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7. (★)某商店经销一种智能计数款跳绳，已知该跳绳的成本价为每根60元，市场调查发现，该种跳绳每天的销售量$y$(单位:根)与销售单价$x$(单位:元)有如下关系:$y=-2x+220(60≤x≤100)$。当该种跳绳销售单价定为元时，每天的销售利润最大。
答案
解：设每天的销售利润为$w$元。
根据题意，每根跳绳的利润为$(x-60)$元，则
$\begin{aligned}w&=(x-60)y\\&=(x-60)(-2x+220)\\&=-2x^2 + 340x - 13200\\&=-2(x-85)^2 + 1250\end{aligned}$
$\because a=-2＜0$，且$60≤ x≤100$，
$\therefore$ 当$x=85$时，$w$取得最大值。
即当该种跳绳销售单价定为$\boldsymbol{85}$元时，每天的销售利润最大。
根据题意，每根跳绳的利润为$(x-60)$元，则
$\begin{aligned}w&=(x-60)y\\&=(x-60)(-2x+220)\\&=-2x^2 + 340x - 13200\\&=-2(x-85)^2 + 1250\end{aligned}$
$\because a=-2＜0$，且$60≤ x≤100$，
$\therefore$ 当$x=85$时，$w$取得最大值。
即当该种跳绳销售单价定为$\boldsymbol{85}$元时，每天的销售利润最大。
解析
【分析】
要解决销售利润最大的问题，首先明确利润的计算逻辑：总利润=单根利润×销售量。已知成本价、销售量与销售单价的关系式，我们可以先设每天的销售利润为w元，先写出单根利润为(x-60)元，再结合给出的y与x的关系式，列出w关于x的函数表达式，观察可知该函数为二次函数，再根据二次函数的最值性质，结合x的取值范围，即可求出利润最大时对应的销售单价。
【解析】
设每天的销售利润为$w$元。
根据题意，每根跳绳的利润为$(x-60)$元，结合销售量$y=-2x+220$，可得：
$\begin{aligned}w&=(x-60)y\\&=(x-60)(-2x+220)\\&=-2x^2 + 340x - 13200\\&=-2(x-85)^2 + 1250\end{aligned}$
$\because a=-2＜0$，二次函数开口向下，且自变量取值范围为$60≤ x≤100$，顶点横坐标$x=85$在该范围内，
$\therefore$ 当$x=85$时，$w$取得最大值。
【答案】
85
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；销售利润计算
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的基础题型，解题的核心是正确建立利润的函数关系式，再结合二次函数的性质及自变量的取值范围求解，属于常考的基础应用题。
【难度系数】
0.8
要解决销售利润最大的问题，首先明确利润的计算逻辑：总利润=单根利润×销售量。已知成本价、销售量与销售单价的关系式，我们可以先设每天的销售利润为w元，先写出单根利润为(x-60)元，再结合给出的y与x的关系式，列出w关于x的函数表达式，观察可知该函数为二次函数，再根据二次函数的最值性质，结合x的取值范围，即可求出利润最大时对应的销售单价。
【解析】
设每天的销售利润为$w$元。
根据题意，每根跳绳的利润为$(x-60)$元，结合销售量$y=-2x+220$，可得：
$\begin{aligned}w&=(x-60)y\\&=(x-60)(-2x+220)\\&=-2x^2 + 340x - 13200\\&=-2(x-85)^2 + 1250\end{aligned}$
$\because a=-2＜0$，二次函数开口向下，且自变量取值范围为$60≤ x≤100$，顶点横坐标$x=85$在该范围内，
$\therefore$ 当$x=85$时，$w$取得最大值。
【答案】
85
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；销售利润计算
【点评】
本题是二次函数解决实际问题的基础题型，解题的核心是正确建立利润的函数关系式，再结合二次函数的性质及自变量的取值范围求解，属于常考的基础应用题。
【难度系数】
0.8
8. (★)将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个；若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加2个.设单价降价x元，则每天的利润y(单位:元)关于x(单位:元)的函数解析式为，最大利润为元.
答案
解：
根据题意，降价$x$元后，每件商品的利润为$(100 - x - 70)=(30 - x)$元，
每日的销售量为$(20 + 2x)$个。
总利润$y=(30 - x)(20 + 2x)$，
展开整理得：
$y=-2x^2 + 40x + 600 \quad (0≤ x≤30)$
在二次函数$y=-2x^2+40x+600$中，$a=-2＜0$，函数图象开口向下，在顶点处取得最大值。
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{40}{2×(-2)}=10$时，
$y_{\mathrm{最大值}}=-2×10^2 + 40×10 + 600=800$。
函数解析式为$\boldsymbol{y=-2x^2+40x+600(0≤ x≤30)}$，最大利润为$\boldsymbol{800}$元。
根据题意，降价$x$元后，每件商品的利润为$(100 - x - 70)=(30 - x)$元，
每日的销售量为$(20 + 2x)$个。
总利润$y=(30 - x)(20 + 2x)$，
展开整理得：
$y=-2x^2 + 40x + 600 \quad (0≤ x≤30)$
在二次函数$y=-2x^2+40x+600$中，$a=-2＜0$，函数图象开口向下，在顶点处取得最大值。
当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{40}{2×(-2)}=10$时，
$y_{\mathrm{最大值}}=-2×10^2 + 40×10 + 600=800$。
函数解析式为$\boldsymbol{y=-2x^2+40x+600(0≤ x≤30)}$，最大利润为$\boldsymbol{800}$元。
解析
【分析】
解决这道题首先要明确销售问题中总利润的基本计算关系：总利润=单件商品的利润×每日销售量。第一步先推导降价x元后的单件利润：原零售价100元，降价x元后售价为(100-x)元，减去进货单价70元即可得到单件利润；第二步推导降价后的日销售量：原本每日销售20个，每降价1元多卖2个，降价x元就多卖2x个，相加得到总销售量；第三步将两个量代入总利润公式即可得到函数解析式；最后结合二次函数的性质，因二次项系数小于0，函数图象开口向下，顶点处可取得最大值，代入顶点坐标公式就能算出最大利润，同时要注意x的取值需符合实际意义。
【解析】
根据题意，降价x元后：
每件商品的利润为：$100 - x - 70 = (30 - x)$元
每日的销售量为：$(20 + 2x)$个
由总利润=单件利润×销售量，可得：
$y = (30 - x)(20 + 2x)$
展开整理得：$y = -2x^2 + 40x + 600$
结合实际意义，单件利润不能为负，即$30 - x ≥ 0$，得$x ≤ 30$，同时降价金额不能为负，即$x ≥ 0$，因此自变量取值范围为$0 ≤ x ≤ 30$。
该函数为二次函数，其中$a=-2 ＜ 0$，图象开口向下，在顶点处取得最大值。
顶点横坐标$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{40}{2×(-2)} = 10$，在$0 ≤ x ≤30$的取值范围内。
将$x=10$代入函数得：
$y_{\mathrm{最大值}}=-2×10^2 + 40×10 + 600 = 800$
【答案】
$y=-2x^2+40x+600(0≤ x≤30)$；$800$
【知识点】
销售利润计算；二次函数实际应用；二次函数最值
【点评】
本题是二次函数解决实际利润问题的基础题型，解题核心是找准总利润的等量关系，正确表示出单件利润和销售量，再结合二次函数性质求最值，解题时要注意自变量的取值要符合实际情况，避免出现无意义的结果。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要明确销售问题中总利润的基本计算关系：总利润=单件商品的利润×每日销售量。第一步先推导降价x元后的单件利润：原零售价100元，降价x元后售价为(100-x)元，减去进货单价70元即可得到单件利润；第二步推导降价后的日销售量：原本每日销售20个，每降价1元多卖2个，降价x元就多卖2x个，相加得到总销售量；第三步将两个量代入总利润公式即可得到函数解析式；最后结合二次函数的性质，因二次项系数小于0，函数图象开口向下，顶点处可取得最大值，代入顶点坐标公式就能算出最大利润，同时要注意x的取值需符合实际意义。
【解析】
根据题意，降价x元后：
每件商品的利润为：$100 - x - 70 = (30 - x)$元
每日的销售量为：$(20 + 2x)$个
由总利润=单件利润×销售量，可得：
$y = (30 - x)(20 + 2x)$
展开整理得：$y = -2x^2 + 40x + 600$
结合实际意义，单件利润不能为负，即$30 - x ≥ 0$，得$x ≤ 30$，同时降价金额不能为负，即$x ≥ 0$，因此自变量取值范围为$0 ≤ x ≤ 30$。
该函数为二次函数，其中$a=-2 ＜ 0$，图象开口向下，在顶点处取得最大值。
顶点横坐标$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{40}{2×(-2)} = 10$，在$0 ≤ x ≤30$的取值范围内。
将$x=10$代入函数得：
$y_{\mathrm{最大值}}=-2×10^2 + 40×10 + 600 = 800$
【答案】
$y=-2x^2+40x+600(0≤ x≤30)$；$800$
【知识点】
销售利润计算；二次函数实际应用；二次函数最值
【点评】
本题是二次函数解决实际利润问题的基础题型，解题核心是找准总利润的等量关系，正确表示出单件利润和销售量，再结合二次函数性质求最值，解题时要注意自变量的取值要符合实际情况，避免出现无意义的结果。
【难度系数】
0.8
9. (★★)某航模商店以每个35元的成本购进一批火箭模型玩具.当每个售价为50元时,每天可售出98个.若调整每个售价:每提高1元,则每天少售出2个.物价部门规定其销售单价不高于每个65元,则该商店一天可获得的最大利润为
【 】
A.2 048元
B.2 040元
C.1 759元
D.1 751元
【 】
A.2 048元
B.2 040元
C.1 759元
D.1 751元
答案
B
解析
【分析】
这是销售利润类的二次函数最值问题，解题核心是利用“总利润=单个商品利润×销售数量”的等量关系列函数解析式。首先设售价提高的金额为自变量，分别表示出单个利润和销售数量，结合物价部门对售价的限制确定自变量的取值范围，再根据二次函数的开口方向、增减性，在自变量取值范围内找到使利润最大的取值，代入计算即可。注意需判断二次函数顶点是否在自变量取值范围内，若不在则根据增减性取端点值计算。
【解析】
解：设每个火箭模型售价提高$x$元，一天获得的总利润为$y$元。
1. 表示单个利润：单个利润为售价减成本，即$(50+x-35)=(15+x)$元；
2. 表示销售数量：每涨价1元少售2个，即销量为$(98-2x)$个；
3. 列利润函数：$y=(15+x)(98-2x)$，整理得$y=-2x^2+68x+1470$；
4. 确定自变量取值范围：由售价不高于65元得$50+x≤65$，解得$x≤15$，即$0≤ x≤15$；
5. 分析函数增减性：二次函数$y=-2x^2+68x+1470$中$a=-2＜0$，开口向下，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{68}{2×(-2)}=17$，因此当$x≤17$时，$y$随$x$的增大而增大；
6. 计算最大利润：因为$15＜17$，所以当$x=15$时$y$取最大值，代入得：
$y=(15+15)×(98-2×15)=30×68=2040$元。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的应用、销售利润计算、二次函数最值
【点评】
本题是二次函数实际应用的常考题型，解题关键是找准等量关系正确列出函数解析式，易错点是忽略题目给出的售价限制条件，直接取二次函数顶点值计算导致结果错误，求解实际问题的最值时一定要结合自变量的取值范围判断。
【难度系数】
0.6
这是销售利润类的二次函数最值问题，解题核心是利用“总利润=单个商品利润×销售数量”的等量关系列函数解析式。首先设售价提高的金额为自变量，分别表示出单个利润和销售数量，结合物价部门对售价的限制确定自变量的取值范围，再根据二次函数的开口方向、增减性，在自变量取值范围内找到使利润最大的取值，代入计算即可。注意需判断二次函数顶点是否在自变量取值范围内，若不在则根据增减性取端点值计算。
【解析】
解：设每个火箭模型售价提高$x$元，一天获得的总利润为$y$元。
1. 表示单个利润：单个利润为售价减成本，即$(50+x-35)=(15+x)$元；
2. 表示销售数量：每涨价1元少售2个，即销量为$(98-2x)$个；
3. 列利润函数：$y=(15+x)(98-2x)$，整理得$y=-2x^2+68x+1470$；
4. 确定自变量取值范围：由售价不高于65元得$50+x≤65$，解得$x≤15$，即$0≤ x≤15$；
5. 分析函数增减性：二次函数$y=-2x^2+68x+1470$中$a=-2＜0$，开口向下，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{68}{2×(-2)}=17$，因此当$x≤17$时，$y$随$x$的增大而增大；
6. 计算最大利润：因为$15＜17$，所以当$x=15$时$y$取最大值，代入得：
$y=(15+15)×(98-2×15)=30×68=2040$元。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的应用、销售利润计算、二次函数最值
【点评】
本题是二次函数实际应用的常考题型，解题关键是找准等量关系正确列出函数解析式，易错点是忽略题目给出的售价限制条件，直接取二次函数顶点值计算导致结果错误，求解实际问题的最值时一定要结合自变量的取值范围判断。
【难度系数】
0.6
10. (★★)某商店销售一种成本为40元/件的玩具，若按50元/件销售，则月销售量为500件，若每件玩具的销售价每涨1元，则月销售量就减少10件。设销售价为$x(x≥50)$元/件，月销售量为$y$件，月销售利润为$w$元。
(1)$y$关于$x$的函数解析式为$y=$，$w$关于$x$的函数解析式为$w=$。(不用写$x$的取值范围)
(2)商店为了尽量让利给顾客，同时使月销售利润达到8000元，销售价应定为多少元/件？
(3)当销售价定为多少元/件时，会获得最大利润？求出最大利润。
(1)$y$关于$x$的函数解析式为$y=$，$w$关于$x$的函数解析式为$w=$。(不用写$x$的取值范围)
(2)商店为了尽量让利给顾客，同时使月销售利润达到8000元，销售价应定为多少元/件？
(3)当销售价定为多少元/件时，会获得最大利润？求出最大利润。
答案
解：
(1) $y = -10x + 1000$，$w = -10x^2 + 1400x - 40000$
(2) 令$w=8000$，则
$-10x^2 + 1400x - 40000 = 8000$
整理得：
$x^2 - 140x + 4800 = 0$
解得：
$x_1=60,\quad x_2=80$
∵商店要尽量让利给顾客，即销售价尽可能低，
∴取$x=60$。
答：销售价应定为60元/件。
(3) 将$w=-10x^2+1400x-40000$配方得：
$w=-10(x-70)^2 + 9000$
∵二次项系数$a=-10＜0$，
∴当$x=70$时，$w$有最大值，最大值为9000。
答：当销售价定为70元/件时，会获得最大利润，最大利润为9000元。
(1) $y = -10x + 1000$，$w = -10x^2 + 1400x - 40000$
(2) 令$w=8000$，则
$-10x^2 + 1400x - 40000 = 8000$
整理得：
$x^2 - 140x + 4800 = 0$
解得：
$x_1=60,\quad x_2=80$
∵商店要尽量让利给顾客，即销售价尽可能低，
∴取$x=60$。
答：销售价应定为60元/件。
(3) 将$w=-10x^2+1400x-40000$配方得：
$w=-10(x-70)^2 + 9000$
∵二次项系数$a=-10＜0$，
∴当$x=70$时，$w$有最大值，最大值为9000。
答：当销售价定为70元/件时，会获得最大利润，最大利润为9000元。
解析
【分析】
(1) 求y与x的函数解析式：已知售价为50元时月销量为500件，售价每涨1元，月销量减少10件，售价为x元时相比50元上涨了$(x-50)$元，月销量减少$10(x-50)$件，用基础销量减去减少的销量即可得到y的表达式；月销售利润=每件利润×月销售量，每件利润为$(x-40)$元，代入y的表达式化简即可得到w的解析式。
(2) 要使月利润达到8000元，令$w=8000$得到关于x的一元二次方程，解方程后结合“尽量让利给顾客”的要求，选择更低的售价即可。
(3) 求最大利润即求二次函数w的最大值，由于二次项系数小于0，抛物线开口向下，顶点处对应最大利润，将函数配方即可求出最大值及对应售价。
【解析】
(1) 由题意得：
$y=500-10(x-50)=-10x+1000$
$w=(x-40)y=(x-40)(-10x+1000)=-10x^2+1400x-40000$
(2) 令$w=8000$，则：
$-10x^2 + 1400x - 40000 = 8000$
整理得：$x^2 - 140x + 4800 = 0$
解得：$x_1=60,\quad x_2=80$
∵商店要尽量让利给顾客，即销售价尽可能低，
∴取$x=60$。
答：销售价应定为60元/件。
(3) 将$w=-10x^2+1400x-40000$配方得：
$w=-10(x-70)^2 + 9000$
∵二次项系数$a=-10＜0$，抛物线开口向下，
∴当$x=70$时，$w$有最大值，最大值为9000元。
答：当销售价定为70元/件时，会获得最大利润，最大利润为9000元。
【答案】
(1) $-10x + 1000$；$-10x^2 + 1400x - 40000$
(2) 60元/件
(3) 销售价定为70元/件时获得最大利润，最大利润为9000元
【知识点】
一次函数应用，一元二次方程应用，二次函数最值
【点评】
本题是典型的销售利润类实际应用题，综合考查了函数解析式的列法、方程求解和二次函数最值的计算，解题时需注意结合实际情境对解的合理性进行判断，是常考的应用型题目。
【难度系数】
0.7
(1) 求y与x的函数解析式：已知售价为50元时月销量为500件，售价每涨1元，月销量减少10件，售价为x元时相比50元上涨了$(x-50)$元，月销量减少$10(x-50)$件，用基础销量减去减少的销量即可得到y的表达式；月销售利润=每件利润×月销售量，每件利润为$(x-40)$元，代入y的表达式化简即可得到w的解析式。
(2) 要使月利润达到8000元，令$w=8000$得到关于x的一元二次方程，解方程后结合“尽量让利给顾客”的要求，选择更低的售价即可。
(3) 求最大利润即求二次函数w的最大值，由于二次项系数小于0，抛物线开口向下，顶点处对应最大利润，将函数配方即可求出最大值及对应售价。
【解析】
(1) 由题意得：
$y=500-10(x-50)=-10x+1000$
$w=(x-40)y=(x-40)(-10x+1000)=-10x^2+1400x-40000$
(2) 令$w=8000$，则：
$-10x^2 + 1400x - 40000 = 8000$
整理得：$x^2 - 140x + 4800 = 0$
解得：$x_1=60,\quad x_2=80$
∵商店要尽量让利给顾客，即销售价尽可能低，
∴取$x=60$。
答：销售价应定为60元/件。
(3) 将$w=-10x^2+1400x-40000$配方得：
$w=-10(x-70)^2 + 9000$
∵二次项系数$a=-10＜0$，抛物线开口向下，
∴当$x=70$时，$w$有最大值，最大值为9000元。
答：当销售价定为70元/件时，会获得最大利润，最大利润为9000元。
【答案】
(1) $-10x + 1000$；$-10x^2 + 1400x - 40000$
(2) 60元/件
(3) 销售价定为70元/件时获得最大利润，最大利润为9000元
【知识点】
一次函数应用，一元二次方程应用，二次函数最值
【点评】
本题是典型的销售利润类实际应用题，综合考查了函数解析式的列法、方程求解和二次函数最值的计算，解题时需注意结合实际情境对解的合理性进行判断，是常考的应用型题目。
【难度系数】
0.7
