix} = 2×4 - 1×(-3) = 8 + 3 = 11$
第二步：计算第二个二阶行列式的值
$\begin{vmatrix} -3 & -4 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (-3)×2 - (-4)×1 = -6 + 4 = -2$
第三步：计算两个结果的商
$11 ÷ (-2) = -\dfrac{11}{2}$
【答案】
$-\dfrac{11}{2}$
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算
【点评】
本题考查对新运算规则的阅读理解能力和有理数运算的熟练度，解题核心是准确套用二阶行列式的运算公式，计算时需注意符号问题，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.7
8. 右图是一数值转换机.
（1）填写下表：
（2）观察所填表格，输出结果与输入x有什么关系？
（1）填写下表：
（2）观察所填表格，输出结果与输入x有什么关系？
答案
(1) $-\dfrac{4}{3}, -\dfrac{1}{3}, 0, \dfrac{2}{3}, \dfrac{10}{9}$ (2) 输出结果是输入$x$的$\dfrac{2}{3}$倍
解析
【分析】
（1）解决第一问首先要明确数值转换机的运算规则，本题运算规则为对输入的$x$计算$\frac{2}{3}x$，接下来将每个输入的$x$值代入运算式，按照有理数乘法法则计算即可得到对应的输出值；（2）解决第二问时，将每组输入$x$的值和对应的输出值进行对比，计算输出值与输入值的商，即可总结出两者的数量关系。
【解析】
（1）根据数值转换机的运算流程，可得输出结果的表达式为$\dfrac{2}{3}x$，将对应输入的$x$值分别代入计算：
① 当输入$x=-2$时，输出$=\dfrac{2}{3}×(-2)=-\dfrac{4}{3}$；
② 当输入$x=-\dfrac{1}{2}$时，输出$=\dfrac{2}{3}×(-\dfrac{1}{2})=-\dfrac{1}{3}$；
③ 当输入$x=0$时，输出$=\dfrac{2}{3}×0=0$；
④ 当输入$x=1$时，输出$=\dfrac{2}{3}×1=\dfrac{2}{3}$；
⑤ 当输入$x=\dfrac{5}{3}$时，输出$=\dfrac{2}{3}×\dfrac{5}{3}=\dfrac{10}{9}$。
（2）观察每组输入$x$和对应输出的结果，计算输出值与输入$x$的商均为$\dfrac{2}{3}$，因此可得输出结果和输入$x$的关系。
【答案】
(1) $-\dfrac{4}{3}, -\dfrac{1}{3}, 0, \dfrac{2}{3}, \dfrac{10}{9}$ (2) 输出结果是输入$x$的$\dfrac{2}{3}$倍
【知识点】
代数式求值、有理数乘法、规律探究
【点评】
本题结合数值转换机的趣味形式，考查有理数运算和规律归纳能力，运算时需注意符号处理，归纳规律时可通过作商的方式快速判断数量关系，属于基础拓展类题目。
【难度系数】
0.8
（1）解决第一问首先要明确数值转换机的运算规则，本题运算规则为对输入的$x$计算$\frac{2}{3}x$，接下来将每个输入的$x$值代入运算式，按照有理数乘法法则计算即可得到对应的输出值；（2）解决第二问时，将每组输入$x$的值和对应的输出值进行对比，计算输出值与输入值的商，即可总结出两者的数量关系。
【解析】
（1）根据数值转换机的运算流程，可得输出结果的表达式为$\dfrac{2}{3}x$，将对应输入的$x$值分别代入计算：
① 当输入$x=-2$时，输出$=\dfrac{2}{3}×(-2)=-\dfrac{4}{3}$；
② 当输入$x=-\dfrac{1}{2}$时，输出$=\dfrac{2}{3}×(-\dfrac{1}{2})=-\dfrac{1}{3}$；
③ 当输入$x=0$时，输出$=\dfrac{2}{3}×0=0$；
④ 当输入$x=1$时，输出$=\dfrac{2}{3}×1=\dfrac{2}{3}$；
⑤ 当输入$x=\dfrac{5}{3}$时，输出$=\dfrac{2}{3}×\dfrac{5}{3}=\dfrac{10}{9}$。
（2）观察每组输入$x$和对应输出的结果，计算输出值与输入$x$的商均为$\dfrac{2}{3}$，因此可得输出结果和输入$x$的关系。
【答案】
(1) $-\dfrac{4}{3}, -\dfrac{1}{3}, 0, \dfrac{2}{3}, \dfrac{10}{9}$ (2) 输出结果是输入$x$的$\dfrac{2}{3}$倍
【知识点】
代数式求值、有理数乘法、规律探究
【点评】
本题结合数值转换机的趣味形式，考查有理数运算和规律归纳能力，运算时需注意符号处理，归纳规律时可通过作商的方式快速判断数量关系，属于基础拓展类题目。
【难度系数】
0.8
9. 某班举办数学知识比赛，共分为五个小组，其中四个小组的成绩如表所示.
（1）这四个小组的总平均分比全班的平均分高还是低？为什么？
（2）根据(1)你能否判断第五组的平均分比全班平均分高还是低？
（1）这四个小组的总平均分比全班的平均分高还是低？为什么？
（2）根据(1)你能否判断第五组的平均分比全班平均分高还是低？
答案
(1) 高，因为$4×15+12×1-13×3-14×2=5＞0$ (2) 据(1)可判断第五组的平均分比全班平均分低
解析
【分析】
（1）要判断四个小组的总平均分与全班平均分的高低，可将全班平均分作为基准，用“小组平均分与全班平均分的差值×小组人数”计算每个小组总分相对全班平均总分的偏差，将四个小组的偏差求和：若和为正，说明四个组总分高于按全班平均计算的总分，总平均分更高；若和为负则更低。
（2）全班所有小组的总偏差之和为0（全班整体的平均分就是基准，总偏差相互抵消），结合第一问得到的前四个组总偏差的正负，即可推断第五组偏差的正负，进而判断第五组平均分和全班平均分的高低。
【解析】
（1）计算四个小组的总偏差：
$\begin{aligned}&15×4 + 13×(-3) +14×(-2) +12×1\\=&60 - 39 - 28 + 12\\=&5\end{aligned}$
总偏差为$5＞0$，说明四个小组的总分比按全班平均分计算的总分多5分，因此四个小组的总平均分比全班平均分高。
（2）全班五个小组的总偏差之和应为0，因为前四个小组的总偏差为$5＞0$，所以第五组的总偏差为$-5＜0$，即第五组的平均分比全班平均分低。
【答案】
(1) 高，因为$4×15+12×1-13×3-14×2=5＞0$；(2) 第五组的平均分比全班平均分低
【知识点】
平均数的应用，正负数的意义，有理数的混合运算
【点评】
本题侧重考查对平均数概念的理解，解题时不需要计算具体的平均分，借助正负数表示偏差的意义，通过计算总偏差即可快速判断，能有效锻炼简化运算的思维能力。
【难度系数】
0.7
（1）要判断四个小组的总平均分与全班平均分的高低，可将全班平均分作为基准，用“小组平均分与全班平均分的差值×小组人数”计算每个小组总分相对全班平均总分的偏差，将四个小组的偏差求和：若和为正，说明四个组总分高于按全班平均计算的总分，总平均分更高；若和为负则更低。
（2）全班所有小组的总偏差之和为0（全班整体的平均分就是基准，总偏差相互抵消），结合第一问得到的前四个组总偏差的正负，即可推断第五组偏差的正负，进而判断第五组平均分和全班平均分的高低。
【解析】
（1）计算四个小组的总偏差：
$\begin{aligned}&15×4 + 13×(-3) +14×(-2) +12×1\\=&60 - 39 - 28 + 12\\=&5\end{aligned}$
总偏差为$5＞0$，说明四个小组的总分比按全班平均分计算的总分多5分，因此四个小组的总平均分比全班平均分高。
（2）全班五个小组的总偏差之和应为0，因为前四个小组的总偏差为$5＞0$，所以第五组的总偏差为$-5＜0$，即第五组的平均分比全班平均分低。
【答案】
(1) 高，因为$4×15+12×1-13×3-14×2=5＞0$；(2) 第五组的平均分比全班平均分低
【知识点】
平均数的应用，正负数的意义，有理数的混合运算
【点评】
本题侧重考查对平均数概念的理解，解题时不需要计算具体的平均分，借助正负数表示偏差的意义，通过计算总偏差即可快速判断，能有效锻炼简化运算的思维能力。
【难度系数】
0.7
