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11. (★★)【问题背景】排队是生活中常见的场景,某数学小组针对某次演出,研究了排队人数与安检时间、安排通道数之间的关系.
【研究条件】
条件1 观众进场立即排队安检,在任意时刻都满足:排队人数=现场总人数-已入场人数;
条件2 若该演出场地最多可开放9条安检通道,平均每条通道每分钟可安检6人.
【模型构建】若该演出前30 min开始进行安检,经研究发现,现场总人数$y$与安检时间$x$(单位:min)之间满足关系式$y=-x^2+60x+100(0≤x≤30)$.
结合上述信息,请完成下列问题:
(1)当开通3条安检通道时,安检时间$x$ min时,已入场人数为,排队人数$w$关于安检时间$x$的函数解析式为.
【模型应用】
(2)在(1)的条件下,排队人数在第几分钟达到最大值?最大人数为多少?
【研究条件】
条件1 观众进场立即排队安检,在任意时刻都满足:排队人数=现场总人数-已入场人数;
条件2 若该演出场地最多可开放9条安检通道,平均每条通道每分钟可安检6人.
【模型构建】若该演出前30 min开始进行安检,经研究发现,现场总人数$y$与安检时间$x$(单位:min)之间满足关系式$y=-x^2+60x+100(0≤x≤30)$.
结合上述信息,请完成下列问题:
(1)当开通3条安检通道时,安检时间$x$ min时,已入场人数为,排队人数$w$关于安检时间$x$的函数解析式为.
【模型应用】
(2)在(1)的条件下,排队人数在第几分钟达到最大值?最大人数为多少?
答案
解：
(1) 开通3条安检通道时，每分钟可安检人数为$3×6=18$，因此安检$x$ min时，已入场人数为$\boldsymbol{18x}$。
根据排队人数=现场总人数-已入场人数，可得：
$w = (-x^2 + 60x + 100) - 18x = \boldsymbol{-x^2 + 42x + 100\ (0≤ x≤ 30)}$
(2) 对于二次函数$w = -x^2 + 42x + 100$，
$\because a=-1＜0$，
$\therefore$ 函数图象开口向下，在对称轴处取得最大值。
对称轴为直线$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{42}{2×(-1)} = 21$，
又$\because 0≤ x≤ 30$，
$\therefore$ 当$x=21$时，$w$取得最大值，
$w_{\mathrm{max}} = -21^2 + 42×21 + 100 = 541$。
答：排队人数在第21分钟达到最大值，最大人数为541人。
(1) 开通3条安检通道时，每分钟可安检人数为$3×6=18$，因此安检$x$ min时，已入场人数为$\boldsymbol{18x}$。
根据排队人数=现场总人数-已入场人数，可得：
$w = (-x^2 + 60x + 100) - 18x = \boldsymbol{-x^2 + 42x + 100\ (0≤ x≤ 30)}$
(2) 对于二次函数$w = -x^2 + 42x + 100$，
$\because a=-1＜0$，
$\therefore$ 函数图象开口向下，在对称轴处取得最大值。
对称轴为直线$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{42}{2×(-1)} = 21$，
又$\because 0≤ x≤ 30$，
$\therefore$ 当$x=21$时，$w$取得最大值，
$w_{\mathrm{max}} = -21^2 + 42×21 + 100 = 541$。
答：排队人数在第21分钟达到最大值，最大人数为541人。
解析
【分析】
对于第(1)问，首先根据每条通道每分钟安检6人，先计算3条通道每分钟的安检总人数，再乘以安检时间x即可得到已入场人数；再根据题目给出的“排队人数=现场总人数-已入场人数”的等量关系，将已知的现场总人数y的表达式和求出的已入场人数代入，就能得到排队人数w关于x的函数解析式，注意标注x的取值范围。
对于第(2)问，得到的w是关于x的二次函数，且二次项系数为负，因此函数图象开口向下，在对称轴处取得最大值；先求出二次函数的对称轴，判断对称轴是否在x的取值范围0≤x≤30内，若在范围内，将对称轴对应的x值代入函数解析式即可求出最大排队人数。
【解析】
(1) 已知平均每条通道每分钟可安检6人，开通3条通道时，每分钟可安检人数为$3×6=18$人，因此安检x min时，已入场人数为$18x$。
根据排队人数的计算公式：排队人数=现场总人数-已入场人数，代入现场总人数$y=-x^2+60x+100$，可得：
$w = (-x^2+60x+100) - 18x = -x^2+42x+100$，其中x的取值范围是$0≤x≤30$。
(2) 对于二次函数$w=-x^2+42x+100$，
$\because$二次项系数$a=-1＜0$，
$\therefore$函数图象开口向下，在对称轴处取得最大值。
二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1$，$b=42$，得对称轴为直线$x = -\frac{42}{2×(-1)}=21$，
又$\because 0≤x≤30$，21在该取值范围内，
$\therefore$当$x=21$时，w取得最大值，代入解析式计算：
$w_{\mathrm{max}} = -21^2 + 42×21 + 100 = -441 + 882 + 100 = 541$。
【答案】
(1) $18x$；$w=-x^2+42x+100(0≤x≤30)$
(2) 排队人数在第21分钟达到最大值，最大人数为541人。
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；根据实际问题列函数解析式
【点评】
本题结合生活中的安检排队场景命题，既考查了对题意的理解和数量关系的提取能力，也考查了二次函数的相关性质，解题时需要注意自变量的取值范围对最值的影响，是一道贴近生活的应用题，能帮助学生理解数学在实际生活中的应用。
【难度系数】
0.7
对于第(1)问，首先根据每条通道每分钟安检6人，先计算3条通道每分钟的安检总人数，再乘以安检时间x即可得到已入场人数；再根据题目给出的“排队人数=现场总人数-已入场人数”的等量关系，将已知的现场总人数y的表达式和求出的已入场人数代入，就能得到排队人数w关于x的函数解析式，注意标注x的取值范围。
对于第(2)问，得到的w是关于x的二次函数，且二次项系数为负，因此函数图象开口向下，在对称轴处取得最大值；先求出二次函数的对称轴，判断对称轴是否在x的取值范围0≤x≤30内，若在范围内，将对称轴对应的x值代入函数解析式即可求出最大排队人数。
【解析】
(1) 已知平均每条通道每分钟可安检6人，开通3条通道时，每分钟可安检人数为$3×6=18$人，因此安检x min时，已入场人数为$18x$。
根据排队人数的计算公式：排队人数=现场总人数-已入场人数，代入现场总人数$y=-x^2+60x+100$，可得：
$w = (-x^2+60x+100) - 18x = -x^2+42x+100$，其中x的取值范围是$0≤x≤30$。
(2) 对于二次函数$w=-x^2+42x+100$，
$\because$二次项系数$a=-1＜0$，
$\therefore$函数图象开口向下，在对称轴处取得最大值。
二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-1$，$b=42$，得对称轴为直线$x = -\frac{42}{2×(-1)}=21$，
又$\because 0≤x≤30$，21在该取值范围内，
$\therefore$当$x=21$时，w取得最大值，代入解析式计算：
$w_{\mathrm{max}} = -21^2 + 42×21 + 100 = -441 + 882 + 100 = 541$。
【答案】
(1) $18x$；$w=-x^2+42x+100(0≤x≤30)$
(2) 排队人数在第21分钟达到最大值，最大人数为541人。
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；根据实际问题列函数解析式
【点评】
本题结合生活中的安检排队场景命题，既考查了对题意的理解和数量关系的提取能力，也考查了二次函数的相关性质，解题时需要注意自变量的取值范围对最值的影响，是一道贴近生活的应用题，能帮助学生理解数学在实际生活中的应用。
【难度系数】
0.7
