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1. (★)如图,某涵洞的截面呈抛物线形,现测得水面宽AB=1.6 m,涵洞顶点O到水面的距离为2.4 m.
(1)在图中平面直角坐标系内,设涵洞所在抛物线对应的函数解析式为.由抛物线经过点A,可得.解得.因此,涵洞所在抛物线对应的函数解析式为.
(2)突降暴雨后,水面上升0.9 m,此时水面宽为 m.
(3)当水面下降 m时,水面宽为2 m.
(1)在图中平面直角坐标系内,设涵洞所在抛物线对应的函数解析式为.由抛物线经过点A,可得.解得.因此,涵洞所在抛物线对应的函数解析式为.
(2)突降暴雨后,水面上升0.9 m,此时水面宽为 m.
(3)当水面下降 m时,水面宽为2 m.
答案
解：
(1) $y=ax^2(a≠0)$；$(-0.8,-2.4)$；$-2.4=a·(-0.8)^2$；$a=-\dfrac{15}{4}$；$y=-\dfrac{15}{4}x^2$
(2) $\dfrac{2\sqrt{10}}{5}$
(3) $1.35$
(1) $y=ax^2(a≠0)$；$(-0.8,-2.4)$；$-2.4=a·(-0.8)^2$；$a=-\dfrac{15}{4}$；$y=-\dfrac{15}{4}x^2$
(2) $\dfrac{2\sqrt{10}}{5}$
(3) $1.35$
解析
【分析】
首先观察坐标系特征：抛物线顶点在原点，对称轴为y轴，因此可设其解析式为$y=ax^2(a≠0)$。第一问根据已知的水面宽度、顶点到水面的距离确定点A的坐标，代入解析式即可求出系数a，得到抛物线解析式。第二问水面上升0.9m时，先计算此时水面的纵坐标，代入解析式求出对应横坐标，两个横坐标的差的绝对值就是新的水面宽度。第三问已知水面宽为2m，可得对应点的横坐标为±1，代入解析式求出此时水面的纵坐标，计算其与原水面纵坐标的差的绝对值就是下降的高度。
【解析】
(1) 抛物线顶点在原点、对称轴为y轴，因此设函数解析式为$y=ax^2(a≠0)$。
已知水面宽$AB=1.6\ \mathrm{m}$，顶点到水面距离为2.4m，水面位于x轴下方，因此点A的横坐标为$-1.6÷2=-0.8$，纵坐标为$-2.4$，即A$(-0.8,-2.4)$。
将A点坐标代入解析式得：$-2.4=a·(-0.8)^2$，
计算得$0.64a=-2.4$，解得$a=-\frac{15}{4}$，
因此涵洞所在抛物线的解析式为$y=-\frac{15}{4}x^2$。
(2) 水面上升0.9m后，此时水面的纵坐标为$-2.4+0.9=-1.5$，
将$y=-1.5$代入$y=-\frac{15}{4}x^2$得：$-1.5=-\frac{15}{4}x^2$，
化简得$x^2=0.4$，解得$x=\pm\frac{\sqrt{10}}{5}$，
因此水面宽度为$\frac{\sqrt{10}}{5}-(-\frac{\sqrt{10}}{5})=\frac{2\sqrt{10}}{5}\ \mathrm{m}$。
(3) 当水面宽为2m时，对应点的横坐标为$\pm1$，
将$x=1$代入解析式得$y=-\frac{15}{4}×1^2=-3.75$，
原水面纵坐标为-2.4，因此水面下降的高度为$3.75-2.4=1.35\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $y=ax^2(a≠0)$；$(-0.8,-2.4)$；$-2.4=a·(-0.8)^2$；$a=-\dfrac{15}{4}$；$y=-\dfrac{15}{4}x^2$
(2) $\dfrac{2\sqrt{10}}{5}$
(3) $1.35$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；二次函数的点坐标特征
【点评】
本题是二次函数的实际应用基础题，解题核心是结合坐标系确定抛物线上点的坐标，通过待定系数法求出解析式后，其余问题代入解析式计算即可，侧重考查对二次函数基础知识的运用能力。
【难度系数】
0.7
首先观察坐标系特征：抛物线顶点在原点，对称轴为y轴，因此可设其解析式为$y=ax^2(a≠0)$。第一问根据已知的水面宽度、顶点到水面的距离确定点A的坐标，代入解析式即可求出系数a，得到抛物线解析式。第二问水面上升0.9m时，先计算此时水面的纵坐标，代入解析式求出对应横坐标，两个横坐标的差的绝对值就是新的水面宽度。第三问已知水面宽为2m，可得对应点的横坐标为±1，代入解析式求出此时水面的纵坐标，计算其与原水面纵坐标的差的绝对值就是下降的高度。
【解析】
(1) 抛物线顶点在原点、对称轴为y轴，因此设函数解析式为$y=ax^2(a≠0)$。
已知水面宽$AB=1.6\ \mathrm{m}$，顶点到水面距离为2.4m，水面位于x轴下方，因此点A的横坐标为$-1.6÷2=-0.8$，纵坐标为$-2.4$，即A$(-0.8,-2.4)$。
将A点坐标代入解析式得：$-2.4=a·(-0.8)^2$，
计算得$0.64a=-2.4$，解得$a=-\frac{15}{4}$，
因此涵洞所在抛物线的解析式为$y=-\frac{15}{4}x^2$。
(2) 水面上升0.9m后，此时水面的纵坐标为$-2.4+0.9=-1.5$，
将$y=-1.5$代入$y=-\frac{15}{4}x^2$得：$-1.5=-\frac{15}{4}x^2$，
化简得$x^2=0.4$，解得$x=\pm\frac{\sqrt{10}}{5}$，
因此水面宽度为$\frac{\sqrt{10}}{5}-(-\frac{\sqrt{10}}{5})=\frac{2\sqrt{10}}{5}\ \mathrm{m}$。
(3) 当水面宽为2m时，对应点的横坐标为$\pm1$，
将$x=1$代入解析式得$y=-\frac{15}{4}×1^2=-3.75$，
原水面纵坐标为-2.4，因此水面下降的高度为$3.75-2.4=1.35\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $y=ax^2(a≠0)$；$(-0.8,-2.4)$；$-2.4=a·(-0.8)^2$；$a=-\dfrac{15}{4}$；$y=-\dfrac{15}{4}x^2$
(2) $\dfrac{2\sqrt{10}}{5}$
(3) $1.35$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；二次函数的点坐标特征
【点评】
本题是二次函数的实际应用基础题，解题核心是结合坐标系确定抛物线上点的坐标，通过待定系数法求出解析式后，其余问题代入解析式计算即可，侧重考查对二次函数基础知识的运用能力。
【难度系数】
0.7
2. (★)利用二次函数解决抛物线形问题的一般步骤：
(1)建立适当的，将抛物线形的图形放置其中；
(2)设出函数解析式，结合图形和已知条件，用求函数解析式；
(3)利用二次函数的和求解实际问题。
(1)建立适当的，将抛物线形的图形放置其中；
(2)设出函数解析式，结合图形和已知条件，用求函数解析式；
(3)利用二次函数的和求解实际问题。
答案
解：
(1) 平面直角坐标系
(2) 待定系数法
(3) 图象；性质
(1) 平面直角坐标系
(2) 待定系数法
(3) 图象；性质
解析
【分析】
这道题考查利用二次函数求解抛物线形实际问题的常规步骤，属于基础识记类题目。解题时可结合这类问题的处理逻辑推导：①要将实际的抛物线图形转化为代数中的函数问题，首先需要搭建代数与几何连接的载体，也就是建立合适的坐标系，才能用坐标表示各点位置；②有了坐标系中点的坐标信息后，求二次函数解析式的通用方法就是待定系数法，代入已知点坐标即可求出解析式中的未知系数；③得到二次函数解析式后，需要借助它的图象特征和相关性质计算实际问题中需要求解的量。
【解析】
根据二次函数解决抛物线形问题的常规步骤填写：
(1) 要将实际抛物线图形转化为函数问题，首先需要建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形的图形放置其中，实现几何图形到代数函数的转化；
(2) 建立坐标系后，结合已知点的坐标信息，用待定系数法求解二次函数的解析式；
(3) 求得解析式后，利用二次函数的图象和性质求解对应的实际问题。
【答案】
(1)平面直角坐标系；(2)待定系数法；(3)图象；性质
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求解析式；二次函数的图象与性质
【点评】
本题是二次函数解决抛物线类实际问题的基础步骤考察，内容偏向识记，是处理这类实际应用问题的必备基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
这道题考查利用二次函数求解抛物线形实际问题的常规步骤，属于基础识记类题目。解题时可结合这类问题的处理逻辑推导：①要将实际的抛物线图形转化为代数中的函数问题，首先需要搭建代数与几何连接的载体，也就是建立合适的坐标系，才能用坐标表示各点位置；②有了坐标系中点的坐标信息后，求二次函数解析式的通用方法就是待定系数法，代入已知点坐标即可求出解析式中的未知系数；③得到二次函数解析式后，需要借助它的图象特征和相关性质计算实际问题中需要求解的量。
【解析】
根据二次函数解决抛物线形问题的常规步骤填写：
(1) 要将实际抛物线图形转化为函数问题，首先需要建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形的图形放置其中，实现几何图形到代数函数的转化；
(2) 建立坐标系后，结合已知点的坐标信息，用待定系数法求解二次函数的解析式；
(3) 求得解析式后，利用二次函数的图象和性质求解对应的实际问题。
【答案】
(1)平面直角坐标系；(2)待定系数法；(3)图象；性质
【知识点】
二次函数的实际应用；待定系数法求解析式；二次函数的图象与性质
【点评】
本题是二次函数解决抛物线类实际问题的基础步骤考察，内容偏向识记，是处理这类实际应用问题的必备基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
3. (★)如图,要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高,高度为3 m,水柱落地处离池中心3 m,水管高度应为 m. 
答案
解：以池中心为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直水管所在直线为y轴正方向建立平面直角坐标系。
由题意得抛物线的顶点坐标为$(1, 3)$，设抛物线的解析式为：
$y = a(x-1)^2 + 3$
将水柱落地处的点$(3, 0)$代入解析式，得：
$0 = a·(3-1)^2 + 3$
解得 $a = -\dfrac{3}{4}$
因此抛物线的解析式为 $y = -\dfrac{3}{4}(x-1)^2 + 3$
将$x=0$代入解析式，得：
$y = -\dfrac{3}{4}×(0-1)^2 + 3 = \dfrac{9}{4} = 2.25$
即水管高度应为$\boldsymbol{2.25}$ m。
由题意得抛物线的顶点坐标为$(1, 3)$，设抛物线的解析式为：
$y = a(x-1)^2 + 3$
将水柱落地处的点$(3, 0)$代入解析式，得：
$0 = a·(3-1)^2 + 3$
解得 $a = -\dfrac{3}{4}$
因此抛物线的解析式为 $y = -\dfrac{3}{4}(x-1)^2 + 3$
将$x=0$代入解析式，得：
$y = -\dfrac{3}{4}×(0-1)^2 + 3 = \dfrac{9}{4} = 2.25$
即水管高度应为$\boldsymbol{2.25}$ m。
解析
【分析】
这是二次函数的实际应用问题，解题思路如下：首先要建立合适的平面直角坐标系，把实际场景中的位置转化为坐标点：①以池中心为原点，水平向右为x轴正方向、竖直向上为y轴正方向建系后，可得抛物线顶点坐标为$(1,3)$，水柱落地的点坐标为$(3,0)$；②已知抛物线顶点，优先选择顶点式设抛物线解析式，代入落地的点坐标就能求出解析式的未知系数；③水管高度就是$x=0$时对应的$y$值，将$x=0$代入已求出的解析式计算即可得到结果。
【解析】
解：以池中心为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系。
由题意可知抛物线的顶点坐标为$(1, 3)$，设抛物线的解析式为$y = a(x-1)^2 + 3$（$a≠0$）。
∵水柱落地处离池中心3m，即抛物线过点$(3, 0)$，将该点代入解析式得：
$0 = a×(3-1)^2 + 3$
解得 $a = -\dfrac{3}{4}$
因此抛物线的解析式为 $y = -\dfrac{3}{4}(x-1)^2 + 3$
水管高度为$x=0$时对应的$y$值，将$x=0$代入解析式：
$y = -\dfrac{3}{4}×(0-1)^2 + 3 = \dfrac{9}{4} = 2.25$
【答案】
$\boldsymbol{2.25}$
【知识点】
二次函数实际应用，待定系数法求解析式，二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的基础应用题型，核心是通过建立坐标系将实际问题转化为二次函数问题求解，需要熟练掌握待定系数法求二次函数解析式的方法，理解坐标与实际长度的对应关系。
【难度系数】
0.8
这是二次函数的实际应用问题，解题思路如下：首先要建立合适的平面直角坐标系，把实际场景中的位置转化为坐标点：①以池中心为原点，水平向右为x轴正方向、竖直向上为y轴正方向建系后，可得抛物线顶点坐标为$(1,3)$，水柱落地的点坐标为$(3,0)$；②已知抛物线顶点，优先选择顶点式设抛物线解析式，代入落地的点坐标就能求出解析式的未知系数；③水管高度就是$x=0$时对应的$y$值，将$x=0$代入已求出的解析式计算即可得到结果。
【解析】
解：以池中心为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系。
由题意可知抛物线的顶点坐标为$(1, 3)$，设抛物线的解析式为$y = a(x-1)^2 + 3$（$a≠0$）。
∵水柱落地处离池中心3m，即抛物线过点$(3, 0)$，将该点代入解析式得：
$0 = a×(3-1)^2 + 3$
解得 $a = -\dfrac{3}{4}$
因此抛物线的解析式为 $y = -\dfrac{3}{4}(x-1)^2 + 3$
水管高度为$x=0$时对应的$y$值，将$x=0$代入解析式：
$y = -\dfrac{3}{4}×(0-1)^2 + 3 = \dfrac{9}{4} = 2.25$
【答案】
$\boldsymbol{2.25}$
【知识点】
二次函数实际应用，待定系数法求解析式，二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的基础应用题型，核心是通过建立坐标系将实际问题转化为二次函数问题求解，需要熟练掌握待定系数法求二次函数解析式的方法，理解坐标与实际长度的对应关系。
【难度系数】
0.8
4. (★★)如图,小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴了一根绳子,给他做了一个简易的秋千,拴绳子的地方距地面高都是2.5 m,绳子自然下垂呈抛物线形,身高1 m的小明距较近的那棵树0.5 m时,头部刚好接触到绳子,则绳子的最低点距地面的距离为 m.
答案
解：以左边树与地面的交点为原点，地面所在直线为x轴，左边树所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
由题意可知，抛物线经过点$(0, 2.5)$、$(2, 2.5)$、$(0.5, 1)$。
∵ 点$(0, 2.5)$与点$(2, 2.5)$纵坐标相同，
∴ 抛物线的对称轴为直线$x=1$。
设抛物线的解析式为$y = a(x-1)^2 + h$，将点$(0, 2.5)$和$(0.5, 1)$分别代入解析式：
$\begin{cases}a + h = 2.5 \\0.25a + h = 1\end{cases}$
解得
$\begin{cases}a = 2 \\h = 0.5\end{cases}$
即抛物线最低点的纵坐标为$0.5$，故绳子的最低点距地面的距离为$\boldsymbol{0.5}$ m。
由题意可知，抛物线经过点$(0, 2.5)$、$(2, 2.5)$、$(0.5, 1)$。
∵ 点$(0, 2.5)$与点$(2, 2.5)$纵坐标相同，
∴ 抛物线的对称轴为直线$x=1$。
设抛物线的解析式为$y = a(x-1)^2 + h$，将点$(0, 2.5)$和$(0.5, 1)$分别代入解析式：
$\begin{cases}a + h = 2.5 \\0.25a + h = 1\end{cases}$
解得
$\begin{cases}a = 2 \\h = 0.5\end{cases}$
即抛物线最低点的纵坐标为$0.5$，故绳子的最低点距地面的距离为$\boldsymbol{0.5}$ m。
解析
【分析】
这是一道二次函数的实际应用问题，解题核心是通过建立平面直角坐标系将实际问题转化为二次函数问题求解。首先选取合适的原点建立坐标系，根据题意确定抛物线上的已知点坐标，观察到两个拴绳点纵坐标相同，可快速得到抛物线对称轴，因此选择顶点式设抛物线解析式，再代入已知点坐标求出解析式中的未知参数，最终抛物线顶点的纵坐标就是绳子最低点距地面的距离。
【解析】
解：以左边树与地面的交点为原点，地面所在直线为x轴，左边树所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
由题意可知，抛物线经过点$(0, 2.5)$、$(2, 2.5)$、$(0.5, 1)$。
∵ 点$(0, 2.5)$与点$(2, 2.5)$纵坐标相同，
∴ 抛物线的对称轴为直线$x=1$。
设抛物线的解析式为$y = a(x-1)^2 + h$，将点$(0, 2.5)$和$(0.5, 1)$分别代入解析式：
$\begin{cases}a + h = 2.5 \\0.25a + h = 1\end{cases}$
两式相减得$0.75a=1.5$，解得$a=2$，将$a=2$代入$a+h=2.5$，得$h=0.5$。
抛物线顶点的纵坐标即为最低点距地面的高度。
【答案】
$\boldsymbol{0.5}$
【知识点】
二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，二次函数的性质
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题的关键是合理建立平面直角坐标系，将实际位置转化为点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式，结合二次函数顶点的意义得到所求结果，能锻炼学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
这是一道二次函数的实际应用问题，解题核心是通过建立平面直角坐标系将实际问题转化为二次函数问题求解。首先选取合适的原点建立坐标系，根据题意确定抛物线上的已知点坐标，观察到两个拴绳点纵坐标相同，可快速得到抛物线对称轴，因此选择顶点式设抛物线解析式，再代入已知点坐标求出解析式中的未知参数，最终抛物线顶点的纵坐标就是绳子最低点距地面的距离。
【解析】
解：以左边树与地面的交点为原点，地面所在直线为x轴，左边树所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
由题意可知，抛物线经过点$(0, 2.5)$、$(2, 2.5)$、$(0.5, 1)$。
∵ 点$(0, 2.5)$与点$(2, 2.5)$纵坐标相同，
∴ 抛物线的对称轴为直线$x=1$。
设抛物线的解析式为$y = a(x-1)^2 + h$，将点$(0, 2.5)$和$(0.5, 1)$分别代入解析式：
$\begin{cases}a + h = 2.5 \\0.25a + h = 1\end{cases}$
两式相减得$0.75a=1.5$，解得$a=2$，将$a=2$代入$a+h=2.5$，得$h=0.5$。
抛物线顶点的纵坐标即为最低点距地面的高度。
【答案】
$\boldsymbol{0.5}$
【知识点】
二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，二次函数的性质
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题的关键是合理建立平面直角坐标系，将实际位置转化为点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式，结合二次函数顶点的意义得到所求结果，能锻炼学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
5. (★★)如图①,太阳灶的灶体是一个旋转抛物面,若一束平行光沿旋转抛物面的主轴射向这个抛物面,遇到抛物面后被反射,则反射光线都会集中到定点的位置,该点叫作抛物线的焦点F,将水壶置于焦点可进行加热.建立平面直角坐标系如图②,已知过主轴截面的抛物线对应的函数解析式为$y=\frac{1}{2p}x^2$,焦点F的坐标为$(0,\frac{p}{2})$.若太阳灶的宽度为1.6 m,深度h为0.32 m,则水壶底部到点O的距离为m.
答案
$\boldsymbol{0.5}$
解析
【分析】
解题时首先要从实际场景中提取抛物线上已知点的坐标：太阳灶宽度为1.6m，意味着对应x的取值为±0.8m，深度h为0.32m意味着此时y=0.32m，即可得到抛物线上一点(0.8,0.32)。将该点代入抛物线解析式求出参数p，再结合焦点F的坐标公式(0,$\frac{p}{2}$)，得到的$\frac{p}{2}$就是水壶底部到原点O的距离。
【解析】
解：由太阳灶宽度为1.6m，深度h为0.32m，可知当y=0.32时，$x=1.6÷2=0.8$，即点(0.8, 0.32)在抛物线$y=\frac{1}{2p}x^2$上。
将x=0.8，y=0.32代入解析式得：
$0.32=\frac{0.8^2}{2p}$
计算得：$0.32=\frac{0.64}{2p}=\frac{0.32}{p}$
两边同乘p得：$0.32p=0.32$，解得$p=1$。
已知焦点F坐标为$(0,\frac{p}{2})$，则F到O的距离为$\frac{p}{2}=\frac{1}{2}=0.5$（m），即水壶底部到点O的距离为0.5m。
【答案】
$\boldsymbol{0.5}$
【知识点】
二次函数实际应用，待定系数法，抛物线性质
【点评】
本题结合生活中的太阳灶场景考查二次函数相关知识，解题核心是将实际数据转化为抛物线上点的坐标，通过代入法求解未知参数，再结合已知焦点公式得到结果，注重考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先要从实际场景中提取抛物线上已知点的坐标：太阳灶宽度为1.6m，意味着对应x的取值为±0.8m，深度h为0.32m意味着此时y=0.32m，即可得到抛物线上一点(0.8,0.32)。将该点代入抛物线解析式求出参数p，再结合焦点F的坐标公式(0,$\frac{p}{2}$)，得到的$\frac{p}{2}$就是水壶底部到原点O的距离。
【解析】
解：由太阳灶宽度为1.6m，深度h为0.32m，可知当y=0.32时，$x=1.6÷2=0.8$，即点(0.8, 0.32)在抛物线$y=\frac{1}{2p}x^2$上。
将x=0.8，y=0.32代入解析式得：
$0.32=\frac{0.8^2}{2p}$
计算得：$0.32=\frac{0.64}{2p}=\frac{0.32}{p}$
两边同乘p得：$0.32p=0.32$，解得$p=1$。
已知焦点F坐标为$(0,\frac{p}{2})$，则F到O的距离为$\frac{p}{2}=\frac{1}{2}=0.5$（m），即水壶底部到点O的距离为0.5m。
【答案】
$\boldsymbol{0.5}$
【知识点】
二次函数实际应用，待定系数法，抛物线性质
【点评】
本题结合生活中的太阳灶场景考查二次函数相关知识，解题核心是将实际数据转化为抛物线上点的坐标，通过代入法求解未知参数，再结合已知焦点公式得到结果，注重考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
